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1、世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四第二讲Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望必记公式必记公式1.“1.“基本数列基本数列”的通项公式：的通项公式：(1)(1)数列数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(2)(2)数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(3)(3)数列数列3,5,7,9,3,5,7,9,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(4)(4)数列数列2,4,6
2、,8,2,4,6,8,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(-1)(-1)n nn n2n+12n+12n2n(5)(5)数列数列1,2,4,8,1,2,4,8,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(6)(6)数列数列1,4,9,16,1,4,9,16,的通的通项公式是公式是a an n=_.=_.(7)(7)数列数列1,3,6,10,1,3,6,10,的通项公式是的通项公式是a an n= .= .(8)(8)数列数列 的通项公式是的通项公式是a an n= .= .2 2n-1n-1n n2 22.2.常用的拆项公式：常用的拆项公式：(1)(1)(2)(2)(3)(3)
3、(4)(4)若等差数列若等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则= =(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)n(8)nn!=(n+1)!-n!.n!=(n+1)!-n!. 1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷改编改编) )设首项为设首项为1 1，公比为，公比为 的等比的等比数列数列a an n的前的前n n项和为项和为S Sn n，则，则S Sn n=_.=_.【解析解析】因为等比数列的首项为因为等比数列的首项为1 1，公比为，公比为 S Sn n= = = = 所以所以S Sn n=3-2a=3-2an n. .答案：答案：3-2a3-2an n2.(20132.
4、(2013玉溪模拟玉溪模拟) )数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是 若若前前n n项和为项和为1010，则项数，则项数n n为为_._.【解析】【解析】由由 所以所以a a1 1+a+a2 2+ +a+an n 即即 即即 解得解得n+1=121,n=120.n+1=121,n=120.答案：答案：1201203.(20133.(2013启东模拟启东模拟) )对正整数对正整数n,n,设曲线设曲线y=xy=xn n(1-x)(1-x)在在x=2x=2处的处的切线与切线与y y轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为a an n, ,则数列则数列 的前的前n n项和的公项和的公式式S Sn n=
5、_.=_.【解析】【解析】切线的斜率切线的斜率k=n2k=n2n-1n-1-(n+1)2-(n+1)2n n, ,切线方程为切线方程为y+2y+2n n= =n2n2n-1n-1-(n+1)2-(n+1)2n n(x-2),(x-2),令令x=0,x=0,得得a an n=(n+1)2=(n+1)2n+1n+1-n-n2 2n n-2-2n n=(n+1)=(n+1)2 2n n, ,所以所以 =2 =2n n, ,前前n n项和项和S Sn n=2=2n+1n+1-2.-2.答案：答案：2 2n+1n+1-2-24.(20134.(2013 重重庆模模拟) )化化简S Sn n=n+(n-1
6、)=n+(n-1)2+(n-2)2+(n-2)2 22 2+ +2+22 2n-2n-2+2+2n-1n-1的的结果是果是_._.【解析】【解析】因为因为S Sn n=n+(n-1)=n+(n-1)2+(n-2)2+(n-2)2 22 2+ +2+22 2n-2n-2+2+2n-1n-1, ,2S2Sn n=2n+(n-1)=2n+(n-1)2 22 2+(n-2)+(n-2)2 23 3+ +2+22 2n-1n-1+2+2n n, ,两式作差两式作差, ,得到得到S Sn n=-n+(2+2=-n+(2+22 2+ +2+2n-1n-1)+2)+2n n, ,化简得到正确答案化简得到正确答
7、案. .答案：答案：2 2n+1n+1-n-2-n-25.(20135.(2013盐城模拟盐城模拟) )等差数列等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,关于关于x x的不等式的不等式 0 0的解集为的解集为0,220,22, ,则使数列则使数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n最大的正整数最大的正整数n n的值是的值是_._.【解析】【解析】由题意可知，由题意可知，d0,c=0d0,c=0且且 即即1- =22,1- =22,所以所以由由a an n00得得 +(n-1)d0, +(n-1)dn因此因此aan n 从第从第1212项开始项开始a an n00,aq0,a9 9=
