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1、 相相 似似 理理 论论 与与 模模 型型 实实 验验 授课对象：研究生授课对象：研究生授课教师：授课教师：严仁军严仁军二二一一四四年年十十月月Page 2第六章用定律分析法导出相似准则1.前提和条件一个现象，当利用定律分析法导出相似准则时，前提是现象必须有可能利用这种方法解决问题。而在由“可能“变为”现实“的过程中，则需要考虑如何正确的选择物理定律。但要注意，适用于现象的任何物理定律都不是孤立的，各个物理定律表现在同一现象上有着密切的联系。只有在总体效果上满足相似要求的时候，才能说其中的某个定律是通用的。适用的物理定律并不一定都是主要的。为了简化实验过程，突出主要矛盾，暴露现象本质，还应通过
2、实验剔除一些次要的物理定律。Page 3【例2】试求同一长度、不同管径的二管道内具有同一平均流速的液体紊流状态的模拟条件。 解：支配这一现象的物理定律是管壁液层与中央主液流间的粘滞剪切力和主液流的惯性力。惯性力由下式描述：粘滞剪切力由下式描述：（6-7）（6-8）2.相似准则的导出Page 4式中为液体密度；A为液体横断面积；l为管长；为液流平均速度；为粘滞剪切力；A为剪切面积；为动力粘滞系数；为湿壁周长；为管壁液层厚度（二管可假定一致）对本例而言，有用的项为二力之比，即为使二管道紊流状态相似，需使式（6-9）所示的项在二管道上保持同值，即（6-9）（6-10）Page 5根据题意，。此时若采
3、用同一种类液体，则因，便得二管道液体紊流状态的模拟条件为： 此比值即为人们所熟知的水力半径Rh。利用水力半径的概念，便可将现象推广用于不用断面形状管路液体紊流状态的模拟。当原型和模型的长度不同时，水力半径应如此选择，使二者比值符合于长度缩尺。（6-11）Page 6【例3】建立一模型以预测原型梁自由振动的衰减时间。（设二梁几何相似） 解：梁的振动过程与弹性力、惯性力以及内摩阻有关。故在本例情况下应利用这三方面的物理定律。弹性力可用胡克定律描述。如果忽略掉泊松比的影响，则应力与应变之间的关系服从下式式中为应力；E为弹性变量；为应变。惯性力在任一微元上都是由牛顿第二定律控制的，即式中f为力；m为质
4、量；a为加速度。（6-12）（6-13）Page 7内摩擦力应当表示成单位容积在每周期内的能量损失时，可假定与最大应力m的三次幂成正比，与频率无关，即式中dU为体积dV在每周期内能量消耗；c为材料常数。在相似分析中，通过积分内比法可将式（6-13）、（6-14）中的微分号除去，改由特征参量表示根据（6-12）、（6-15）、（6-16），可得三项为。项的这三种形式，很难用于指导真正的模型设计。只有把他们转化成由长度、时间和力所表示的项，才能对解决本例的问题有利。这时（6-14）（6-15）（6-16）Page 8以上三式中，只有（6-18）带有时间参量t，故将该式除以式（6-17）或（6-19
5、），便得二有用的项为由于模型梁与原型梁几何相似，故应控制住m=。同时，由于二梁取相同的材料，即m=，Em=E，cm=c，故按二梁值相等原则，可得（6-19）（6-18）（6-17）（6-20）Page 9式（6-21）的意义在于说明，如果测得模型梁震动的衰减时间为tm，则只需将该值乘以原型、模型间的几何缩尺比例cl（cl=l/lm），便可用于预测原型梁震动的衰减时间t。 本例如用其他二法求解，条件同样具备。但方程分析法必须首先列出方程；而量纲分析法必须首先找出正确的物理参量。（6-21）Page 103.剔除多余物理定律的根据只有充分掌握现象机理，才能在一开始就排除多余的物理定律，使问题分析过
