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1、DABCE19.1.3 19.1.3 平行四边形判定（平行四边形判定（3 3）三角形的中位线三角形的中位线回顾与联想： ABCD(1)ABCD, BCAD(2) AB=CD，BC=AD (4) A= C ， B= D(5) AO=OC, BO=OD(3)(3) AB ABCD,AB=CDCD,AB=CDA AB BC CD DOO引例：引例：如图，点如图，点D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC的中点的中点.求证求证:DEBC且且DE= BCABCDEBCADEF证明：延长证明：延长DE到到F,使使EF=DE,连接连接FC、DC、AF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形四边形四边形
2、DBCF是平行四边形是平行四边形AE=ECCFDA，CF=DACFBD，CF=BDDFBC，DF=BC又又DE= DFDEBC且且DE= BC还有另外的证法吗？还有另外的证法吗？ABCDEF DE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFE证明：证明：如如 图，延图，延 长长DE 到到 F，使，使EF=DE ，连连 结结CF.AD=FC 、A=ECFABFC又又AD=DB BD CF且且 BD =CF所以所以 ，四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形DE BC 且且 DE=1/2BC引例：引例：如图，点如图，点D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC的中点的中点.求证求证: D
3、EBC且且DE= BC定义：定义：把连接三角形两边中点的线段叫做把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线。 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于三角形的第于三角形的第三边，且等于第三边的三边，且等于第三边的一半一半。中位线定理中位线定理证明平行问题证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的2倍倍或或1/2 三角形的中位线与三角形的中线有三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？什么区别？ 中位线是中位线是两个中点两个中点的连线，而中线是的连线，而中线是一个一个顶点顶点和对边和对边中点中点的连线。的连线。巩固练习：巩固练习：1.如图，点如图，点D、E、
4、F分别是分别是ABC的边的边AB、BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？图中画出多少个平行四边形？ BAFEDC三条中位线把原三角形分三条中位线把原三角形分成了几个小三角形？这些成了几个小三角形？这些三角形有什么关系？三角形有什么关系？2.如图，如图， A 、B两点被池塘隔开，在两点被池塘隔开，在AB外选外选一点一点C，连接连接AC和和BC，怎样测出怎样测出A、B两点两点的实际距离？根据是什么？的实际距离？根据是什么？ABCDE 例例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。边形是平行四
5、边形。已知：已知：E、F、G、H分别是四边形分别是四边形ABCD中中AB、 BC、CD、DA的中点。的中点。 求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。 任意四边形四边中点连线所得的四边形任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。一定是平行四边形。例例2：已知：已知 ABCD中，中，AC、BD相交于点相交于点O，E、F、G、H分别是分别是AB、OB、CD、OD的中点。求的中点。求 证：证：HEF FGH。例例3：已知：已知:E为平行四边形为平行四边形ABCD中中DC边的延边的延长线上一点长线上一点,且且CE=DC,连结连结AE,分别交分别交BC、BD于点于点F、G，
6、连接，连接AC交交BD于于O，连结，连结OF.求证求证: AB= 2 OFA AD DB BC CE EGGF FOO提示提示:证明证明证明证明ABFABF ECF,ECF,得得得得BF=CF,BF=CF,再证再证再证再证OFOF是是是是ABCABC的中位线的中位线的中位线的中位线. . 练一练练一练1.ABC中中,D、E分别是分别是AB、AC的中点，的中点， BC=10cm，则，则DE=_.A AE ED DC CB B(1)B BD DA AE EC C(2)(2)2. ABC中中,D、E分别是分别是AB、AC的中点，的中点，A=50, B=70,则则AED=_. 3 3、ABC ABC
7、中，中，D D 是是ABAB中点，中点，E E是是ACAC上的点，上的点，且且3 3AE AE =2=2ACAC，CDCD、BEBE交于交于O O点点. . 求证：求证：OE OE = = BEBE. . 1.1.如图如图1,1,在在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90，点，点D,FD,F分别为分别为ACAC，BCBC的中点，的中点，CECE是斜是斜边的中线，如果边的中线，如果DF=3cmDF=3cm，则则CE=_cmCE=_cm。ABCDEF图图12.2.已知如图已知如图2 2，BDBD、CECE分别是分别是 ABCABC的外的外角角 平分线，过点平分线，过点A A作作AFB
8、D,AG CEAFBD,AG CE，垂垂足分别是足分别是F F、G G，连结连结FGFG，延长延长AFAF、AGAG，与与直线直线BCBC相交相交, ,求证求证: :FG=1/2FG=1/2（AB+BC+ACAB+BC+AC）ABCDEFGHHK直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。斜边的一半。注意：注意：在处理问题时在处理问题时,要求要求同时同时出现出现三角形三角形及及中位线中位线有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线要作辅助线产生三角形产生三角形有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要要连结两边中点得中位线连结两边中点得中位线定定 理理 应应 用：用：定理为证明定理为证明平行关系平行关系提供了新的工具提供了新的工具定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2 2倍或倍或 1/21/2提供了一个新的途径提供了一个新的途径 思考题：思考题：已知如图：在已知如图：在ABC中，中，AB、BC、CA的中点分别是的中点分别是E、F、G，AD是高。求是高。求 证：证：EDG EFG。分析：分析：EF是是ABC的中位线的中位线DG是是RtADC斜边上的中线斜边上的中线EFDG你还你还想到了什么想到了什么？
