《高等数学课件：15-2一般周期函数的傅里叶级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：15-2一般周期函数的傅里叶级数（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节一般周期函数 的傅里叶级数 第十五十五章 傅里叶级数傅里叶级数一、周期为一、周期为2l 的函数展开成的函数展开成二、定义在二、定义在-l, l 和和0, l 区间上区间上 的函数的函数展开展开成傅里叶级数成傅里叶级数一一、周期周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数的函数展开成傅里叶级数思路：思路：展开展开定理定理4(展开定理展开定理)结论结论(连续点处连续点处)(1)若以若以2l 为为周期的周期函数周期的周期函数 f (x) 在在(-l , l )(2) 上为上为奇函数奇函数，则，则 其中其中(2) 若以若以2l 为周期的周期函数为周期的周期函数 f (x) 在在(-l , l
2、 ) 上为上为偶函数偶函数，则，则(连续点处连续点处)其中其中注注 傅里叶级数总傅里叶级数总收敛于收敛于(在在 f (x) 的间断点的间断点 x 处处)例例1解解解解例例2傅里叶级数之和函数：傅里叶级数之和函数：3 所求函数的傅里叶展开式为：所求函数的傅里叶展开式为：思思想想二、定义在二、定义在 -l , l 和和 0, l 区间上的区间上的函数函数周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开展成傅里叶级数展成傅里叶级数1. 将将l , l 上的函数展成傅里叶级数上的函数展成傅里叶级数xyOxOyxyOxOy其中傅里叶系数其中傅里叶系数例例3解解(周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开限制限制)注注2.
3、 将将0,l 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 f (x)展成展成正正弦级数弦级数奇奇延拓延拓偶偶延拓延拓周期延拓周期延拓F (x)限制限制(余余)(展开展开)例例4 将函数将函数分别展成分别展成正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 . 解解 将将 f (x) 作作奇延拓奇延拓及及周期延周期延拓拓. (1)展成展成正弦级数正弦级数.注注在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 .故故 （与（与f (x) = x + 1 的对应值不同）的对应值不同） (2)展成余弦级数展成余弦级数. 将将作作偶周期延拓偶周期延拓.注注 令令 x = 0 可得可得即即*3
4、.将将a,b上的函数展成上的函数展成傅里叶级数傅里叶级数在在上的傅里叶级数上的傅里叶级数 (周期周期T=b-a)傅傅里里叶展开叶展开*例例5 将将展成傅里叶级数展成傅里叶级数.解解 令令延拓延拓奇函数奇函数F(t) (周期周期T= 10 ). 为正弦为正弦 级数级数) 内容小结内容小结1. f(x)(周期周期:2l )的傅里叶展开式的傅里叶展开式(x :连续连续点点)其中其中( f (x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2. -l, l或或0, l上函数的傅里叶展开上函数的傅里叶展开延拓延拓展开展开 限制限制几点注记几点注记1. 注意画图形注意画图形.(便于发现奇偶性及间断点便于发
5、现奇偶性及间断点,写收敛域写收敛域) 2. 计算傅里叶系数时计算傅里叶系数时, a0 要单独算要单独算;3. 0 , l 上函数的傅里叶展式不唯一上函数的傅里叶展式不唯一.( 延拓方式不同级数也不同延拓方式不同级数也不同)关于函数的傅里叶级数展开关于函数的傅里叶级数展开例例1-1的傅立叶级数的傅立叶级数, 并求级数并求级数(91 考研考研) 解解f(x)为偶函数为偶函数,因因 f (x) 周期延拓后在周期延拓后在展成周期为展成周期为2的和的和.周期延拓周期延拓,故故注注例例2-1解解方法方法2例例2-2 交流电压交流电压经经半波整流半波整流后负后负压消失压消失, ,试求试求半波整流函数半波整流
6、函数f( (t t) )的的解解 傅傅里里叶级数叶级数. .上的表达式为上的表达式为f(t)周期为周期为n 1 时时因半波整流函数因半波整流函数 f ( t )直流部分直流部分注注交流部分交流部分2 k 次谐波振幅：次谐波振幅： k 越大振幅越小越大振幅越小.(实际应用中取前几项足以逼近实际应用中取前几项足以逼近f (x)例例3-1数展式为数展式为则系数则系数解解(93 考研考研)的的傅里叶级傅里叶级利用奇偶性利用奇偶性例例3-2 写出写出傅氏级数的和函数傅氏级数的和函数 .答案答案例例4-1 展开成展开成(1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数.解解 (1) 将将 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, x = 2 k 处处级数收敛级数收敛于何值于何值?(2) 将将 作作偶偶周期延拓周期延拓,例例4-2 设设求当求当的的表达式表达式 .解解 奇延拓奇延拓:由周期性由周期性,f(x)的周期为的周期为2的正弦级数展式的和函数的正弦级数展式的和函数, 定义域定义域又又是是
