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1、第六节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关曲率 第四四章 科学出版社弧微分弧微分设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长科学出版社则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:科学出版社曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注注:转角为（单位弧长转过的角度）直线上任意点处的曲率为 0 !科学出版社例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解:可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .如图所示 ,科学出版社有曲率近似
2、计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由科学出版社注注: 1) 若曲线由参数方程给出, 则2) 若曲线方程为则科学出版社例例2. 在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大等价于最小求驻点: 椭圆科学出版社设从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.K 最大等价于最小科学出版社曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:1) 有公切线;2) 凸向一致;3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使科学出版社例例3. 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解:由例3可知, 椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小, 且为显然, 砂轮半径不超过才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例例2设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨设椭圆方程为科学出版社
