《量子力学课件：第九章 全同粒子系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学课件：第九章 全同粒子系（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章第九章 全同粒子系全同粒子系9.1 9.1 全同粒子波函数的全同粒子波函数的 粒子交换对称性粒子交换对称性9.2 9.2 氦原子氦原子9.1 9.1 全同粒子波函数的粒子交换对称性全同粒子波函数的粒子交换对称性（1 1）全同粒子和全同粒子系）全同粒子和全同粒子系（2 2）分类：）分类：粒子交换粒子交换 波函数的对称性波函数的对称性是确定的，是确定的，与粒子的自旋有关。与粒子的自旋有关。Boson； Fermion式中式中以下简记为以下简记为1. Boson系系对于对于 s= 0s= 0，1 1，2 2， 的粒子，的粒子，多粒子体系波函数对于任意两个粒子交换是多粒子体系波函数对于任意两个粒
2、子交换是对称的对称的2. Fermion系系对于对于 s =1/2s =1/2，3/23/2， 的粒子，的粒子，多粒子体系波函数对于任意两个粒子交换是多粒子体系波函数对于任意两个粒子交换是反对称反对称的的微观粒子运动具有波粒二象性，如果全同，则粒子在微观粒子运动具有波粒二象性，如果全同，则粒子在波动重叠的区域内是完全不可分辨的。波动重叠的区域内是完全不可分辨的。全同粒子系中任意二个粒子交换，体系状态不变全同粒子系中任意二个粒子交换，体系状态不变全同粒子的不可分辨性原理（全同性原理）全同粒子的不可分辨性原理（全同性原理）9.1-1 9.1-1 全同性原理和粒子交换对称性全同性原理和粒子交换对称性
3、Hamilton 算符的粒子交换不变性算符的粒子交换不变性即即以下简记为以下简记为有有证明证明: :故故引入引入粒子交换算符粒子交换算符和和设任一设任一 满足薛定谔方程满足薛定谔方程用用 作用，得作用，得的本征值方程、本征值和本征函数的本征值方程、本征值和本征函数描述同一个量子态描述同一个量子态, ,故只差一个因子故只差一个因子即即本征值方程本征值方程全同粒子系任一运动状态都是全同粒子系任一运动状态都是 的本征态的本征态由本征值方程有由本征值方程有本征值本征值由定义有由定义有对于对于全同粒子系波函数对于两个粒子交换是全同粒子系波函数对于两个粒子交换是( (全全) )对称的对称的对于对于全同粒子
4、系波函数对于两个粒子交换是全同粒子系波函数对于两个粒子交换是( (全全) )反对称的反对称的任意全同粒子系的波函数都具有任意全同粒子系的波函数都具有粒子交换对称性粒子交换对称性，“对称对称”或或“反对称反对称”，且不随时间变化。且不随时间变化。守恒量守恒量且且是守恒量是守恒量9.1-2 9.1-2 量子力学的第五条假设量子力学的第五条假设一个由全同粒子组成的微观多粒子体系的任意运动状一个由全同粒子组成的微观多粒子体系的任意运动状态波函数对于任意两个粒子交换而言具有对称性。玻态波函数对于任意两个粒子交换而言具有对称性。玻色子系的波函数是两粒子交换全对称的，费米子系的色子系的波函数是两粒子交换全对
5、称的，费米子系的波函数是两粒子交换全反对称的。波函数是两粒子交换全反对称的。注意注意: :可以不含粒子的自旋坐标；可以不含粒子的自旋坐标；波函数需包含空间和自旋坐标。波函数需包含空间和自旋坐标。“全全”的含义的含义: :同时交换同时交换9.1-3 9.1-3 独立粒子模型独立粒子模型; ;全同粒子系的波函数全同粒子系的波函数以多电子原子为例。设原子内有以多电子原子为例。设原子内有N(Z)N(Z)个电子，个电子，哈密顿算符为：哈密顿算符为：写成写成其中其中每个电子所受每个电子所受的平均势场的平均势场单电子的哈密顿算符单电子的哈密顿算符的的本征值方程本征值方程为为可写成可写成其本征值谱为其本征值谱
6、为 ，正交归一本征函数组，正交归一本征函数组若取若取 ，的的本征值方程本征值方程为为令令得得类氢原子的本征函数类氢原子的本征函数此时此时相当于类氢原子相当于类氢原子此时此时与与 的的本征值方程本征值方程比较有比较有在全同粒子系中，粒子间并不是没有相互作用。把在全同粒子系中，粒子间并不是没有相互作用。把其它粒子对于某一粒子的作用用一种平均势场的作其它粒子对于某一粒子的作用用一种平均势场的作用来代替，这样每个粒子好像都是在等效的势场中用来代替，这样每个粒子好像都是在等效的势场中作与其它粒子无关的独立运动，每个粒子都有自己作与其它粒子无关的独立运动，每个粒子都有自己的本征值和本征函数的本征值和本征函