6、程简化。实际上，剔除多余物理量定律的意义常常还不单纯表现在分析过程的简化上。更多的时候，对采取这种做法的必要性是从现象本质或客观的效果上去理解的。例如：在某些类型的震动结构中，重力对固有频率的影响太小，故重力定律可不作考虑；大多数结构问题都不考虑诸如倒角、焊缝、凹槽、铆钉孔等对相似性研究所产生的的影响，而仅着眼于结构的整体特征；在一些低温现象中，热辐射作用十分次要，所以忽略热的辐射定律是可靠的；Page 11此外，借助于剔除多余的（或次要的）物理定律，常常还能帮助人们避免相似分析中出现的矛盾，从而使参量缩尺和模型实验成为可能。可以举流体的稳定流动为例。 液体的稳定流动是被两个定律支配的，即牛顿
7、的惯性定律和牛顿液体的粘滞性定律。这两个定律用在液体的稳定流动中，模型实验的相似性要求不会出现矛盾。但如果因为运动状态的变化而必须加入其他定律时（例如研究船只行驶阻力时需加入重力定律），情况就会发生变化。为了避免这种情况下必然会出现的矛盾（例如既要求cv=cl），又要求cv=cl1/2),常常根据具体情况，忽略掉上述二定律中的一个。Page 124.要正确的使用符号“”物理定律是用于说明现象的本质和物理概念的。因此为了如实反映某一现象或现象的某一方面，定律中的参量必须、而且也只能有一种选择。但根据相似理论，在做现象的相似性分析时，却允许在定律之后采用“”的符号，以便将定律所代表的意义加以引申。
8、但这绝不等于说可以因符号“”的存在而随意改变初始定律中的物理参量。可以举破冰船的破冰过程是这样的：船只都以三种状态破碎冰层：船只冲撞冰层；船（局部）滑行于冰面之上；利用船只重量使冰层弯曲。因此支配这一现象的物理定律主要有三个：惯性定律，重力定律，以及与冰层最大许用应力有关的定律（弯曲力定律）。Page 13三个定律应这样正确描述：1）惯性定律2）重力定律3）弯曲定律式中为船只撞击冰层时的速度；为冰层密度；M为冰层弯曲力矩；u为冰层弯曲应力的许用值；l为冰层水平长度及船只所有特性长度；h为冰层厚度。注意式（6-22）、（6-23）中对质量m的意义所作的引申。质量m本是指船只说的，但这里在定律后取
9、，变成了冰的质量。（6-22）（6-23）（6-24）Page 14这种引申的根据，是把船只密度和冰层密度二者间的比例关系看成是一常数，故在相似分析中是允许的。如果现在做模型试验，则模型船的设计条件应按如下步骤求得：1、先求Fg、F二力之比，可得模型设计条件为：若取同一冰层，则因，上式可改写为：此即为模型设计的几何条件。（6-25）Page 152）再求Fa、Fg二力之比，可得另一模型设计条件为此即为船模设计的运动学条件。显然，实际上述几何条件和运动学条件的前提是，要做到模型船只和原型船只密度上的一致。分析式（6-25），可知船模设计的几何条件在m=的情况下与冰层的类型无关，故船模实验即可在海
10、水冰面上进行，也可在淡水冰面上进行。后者为模型实验提供了很多方便条件。现在来看把符号“”错误的使用于弯曲力定律所产生的后果。如果人们不分析破冰船破冰过程中长度l与厚度h在意义上的不同，而笼统的把这一定率用符号“”写成，则不难得到lm=l或cl=1的船模设计结果，从而失去了船模设计本来的意义。这个事实说明，符号“”只能用于物理定律之后“”的引申。（6-26）Page 16第七章用方程分析法导出相似准则作为实例，现在考察图右的“弹簧质量阻尼”系统。这时假定我们感兴趣的是借助模型来研究决定位移y。系统有7个变量：变量：量纲位移：L质量：FL-1T2阻尼系数：FL-1T弹簧刚度：FL-1初始速度v0：
11、LT-1初始距离y0：L时间t：TPage 17显然，表中除位移y外，均为独立变量因此，如考虑基本量纲数为3，则独立相似准则为：（7-1）-3=3个，所余者为非独立相似准则位移项，它反映着预测的内容。用方程分析法来决定相似准则时方法不外有二：相似转换法和积分类比法。Page 181.相似转换法其步骤为：写出现象的基本微分方程写出全部单值条件，第一现象用“”表示，第二现象用“”表示，因此可得各参量的相似常数为：考虑物理条件相似时：考虑边界条件相似时：（7-1）（7-2）（7-3）Page 19考虑起始条件相似时(此时t=0)：将微分方程按不同现象写出：进行相似转换。将“”参量用“”参量代替，这时
