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1、1/73第九章第九章 环与域环与域9.1 9.1 环：两个二元运算的代数结构环：两个二元运算的代数结构1.1.环的概念环的概念定义定义9.19.1：R,+, 是代数系统，是代数系统，+ +，是二元运算，是二元运算，若满足：若满足：(1):R(1):+是阿贝尔群；是阿贝尔群；(2):R,(2): 是半群；是半群；(3):(3):对对+ +可分配；则称可分配；则称R,+, 为环为环(Ring)(Ring)，+ +称称为加法，为加法，称为乘法称为乘法( (未必是数加和数乘未必是数加和数乘) )；同时；同时加法幺元记为加法幺元记为0 0，加法逆元，加法逆元-x-x，n n次幂为次幂为nxnx，若存，若
2、存在的话，乘法幺元记为在的话，乘法幺元记为1 1，逆元为，逆元为 n n次幂为次幂为2/739.1 环环例例9-19-1：(1):Z,+,(1): ， Q,+, ， R,+, ， C,+, 均为环；均为环；(2):(2):实数分量的实数分量的n nn n方阵集合方阵集合 ，构成环：，构成环： ；(3):(3):(5):0,+, (5):(0(0为加法幺元，乘法零元为加法幺元，乘法零元) )为环，为环，称为零环；称为零环；(6):0,1,+, (6):(1(1为乘法幺元为乘法幺元) )为环为环3/739.1 环环2.2.环的性质环的性质定理定理9.19.1：设设R,+, 是环，则对任意的是环，则
3、对任意的a,b,ca,b,c有有: :(1):(1):加法幺元必为乘法零元；加法幺元必为乘法零元；(2):(-a)(2):(-a)b=ab=a(-(-b)=-(ab)=-(ab)b)；(3):a(3):a(b-c)=a(b-c)=ab-ab-ac, (b-c) c, (b-c) a=ba=ba-ca-ca a；(4):(4):4/739.1 环环R,+, 中中不一定满足交换律，也不一定有幺不一定满足交换律，也不一定有幺元，但一定有零元。元，但一定有零元。3.3.子环与环同态子环与环同态定义定义9.29.2：子环：环子环：环R,+, ，若，若 构构成环，则为成环，则为R R的子环。的子环。子环判
4、定：子环判定：定义定义9.39.3：环同态：环同态：5/739.2 整环和域整环和域定义定义9.49.4：设设R,+, 是环：是环：(1).(1).若若满足交换律，则称满足交换律，则称R R是交换环；是交换环；(2).(2).若若运算含有幺元，则称运算含有幺元，则称R R是含幺环；是含幺环；(3).(3).若有非零元素若有非零元素a, ba, b满足满足a ab=0b=0，则称，则称a, ba, b为为R R的的零因子零因子(a(a为左零因子，为左零因子，b b为右零因子为右零因子) )，此时称，此时称R R为为含零因子环，否则称含零因子环，否则称R R为无零因子环；为无零因子环；(4).(4
5、).若若R R是交换环，含幺环，也是无零因子环，则称是交换环，含幺环，也是无零因子环，则称R R是整环。是整环。例例9-29-2：(1):Z,Q,R,C(1):Z,Q,R,C都是交换环，含幺环，无零因都是交换环，含幺环，无零因子环，整环；子环，整环；6/739.2 整环和域整环和域(2):(2):定理定理9.29.2：设设R R是环，则是环，则R R中无零因子当且仅当中无零因子当且仅当R R中乘中乘法运算满足消去律，即：法运算满足消去律，即： 有：有：7/739.2 整环和域整环和域定义定义9.59.5：R R是环，令是环，令 ，若，若 为阿贝为阿贝尔群，则称尔群，则称R,+, 为域为域(fi
6、eld)(field)。由于由于 为群，满足消去律，无零因子，为群，满足消去律，无零因子，域必定是域必定是整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的整环。整环。例例9-29-2：(1):Q, +,(1):, , , , 均为均为域，域， Z,+, 不是域，无乘法逆元；不是域，无乘法逆元；8/739.2 整环和域整环和域定理定理9.39.3：有限整环都是域。有限整环都是域。定理定理9.49.4： 为域的充要条件是为域的充要条件是p p是是素数。素数。9/739.2 整环和域整环和域定理定理9.59.5：设设F,+, 为域，则为域，则F F中非零元素在中非零元素在中有相同的阶。中有相同的阶。10/739.2 整环和域整环和域定义定义9.69.6：设设F,+, 为域，为域， S,+, 为为F F的子环，的子环，且且S,+, 为域，则称为域，则称S S为为F F的子域。的子域。11/739.2 整环和域整环和域定理定理9.69.6：设设F,+, 为域，为域， ，且，且 中至少有中至少有2 2个元素，那么个元素，那么 为为F,+, 的子域当且的子域当且仅当仅当 满足：满足：例：例：Q,+, 是是R,+, 和和C,+, 的子域。的子域。