8、b=b4 4q q2 2,4q,4q2 2=16,q=2,=16,q=2,1+2+3+1+2+3+9=45,+9=45,故故a a5050是数阵中第是数阵中第1010行第行第5 5个数个数, ,则则a a5050=b=b1010q q4 4=10=102 24 4=160.=160.(2)(2)因为因为所以所以= = = =令令f(x)= (x1),f(x)= (x1),f(x)=f(x)=当当x1x1时时,f(x),f(x)0,f(x)0,f(x)在在1,+)1,+)上为减函数上为减函数, ,所以所以TTn n 为递减数列为递减数列,T,Tn n的最大值为的最大值为T T1 1= =所以不等
9、式变为所以不等式变为t t2 2-2mt-3-2mt-30 0恒成立，恒成立，设设g(m)=-2tm+tg(m)=-2tm+t2 2-3,m-3,m-1,1-1,1, ,则则 即即解得解得t t3 3或或t t-3-3【方法总结】【方法总结】裂项相消法求和应注意的问题裂项相消法求和应注意的问题(1)(1)通项公式形如通项公式形如 ( (其中其中a,ba,b1 1,b,b2 2,c,c为常数为常数) )用裂项相消法用裂项相消法. .(2)(2)裂项时要保证裂项前后相等裂项时要保证裂项前后相等, ,为此可通过通分检验裂项的正为此可通过通分检验裂项的正确性确性. .【变式训练】【变式训练】(2013
10、(2013南京模拟南京模拟) )设设aan n 是正数数列，其前是正数数列，其前n n项项和和S Sn n满足满足(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)令令b bn n= = 试求数列试求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .【解析】【解析】(1)(1)由由a a1 1=S=S1 1= (a= (a1 1-1)(a-1)(a1 1+3)+3)及及a an n00得得a a1 1=3.=3.由由S Sn n= (a= (an n-1)(a-1)(an n+3),+3),得得S Sn-1n-1= (a= (an-1n-1-1)(a-1)(an-
11、1n-1+3).+3).所以当所以当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1= (a= (an n-1)(a-1)(an n+3)- (a+3)- (an-1n-1-1)(a-1)(an-1n-1+3)+3)= = (a(an n2 2-a-an-1n-12 2)+2(a)+2(an n-a-an-1n-1) ). .整理整理, ,得得2(a2(an n+a+an-1n-1)=(a)=(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1).).因为因为a an n+a+an-1n-100，所以，所以a an n-a-an-1n-1=2=2，即，即aan n
12、 是以是以3 3为首项、公差为首项、公差为为2 2的等差数列，于是的等差数列，于是a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)因为因为a an n=2n+1=2n+1，所以，所以S Sn n=n(n+2),b=n(n+2),bn n= =热点考向热点考向 3 3 错位相减法求和错位相减法求和【典例【典例3 3】(2013(2013济南模拟济南模拟) )已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=3=3，a an+1n+1-3a-3an n= =3 3n n(nN(nN* *) )，数列，数列bbn n 满足满足 (1)(1)证明数列证明数列bbn n 是等差数列并求数列是等差数列并求
13、数列bbn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)求数列求数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n. .【解题探究】【解题探究】(1)(1)要证明数列要证明数列bbn n 是等差数列只需证明是等差数列只需证明: :_. .(2)(2)数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是: a: an n=_=_,=_=_,根据通项公式的结构特点根据通项公式的结构特点, ,可用可用_法求法求S Sn n. .b bn+1n+1b bn n= =常数常数3 3n nb bn n(n+2)(n+2)3 3n-1n-1错位相减错位相减【解析】【解析】(1)(1)由由 得得所以所以所以数列所以数列
14、bbn n 是等差数列，首项是等差数列，首项b b1 1=1=1，公差为，公差为所以所以 (2)a(2)an n=3=3n nb bn n=(n+2)=(n+2)3 3n-1n-1, ,所以所以S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n=3=31+41+43+3+(n+2)+(n+2)3 3n-1n-1所以所以3S3Sn n=3=33+43+43 32 2+ +(n+2)+(n+2)3 3n n-得得-2S-2Sn n=3=31+3+31+3+32 2+ +3+3n-1n-1-(n+2)-(n+2)3 3n n=2+1+3+3=2+1+3+32 2+ +3+3n-1n-1-(n