12、式（7-6）变为（7-7）（7-6）（7-5）（7-4）Page 20作相似变换时，为了保证基本微分方程（7-5）和（7-6）的一致性，式（7-7）各项系数必须彼此相等，即：故得两相似指标方程如下：（7-10）（7-9）（7-8）Page 21另一个相似指标方程要由分析起始条件建立，即当t=0时： ，若这时考虑二现象，可得：也进行相似转换，得：（7-11）Page 22将式（7-2）（7-4）所表示的相似常数值代入（7-9）（7-11）可得相似准则式为：此处，即为独立的相似准则。（7-12）（7-13）（7-14）Page 23在本例情况下，非独立相似准则显然为，故汇同独立相似准则，可构成关系
13、式如下：关系式具有如下特性：任何两个（或多个）项的代数转变，如乘、除、加、减、提高或降低幂次，仍不改变原关系式的性质。但条件：幂次不得降低或升高至零，项总数不得减少或增加（因为项总数系由物理量总数和基本量纲数之差决定，是个定值）。项关系式之所以具有如此特性，是因为：（7-15）Page 24经过转换后的项仍是无量纲综合数群；对于本来就相似的二现象，因变项1仍然同关系式中原各独立项构成函数关系；所以，反过来也一样，如果二关系式中经过转变的项仍一一对应，则二现象相似。Page 252.类比积分法积分类比法是一种比较简单的办法，一般都用它来代替相似转换法。其步骤如下：写出现象的基本方程（或方程组）及
14、其全部单值条件，办法同前。用方程中的任一项除其它各项（对于类似的项可只取其中一项）。故得：（7-22）（7-21）Page 26将各项中涉及的导数用相应量比值，即所谓的积分类比来代替。就是说，将所有微分符号去掉，仅留下量本身的比值。本章实例中，就是以这时由（7-21）、（7-22）可得：如果某现象某量沿各轴有微分分量时，则只取一个轴上的分量，而该微分分量又用参量的总量代替。例如的同一代替物是。（7-24）（7-23）Page 27上面两式的相似准则由于只利用了物理和边界两种单值条件的参量，故利用起始条件，可另立二式如下，即t=0时：对前式进行积分类比可得：由后式则可得因变量项为：。（7-27）
15、（7-25）（7-26）Page 28至此，各项全部求得：其关系式为：上式中给出的关系式并不合理，因为在变项中带有待测因变参量y，不利于模型试验的进行。为此可将式（7-26）代入项，使之改换成而关系式也因此变为：比较两式可得出结论：因变量项同样可以参与各项的代数转变。但更多时候，因变项参与代数转变的目的是为了改造自身的形式，使之对模型试验有利。（7-29）（7-28）Page 29第八章用量刚分析法导出相似准则1.量纲系统的转换在研究量纲分析法前，先要弄清楚量纲系统的转换。如果基本量纲按最常见的情况取为三种，则可得二量纲系统如下：FLT系统或MLT系统。前者又称力系统，后者又称质量系统。力系统
16、和质量系统中的F和M，可按牛顿第二定律转换。一般来说，工程问题的量纲系统，以力系统较为常见，但质量系统也在不少场合下出现。它们的选择，取决于量纲分析和物理量测量上的方便程度。Page 302.量纲方程及其作用如前所述，量纲分析法较之其他两种方法具有十分明显的优点。这些优点得以实现的前提，在于正确的选择参数。或者说对于现象的机理要有深刻的认识。这种方法在一定程度和一定条件下又可以用来弥补这种方法在正确选择参数上可能存在的某种不足，从而改进人们对一些现象的认识，加深人们对现象实质的了解，提高人们的分析判断能力，并作为较为符合客观实际的结论。量纲分析的这种特点，是通过所谓“量纲方程”得到表现或说明的
17、。量纲方程是量纲分析法的核心，以物理方程的齐次性作为其依据。量纲方程的真正作用表现在物理方程尚未掌握的时候。Page 31量纲方程能根据正确选择的参量建立建立起带未知系数的、供相似分析用的物理方程。【例1】一个自由落体在时间t内落下的距离为S，试写出它的一般方程。解：这里重要的是确定影响因变量S的因素。如果正确的选择了时间t和重力加速度g作为这种因素，亦即S=f（g，t），则物理方程的形式应该是式中为无量纲系数，待定。以各参量的量纲代入上式得（8-4）（8-4a）Page 32根据方程量纲齐次的原则，式（8-4a）的左、右侧应具有相同的量纲，故：解方程（8-4b），得：故自由落体的一般方程为：