7、数( (单粒子态单粒子态) )。体系的本征函数为体系的本征函数为独立粒子模型独立粒子模型满足对称性满足对称性?全同粒子系的波函数全同粒子系的波函数全同费米子系全同费米子系: : 本征函数是两个粒子交换全反对称本征函数是两个粒子交换全反对称满足粒子满足粒子交换反对称交换反对称不满足反对称不满足反对称由由 构造构造可以看出可以看出 仍然满足本征值方程仍然满足本征值方程是是 的具有相同本征值的本征函数的具有相同本征值的本征函数全同玻色子系：全同玻色子系：本征函数是两个粒子交换全对称本征函数是两个粒子交换全对称波色子可以有任意多个粒子处于同一个单粒子态波色子可以有任意多个粒子处于同一个单粒子态因为因为
8、设共有设共有N N个波色子，其中有个波色子，其中有此时，对称的波函数可由此时，对称的波函数可由 构造为构造为交换只对处于不同状态的粒子进行，交换只对处于不同状态的粒子进行，满足满足所以，所以， 的具有相同本征值的归一化本征函数为的具有相同本征值的归一化本征函数为这样交换共有这样交换共有9.1-4 9.1-4 泡利不相容原理泡利不相容原理多电子系多电子系若若 , ,即两电子处于相同的单电子态，则即两电子处于相同的单电子态，则在一个多电子原子中，不可能有两个或两个以上的在一个多电子原子中，不可能有两个或两个以上的电子处于同一状态，即每一个单电子态只能容纳一电子处于同一状态，即每一个单电子态只能容纳
9、一个电子。个电子。_泡利不相容原理泡利不相容原理可推广到费米子系可推广到费米子系9.1-5 9.1-5 二电子体系二电子体系当单电子的哈密顿算符当单电子的哈密顿算符 不含自旋时不含自旋时分离变量为分离变量为所以所以 的四种形式为：的四种形式为：作线性组合，有作线性组合，有可以相等，也可以不相等可以相等，也可以不相等以上本征函数为空间坐标交换反对称而自旋坐标交换对称以上本征函数为空间坐标交换反对称而自旋坐标交换对称自旋态矢量为对称的总自旋三重态自旋态矢量为对称的总自旋三重态三式须三式须满足满足与对称的自旋态矢量与对称的自旋态矢量 的乘积的乘积是反对称的空间波函数是反对称的空间波函数反对称空间波函
10、数反对称空间波函数对称的自旋态矢量为对称的自旋态矢量为总自旋三重态总自旋三重态此为空间坐标交换对称而自旋坐标交换反对称此为空间坐标交换对称而自旋坐标交换反对称是对称的空间波函数是对称的空间波函数 与反对称与反对称的自旋态矢量的自旋态矢量 的乘积的乘积对称空间波函数对称空间波函数有有当当总自旋单态总自旋单态对于两粒子交换都是反对称的对于两粒子交换都是反对称的反对称自旋态矢量反对称自旋态矢量9.2 9.2 氦原子氦原子9.2-1 9.2-1 氦原子的哈密顿量氦原子的哈密顿量9.2-3 9.2-3 激发态激发态9.2-2 9.2-2 氦原子的基态能级和波函数氦原子的基态能级和波函数由于由于 中不含自
11、旋变量，故中不含自旋变量，故空间波函数满足定态薛定谔方程空间波函数满足定态薛定谔方程9.2-1 9.2-1 氦原子的哈密顿算符氦原子的哈密顿算符二电子体系二电子体系（1 1） 的分解的分解9.2-2 9.2-2 氦原子的基态能级和波函数氦原子的基态能级和波函数记记类氢原子类氢原子其中其中其解为其解为的定态能量为的定态能量为零级近似波函数为零级近似波函数为式中式中(2)(2)基态：零级近似波函数基态：零级近似波函数此时空间波函数是对称的此时空间波函数是对称的, ,自旋态矢量反对称自旋态矢量反对称基态零级近似能量基态零级近似能量(3)(3)基态能量的一级修正基态能量的一级修正基态能量基态能量（1
12、1）激发态的波函数）激发态的波函数考虑单激发态考虑单激发态: :9.2-3 9.2-3 激发态激发态一个电子处于一个电子处于另一个电子处于另一个电子处于（2 2）激发态能量）激发态能量能量零级近似能量零级近似有有 度简并度简并, ,二电子体系有二电子体系有4 4度交换简并度交换简并, ,共共 简并简并补充题：两个电子束缚在一维无限深势阱补充题：两个电子束缚在一维无限深势阱中运动，忽略两个电子之间的相互作用。中运动，忽略两个电子之间的相互作用。求体系的基态和第一激发态的能量、波函数求体系的基态和第一激发态的能量、波函数和简并度。和简并度。作业七作业七: 9-1, 9-5, : 9-1, 9-5,