15、+2)-(n+2)3 3n n= =所以所以【方法总结】【方法总结】错位相减法求和应注意的问题错位相减法求和应注意的问题(1)(1)通项公式形如通项公式形如 ( (其中其中k k1 1,b,b1 1,k,k2 2,b,b2 2,q,q为常为常数数) )，用错位相减法，用错位相减法. .(2)(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1n+1项中项中的前的前n n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零意要讨论代数式是否为零. .【变式训练】【变式训练】(2013(2
16、013山东高考山东高考) )设等差数列设等差数列a an n的前的前n n项和项和为为S Sn n，且，且S S4 4=4S=4S2 2，a a2n2n=2a=2an n+1.+1.(1)(1)求数列求数列a an n的通项公式的通项公式. . (2)(2)设数列设数列b bn n的前的前n n项和为项和为T Tn n，且，且 = ( = (为常为常数数) )，令，令c cn n=b=b2n2n(nN(nN* *) )求数列求数列c cn n的前的前n n项和项和R Rn n【解析】【解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，由由S
17、S4 4=4S=4S2 2,a,a2n2n=2a=2an n+1+1得得解得解得a a1 1=1,d=2=1,d=2，因此因此a an n=2n=2n1,nN1,nN* *. .(2)(2)由题意知由题意知所以所以n2n2时，时，b bn n=T=Tn nT Tn n1 1= =故故c cn n=b=b2n2n= =所以所以则则两式相减得两式相减得整理得整理得所以数列所以数列ccn n 的前的前n n项和项和R Rn n= =【典例】【典例】已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 1=1,a=1,a2 2= = 且且3+(-1)3+(-1)n naan+2n+2- -2a2an n+
18、2(-1)+2(-1)n n-1=0,nN-1=0,nN* *. .(1)(1)求求a a3 3,a,a4 4,a,a5 5,a,a6 6的值及数列的值及数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设设b bn n=a=a2n-12n-1aa2n2n-(-1)-(-1)n nln aln a2n2n，求数列，求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n【解析】【解析】(1)(1)经计算经计算a a3 3=3, a=3, a5 5=5,a=5,a6 6= = 当当n n为奇数时为奇数时,a,an+2n+2=a=an n+2,+2,即数列即数列aan n 的奇数项成等差数列的奇数
19、项成等差数列, ,所以所以a a2n-12n-1=a=a1 1+(n-1)+(n-1) 2=2n-1;2=2n-1;当当n n为偶数，为偶数， 即数列即数列aan n 的偶数项成等比数列，所的偶数项成等比数列，所以以 因此，数列因此，数列aan n 的通项公式为的通项公式为(2)(2)因为因为b bn n=a=a2n-12n-1 a a2n2n-(-1)-(-1)n nlnalna2n2n= = =令令并设数列并设数列ccn n,d,dn n 的前的前n n项和分别为项和分别为T Tn n,T,Tn n.则则，两式相减，两式相减，得得= = =所以所以T Tn n=-1+2-3+4+=-1+2
20、-3+4+(-1)+(-1)n nnln 2,nln 2,所以当所以当n n为偶数时为偶数时T Tn n=当当n n为奇数时，为奇数时，T Tn n=所以所以T Tn n=综上可知，综上可知，S Sn n=T=Tn n+T+Tn n=【方法总结】【方法总结】条件中含有条件中含有( (1)1)n n题目的求解策略题目的求解策略通项公式形如通项公式形如a an n=(-1)=(-1)n nn n或或a an n=a=a(-1)(-1)n n( (其中其中a a为常数，为常数，nNnN* *) )等正负交叉项的求和一般用并项法等正负交叉项的求和一般用并项法. .并项时应注意分并项时应注意分n n为奇
21、数、为奇数、偶数两种情况讨论偶数两种情况讨论. .分类讨论思想分类讨论思想解决数列中的求和问题解决数列中的求和问题【思想诠释】【思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)求和分类讨论，如求数列求和分类讨论，如求数列|a|an n|的前的前n n项和项和.(2).(2)对等比数列公比的讨论对等比数列公比的讨论, ,如求等比数列前如求等比数列前n n项和问题中对公项和问题中对公比比q=1q=1和和q1q1进行讨论进行讨论.(3).(3)对项数的奇偶进行讨论对项数的奇偶进行讨论, ,如当条件中如当条件中含有含有(-1)(-1)n n时应讨论时应讨论n n的奇偶性的奇偶性. .2.2.解题思路