18、（8-4b）（8-5）Page 33能剔除被多余考虑的物理量。【例2】若自由落体所经历的距离S随物体的重量W，所经历的时间t及重力加速度g而变，试写出它的一般方程式。解：物理方程的形式是：将各参量的量纲代入，可得：根据方程量纲齐次的原则，可解得：故自由落体的一般方程为：（8-7）（8-6）（8-6a）Page 34当正确的物理量被忽略时，能给以判断。【例3】若自由落体所经历的距离仅与时间t有关，试写出它的方程。解：物理方程的形式是根据方程量纲齐次原则，可知此处：从上式看出，1=0说明方程有错误；c1=0，说明与原假定不符，这些都造成方程无法求解。其原因在于原方程略去了正确的参量g。除此之外，还
19、能减少方程的未知数数目，从而使试验工作得到简化。（8-8）（8-8a）Page 35从三种现象的对比不难看出，量纲分析法由于着眼于量纲分析或量纲方程，具有较之方程分析法更为明显的优点。三种现象中，参量尽管相同，由于从相似理论的角度看问题，他们不属于同一类现象，故从概念上说，必须分别的加以分析、推导，并有时通过实验决定各自有别于其他现象的常数，在此基础上再去谈同类现象的推广。Page 363.量纲方程的限制当物理现象较为复杂时，要通过量纲方程来说明问题就很困难，这是由量纲分析法本身一系列的弱点引起的：无法考虑现象的单值条件，因此往往难以构成现象相似的充要条件。这种情况的直接后果，是某些与现象有关
20、的物理量有可能被遗忘或被错选；很难区别量纲相同、但却具有不同物理意义的物理量（例如，压力、应力、内聚力、外附力、弹性模量等具有相同的量纲，但意义不同），从而无法显示现象的内部结构和物理量所占据的地位。Page 37很难控制量纲为零的物理量。尽管它们具有自身的物理意义，但置入与否并不影响无量纲综合数群相似准则的形成；很难发现在关系方程中常会遇到的带有量纲的物理常数，从而在实验中混同于含有其量纲成分的物理量一起处理，使常数成分变成了变数成分。这些情况，使得复杂现象的物理量的正确选择成为十分困难的事，因此无法建立起与其相应的量纲方程并引导出十分正确的结论。只能通过实践不断摸索，使之走向正确，而其手段
21、就是实验。Page 384.关于近似模拟近似模拟本身也是一门学问，对近似模拟各国学者有基本相似的看法：认为“在许多情况下，物理量的数目比较多，在模型实验中要满足所有的项都相等的条件往往是做不到的，但是如果进行深入分析，得到了简化的模型，那么虽然不能实现完全的模拟，但局部的模拟常是可能的。”认为“所有缩尺模型从严格意义上说都是近似模拟。”认为“有些现象具有数个独立的相似准则，想同时保证各自数值相等是无法实现的。”Page 39认为“即使即使量纲分析是很粗糙的理论，只要里面包含了与该现象有关的重要参数，那么这个方法在实际上还是有效的”认为“要遵守第三定律所得的所有相似条件是困难的，因此迫使相似理论
22、在大多数情况下同样要走上近似结论的道路。这样就产生了近似相似的方法，大大扩展了相似理论应用的领域”认为“准确模拟复杂现象的尝试往往会导致无用的结果模型应当与原型一样，结果是抛弃了模拟。”认为“为了不超越允许的近似的界限，必须首先要控制模型与实物差异的程度，分别研究其中的每一个相似条件，来获得可能离开任何一个相似条件的指示。”由此可见，在复杂现象中，因量纲分析法的弱点而来的近似模拟，却常常是合理的。Page 405.相似准则的导出当用量纲分析法决定相似准则时，我们需知道现象所包含的物理量就可以了。但当物理量很多时，项的数目也会多起来，决定它们并不容易。下面从简单例子说起。【例1】参量为S,g,t
