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1、14(2)解: 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 设其中(qzhng)f具有二阶连续偏导数,求(因f具有二阶连续偏导数(do sh), 所以看清题目要求,不要少做题.第1页/共27页第一页，共28页。 第八章 第六节第六节二 元 函 数 的 极 值一、二元函数(hnsh)的极值二、条件极值机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 三、最小二乘法(chngf)第2页/共27页第二页，共28页。本节的教学要求本节的教学要求掌握二元函数的极值判别条件, 会求解简单的二元函数极值问题(wnt)了解条件极值概念和拉格朗日乘数法了解最小二乘法的原理机动 目录 上页 下页 返回(fnhu
2、) 结束 重点(zhngdin)第3页/共27页第三页，共28页。回顾(hug)一元函数的极值(一一)二元函数二元函数(hnsh)的极值的极值机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 f (x)在x=x0可导, x=x0为极值点 f (x0)=0. f(x)在x=x0的两侧异号 f(x0)=0, f”(x0)0 或 f”(x0)0, y0. 由得驻点 根据实际问题可知，S一定存在最小值，所以是使S取得最小值的点,即当x=y=z=时, 函数S取得最小值 亦即当箱子的长、宽、高相等时, 所用的材料最少. 则有则V=xyz,第12页/共27页第十二页，共28页。例例6求两种产品各生产多少, 工厂(
3、gngchng)可取得最大利润?机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 与9元, 生产x单位(dnwi)的产品I 与生产y单位(dnwi)的产品 II 的总解:(元) 设 L(x, y) 表示产品与分别生产x与y单位时所得驻点(120,80).某工厂生产两种产品与, 出售单价分别为10元费用是:得的总利润. 由因为总利润等于总收入减去总费用, 所以第13页/共27页第十三页，共28页。驻点驻点(zh (zh din)(120,80).din)(120,80).机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 再由 由题意(t y)知, 生产120件产品, 80件产品时所得利润而最大.所以
4、,当x=120和y=80时, L(120,80)=320是极大值.第14页/共27页第十四页，共28页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 无条件极值条件极值（二）条件极值和拉格朗日乘数（二）条件极值和拉格朗日乘数(chnsh)法法如例6的生产(shngchn)问题, 此时无极值. 一定受到生产能力的限制, 自变量不受条件约束时的极值自变量受条件约束时的极值受约束, 故实际中多数情况是条件极值问题.如果产量不求收益最大时的产量就是无条件极值问题,因为实际中, 产量当然这不符合实际,包括资金、人力、 固定设备等的约束.产量越高, 收益越大,第15页/共27页第十五页，共28页。第一步
5、 作拉格朗日函数(hnsh) 求解条件极值问题(wnt)的一种方法.拉格朗日乘数拉格朗日乘数(chnsh)法法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为拉格朗日乘数. 求函数步骤:得点第二步 求解 消去, 解出x,y， 第三步 判别此点为可能极值点. 由问题的具体性质判断) 在约束条件下的极值.问题:(用充分条件或是否为极值点.第16页/共27页第十六页，共28页。求三元求三元(sn (sn yun)yun)函数函数 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (约束条件一般(ybn)应少于未知量的个数)下的极值的方法： 判断它是否为极值点. 消去, 解出x,y,z, 得点 作拉格朗日函数
6、 由在约束条件为拉格朗日乘数；第17页/共27页第十七页，共28页。例例7机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 用拉格朗日乘数法求本节例6中容积(rngj)一定的长方消去, 解出 即求函数 条件(tiojin) 解:体表面积最小值。在约束下的最小值。方程组一般为非线性方程组,常常难于求得解析解.第18页/共27页第十八页，共28页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 的最短距离。解:例例8的距离(jl)r 满足 到平面(pngmin) 到任一点 应满足条件为 求由一定点点点令得则此即空间一点到平面 的垂直距离公式。 第19页/共27页第十九页，共28页。机动 目录 上页
7、下页 返回(fnhu) 结束 经验(jngyn)公式之间的数学(shxu)关系式.（三）最小二乘法（三）最小二乘法最小二乘法是建立经验公式的一种方法.将这些数据作为平面上点的坐标,出这些点.用实验或调查得到的数据, 如何确定a, b?为了确定变量x和y之间的相依关系, 为x与y之间存在线性关系, n次测量或调查,建立的各个量我们对它们进行得到n对数据在直角坐标系中描若这些点几乎分布在一条直线上,我们就认直线的方程为第20页/共27页第二十页，共28页。a, b应使直线(zhxin)与这n个点“最接近”, 如何如何(rh)(rh)确定确定a, b?a, b? 机动(jdng) 目录 上页 下页
8、返回 结束 最小.个函数的极值的问题。接近”最合理的表述应该是使把S看成a, b的函数, “最求方程中a, b值的问题就是求这测量值点直线上的点第21页/共27页第二十一页，共28页。a,b取何值能取何值能使使 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 最小?其中(qzhng)解出a,b就得到最小二乘法(chngf)公式：第22页/共27页第二十二页，共28页。例例9 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 如表所列。代入公式(gngsh)得 试利用表中数据建立(jinl)变量 依赖于变量 的线性关系.解: 列表计算各和数(i =1,2,6)两个相依的量与, 由确定, 经6次测试
9、, 得数据i81012141618i81010.4312.7814.416变量依赖于变量的线性关系是 ii i i2 ii 1886464 78 71.61 1084 986.48 第23页/共27页第二十三页，共28页。课堂练习课堂练习 1. 求下列函数(hnsh)的极值 又所以(suy)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 解:因此函数在点(4,1)取得极小值由得驻点第24页/共27页第二十四页，共28页。 2. 欲围一个面积为60米2 的矩形场地, 正面所用材料(cilio)每米造价10元, 其余三面每米造价5元, 求场地长宽各为多少米时, 所用材料(cilio)费最少. 材料
10、费为z元.消去, 解得机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 解:设长、宽各为x,y米,设显然(xinrn)存在最小值,所以长宽各为米时材料费最少.也可以代入消去y第25页/共27页第二十五页，共28页。内容内容(nirng)小结小结 1. 二元函数(hnsh)的极值 2. 条件极值机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 必要条件充分条件拉格朗日乘数法, 代入法作业 P365 19(2),(3); 20; 21; 22; 23(2) 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结14(2)。第2页/共27页。f(x)在x=x0的两侧异号。x=x0为f (x)的极值点。得驻点(0,0).。根据实际问题可知，S一定存在最小值，。即当x=y=z=。亦即当箱子的长、宽、高。包括资金、人力、 固定(gdng)。消去, 解出x,y，。a, b应使直线与这n个点“最接近”,。把S看成a, b的函数,。求方程中a, b值的问题就是求这。变量依赖于变量的线性关系是。ii。设长、宽各为x,y米,。拉格朗日乘数法, 代入法第二十八页，共28页。