22、：结合数列的通项公式及求和公式，全面分析各项解题思路：结合数列的通项公式及求和公式，全面分析各项变化引起结论的变化情况进行分类讨论求解变化引起结论的变化情况进行分类讨论求解. .3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，符合最简原则符合最简原则.(2).(2)运用公式求和时要注意公式成立的条件运用公式求和时要注意公式成立的条件. .【典例】【典例】(14(14分分)(2013)(2013 浙江高考浙江高考) )在公差在公差为d d的等差数列的等差数列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=10,=10,且且a a
23、1 1,2a,2a2 2+2,5a+2,5a3 3成等比数列成等比数列. .(1)(1)求求d,ad,an n. .(2)(2)若若d0,d0,求求|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a3 3|+|+|a+|an n|.|.【审题】【审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点切入点: :把把a a2 2,a,a3 3用用a a1 1,d,d表示表示, ,列方程求解列方程求解. .关注点关注点: :公差公差d d有两个结果有两个结果, ,从而有两个从而有两个a an n. .(2)(2)切入点切入点: :令令a an n00求出变号的项求出变号的项. .关注点关注
24、点: :需根据需根据a an n的正负分类讨论求解的正负分类讨论求解. .【解题】【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)由题意得由题意得,5a,5a3 3 a a1 1=(2a=(2a2 2+2)+2)2 2, ,2 2分分d d2 2-3d-4=0,-3d-4=0,解得解得d=-1d=-1或或d=4d=4， 所以所以a an n=-n+11=-n+11或或a an n=4n+6.=4n+6.5 5分分(2)(2)设数列设数列aan n 前前n n项和为项和为S Sn n, ,因为因为d0,d0,所以所以d=-1,ad=-1,an n=-n+11,=-n+11,则则由由a a
25、n n0,0,即即-n+110-n+110得得n11.n11.所以当所以当n11n11时时,a,an n0,n120,n12时时,a,an n0.0.7 7分分所以所以n11n11时，时，|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a3 3|+|+|a+|an n|=S|=Sn n 1010分分n12n12时，时，|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|a1111|+|a|+|a1212|+|+|a+|an n|=a|=a1 1+a+a2 2+ +a+a1111- -a a1212- -a-an n=S=S1111-(S-(Sn n-S-S1111) )= =-S-Sn n+
26、2S+2S1111= =综上所述，综上所述，|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|+|a+|an n| | 1414分分【点题】【点题】规避误区，规避误区，失分失分警示警示 失分点一失分点一题中题中处容易在解方程组时只得到一组解处容易在解方程组时只得到一组解失分点二失分点二忽略忽略处讨论导致解题步骤不完整处讨论导致解题步骤不完整, ,从而失分从而失分失分点三失分点三处易错写为处易错写为S Sn n-2S-2S1111导致答案错误导致答案错误【变题】【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013 北京模北京模拟) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前3 3项和和为
27、6,6,前前8 8项和和为-4,-4,(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)设b bn n=(4-a=(4-an n)q)qn-1n-1(q0,nN(q0,nN* *),),求数列求数列bbn n 的前的前n n项和和S Sn n. .【解析】【解析】(1)(1)设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，则则解之得解之得a a1 1=3,d=-1.=3,d=-1.所以所以a an n=3-(n-1)=4-n.=3-(n-1)=4-n.(2)(2)由由(1)(1)的解答可得的解答可得,b,bn n=n=n q qn-1n-1, ,则则S Sn n=1=1 q q0 0+2+2 q+3q+3 q q2 2+ +n+n q qn-1n-1,若若q1,q1,将上式两边同乘以将上式两边同乘以q q得得qSqSn n=1=1 q+2q+2 q q2 2+3+3 q q3 3+ + +(n-1)(n-1) q qn-1n-1+n+n q qn n,-得得, ,(q-1)S(q-1)Sn n=nq=nqn n-1-q-q-1-q-q2 2- -q-qn-1n-1= =所以所以若若q=1q=1，则，则综上综上