23、,如果参量选择正确，即相似准则可取如下形式：=sagb.tc将量纲代入：=L0t0=LaLT-2bTc两边量纲相等：L：a+b=0T:-2b+c=0上式为二个方程，三个未知数，故无法解出a、b、c具体值。为此需设定其中一个值。若设a=-1，可得：b=1，c=2，便可求得：（8-12a）（8-12b）（8-12）Page 41如设a=1b=-1，c=-2，则可得：=也是相似准则。【例2】质点的力学方程参数为f，m，v，t，则相似准则可取如下形式：=fambvctd=F0L0T0=FaFL-1T2bLT-1cTdF:a+b=0L:-b+c=0T:2b-c+d=0得:（8-13）（8-14）（8-1
24、5b）（8-15a）（8-15）（8-16）Page 42上面二例，都符合相似第二定律关于相似准则数的论述，即n-k=3-2=1，n-k=4-3=1.但有时也有例外，即在某现象中有一基本量纲不起作用，但在量纲分析开始时却考虑了它。这里问题的关键，是要判断例1中式（8-12b）或例2中式（8-15b）的各方程是否是相互独立的。为了科学的判断他们的独立性，要利用线性代数中矩阵的“秩”的概念。如设上二例量纲矩阵的秩数为r，则相似准则的数目便为n-r。矩阵的秩数r应恰好等于起作用的基本量纲的数目k。Page 436.从量纲矩阵求相似准则数目举第七章中“弹簧-质量-阻尼”系统为例。该系统七个变量分别为位
25、移，质量，阻尼系数，弹簧刚度，初始速度，初试位移和时间。它们的量纲矩阵是矩阵的代数理论告诉我们：独立方程式的数目等于矩阵的秩。本例中，二、三、四列所组成的行列式其值不为零，故方阵的秩数为3，而相似准则总数为7-3=4。Page 447.再从量纲矩阵求具体的相似准则量纲矩阵为人们求取具体相似准则提供了一项更为直观的形式。这时只需在矩阵所示各参量的上方再加上各该参量的指数就行了。a1、a2a7即为指数，则量纲矩阵如下所示。 它们的量纲矩阵是：Page 45按此矩阵，可得三个线性齐次代数方程如下：三个方程无法解出7个未知数，故应使未知数中的三个转化为其余4个未知数的函数关系。设a4、a5、a7为三个
26、方程中的任意假定的已知量，则a1、a2、a3分别为：（8-18）（8-17）Page 46因本例中相似准则数为：7-3=4个，（独立的为3个）。故a4、a5、a6、a7应前后设定四套数值。最简单的为办法是设其中一个值为1，而其余值为0，因此：当a4=1,a5=a6=a7=0时，可得：a1=0a2=1a3=-2；当a5=1,a4=a6=a7=0时，可得：a1=-1a2=1a3=-1；当a6=1,a4=a5=a7=0时,可知：a1=-1a2=0a3=0；当a7=1,a4=a5=a6=0时,可得：a1=0a2=-1a3=1。此解可简明地列矩阵形式，取名为矩阵：Page 47从上面矩阵可以看出，第一、
27、二、三列所代表的四行恰好是式（8-18）各方程中等号右侧a4、a5、a6、a7的系数。而四、五、六、七列则构成单位矩阵。掌握了这个特点，可以很快地将矩阵写出。在矩阵中，每一行代表无量纲乘积的一组指数。据此，可建立起数目与行数相同的各独立项来。分别为：（8-19）Page 48因为位移项作为因变项，式（8-19）的不合理处在于参量y包含在独立项的2中。为使模型试验得以进行，需以2除3改造成：这样便建立起关系式为：在前面关于方程分析法一节，我们得到这一系统的关系式为：（7-20）（8-20）Page 49比较式（8-20）和式（7-20）可知，前者各独立项分别以独立变量k、v0、t相区别，后者各独
28、立项分别以独立变量、t、v0相区别。但从性质上说，两个关系式都是一致的。因为式（8-20）各项的代数转变，可得式（7-20）结果。总体来说，如果考虑到各个领域的相似现象，则相似准则的形式及其转变应该服从这样几个出发点，以利于模型设计和合理的组织模型试验：相似准则应具有明显的物理意义，并使其物理意义与所研究的物理现象密切相关。通过代数转变，去掉相似准则中无法测量或难以测量的量Page 50在许许多多组性质一致的关系式中，应取用形式最简单的一组。相似准则形式转变的结果，应使待测物理量仅仅出现在因变（或非独立）项内。相似准则形式转变的结果，应使相应次要的独立变量仅仅出现在一个独立项内。Page 51thank you
