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1、基础课3 3等比数列考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养等比数列的通项公式与 前 n 项和公式掌握2023年新高考II卷 T82023年全国甲卷（理）T52023年全国甲卷（文）T132023年全国乙卷（理）T152023年天津卷T6 逻辑推理数学运算等比数列的性质理解2023年北京卷T142021年新高考I 卷 T16 逻辑推理数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，本基础课是高考的热点，命题热点是证明题或以数学文化为背景的题.预计2025年高考命题情况变化不大，但也要加强对有关探索创新和以生活实践情景为载体的试题的训练【基础知识 诊断】i/M夯实基础T/J一、等比数列的有关概念如
2、果 一 个 数 列 从 第 2 项起,每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 比 值 都定义 等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫作等比数列，即 t=q（q 为非零常数且nN2,nN*）通项 设 an 是 首 项 为 a i,公 比 为 q 的等比数列，则 通 项 公 式 a aW 公 式（nGN*）等比 如果在a 与 b 中间插入一个数G,使 a,G,b 成等比数列，那么 G中项 叫作a 与 b 的等比中项，此时，G2=ab二、等比数列的前n 项和公式（口 1 q 1 q 迎 户 1.知 识 拓 展1.通项公式的推广：an=amqn-m(m,n N*).2.对任意的正整数m,n,p,q
3、,若m+n=p+q=2 k,则a m a n=a p-a q=a K3.若等比数列前n项和为S n,则S m,S2m-Sm,S 3 m-S 2 m仍成等比数列(m为偶数且q=-l除 外).4.在公比为q等比数列 a j中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n,a n+k，a n+2 k，a n+3 k，为等比数列，公比为口上5 若；或 建q 2 1,则等比数列 a n 递增;若1或O则等比数列同 递减.6.若数列4 ,(项数相同)是等比数列，则数列 c a n (W O),陶|,国 ,什I dn a n%,假 也是等比数列.7.由a n+i=q a n,q和，并不能立即断言 a j为等
4、比数列，还要验证a i/).8.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=l与q W l分类讨论，防止忽略q=l这一特殊情形导致解题失误.9.等比数列的前n项和S n可以写成S n=A q n-A(A/),q#l,0).10.S m+n=S n+qnS m=Sm_*_qmS n.诊嘶自测题组走出误区L判一判.(对的打W，错的打“x”)(1)满足a n+i=q a n(n N*,q为常数)的数歹 a n 为等比数歹!.()(2)G为a,b的等比中项U 3 2=a b.()(3)若 a n 为等比数歹U,bn=a2n-i+a 2n,则数列 也 也是等比数列.()(4)若数列 a。的通项公式是a
5、 n=a L则其前n项和为$传中.()答 案(l)x (2)x (3)x (4)x2.(易错题)若a是2与8的等比中项，a+1是-1与l-2b的等差中项，则a-b的值为.【易错点】本题容易忽视讨论公比的正负.答 案-7或9解析 因为a是2与8的等比中项，所以a 2=16.因为a+1是-1与l-2b的等差中项，所以2(a+l)=-l+(l-2b)=-2b,联立即解得或 广所以 a-b=-7 或 a-b=9.题组走进教材3 .(人教A版选修P 4 LT 10改编)已知数列 a j为等比数列，a i=10 24,公比q=；.若Tn是数列 a n 的前n项积，则Tn的 最 大 值 为.答 案23。解析
6、 依题意得，an=a i-qn I=10 24 x(l)n-i,则 T n=aa 2-a 3 a=10 24乂(；)收10 24、(J i x l 0 24 x (i)2x.x l 0 24 x (1)n-1=10 24nx (；)个，因止匕罪=10 24 x (1)n=2i ox2-2n 210-2n当 n 5 时，黑 1,即 T n+i T n；当 n=5 时，罪=1,即 T n+i=L；当n 1,即T n+i T n.故T 5,T 6的值最大，且最大值为10 24 5 x(；)1。=23。.4 .(多选题)(人教A版选修P 4 L T 8改编)已知数列 a j的前n项和为Sn,a i=2
7、,且S n=2S n“+n-l(n N 2),则下列结论正确的是().A.anSn-i B.a n+1是等比数列C.SnS n“(n N 2).将 an=S n-i+n-l 与 an+i=S n+n 相减得，an+i=2an+l(n 2),即 an+i+l=2(an+l),又a 2+1 2(a i+l),所以an+l=&n=L因此区+1不是等比数列.(2 产2,因为 a n=L 所以 S n=2n+Ln-L12-l,n 2,当 n=l 时，S i=2 2a i；当吟2 时，S n-2an=2n+1-n-l-2n+1+2=l-n 0,因此 S n 0,因此倒是递增数列.故选A C D.题组走向高
8、考5.(20 23新高考H卷)记S n为等比数列 a n 的前n项 和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=().A.120 B.85 C.-85 D.-120答 案C解析 设等比数列 a n 的公比为q,首项为a i,则S 4=-5,S 6=21S 2,显然公比q W L3=5 1-qa i q _ q 6)_21a i q _ q 2)1-q 1-q J化简得q 4+q 2-20=0,解得q2=4或q 2=-5(舍去)，代入得言=；.所以 S 8=部 手=(l-q 4)(l+q 4)=!x(-15)x(l+16)=-85.故选 C.【考点聚焦突破】考片一等比数列的基本量的计算1.(20
9、23全国甲卷)设等比数列 a 的各项均为正数，前n项和为Sn,若a i=l,S5=5 S3-4,则 S 4=().A，vo B，voC.15 D.4 0答 案c解析设等比数列 a n 的公比为q,由题意知l+q+q?+q 3+q 4=5(l+q+q 2)-4,则 q3+q4=4 q+4 q2,即 q3+q2-4 q-4=0,所以(q-2)(q+l)(q+2)=0.又 q 0,所以 q=2.故$4=1+2+4+8=15.故选 C.2.(20 23天津卷)已知 a Q为等比数列,S n为数列 a n 的前n项和,an+i=2Sn+2,则a4的值为().A.3 B.18 C.5 4 D.15 2答
10、案 c解析 设等比数列 an 的公比为q,由题意可得，当n=l时,a?=2ai+2,即aiq=2ai+2,当 n=2 时，a3=2(ai+a2)+2,即 aiq2=2(ai+aiq)+2,联立可得ai=2,q=3,则a4=aiq3=54.故选C.3.(2023全国甲卷)记Sn为等比数列 aQ的 前 n 项和.若8S6=7S3,则 a j 的公比为.答案解析 设等比数列 an 的首项为a i,公比为q,则/I.因为 8s6=7S3,所以8呼哈=7.当 心，1q 1q即 8-(l-q6)=7(l-q3),即 8-(l+q3)(l-q3)=7(l-q3),IP 8-(l+q3)=7,解得 q=-；.
11、。方法总结口 口 口等比数列基本量运算的解题策略L等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，若等比数列中有ai,n,q,a。，Sn这 5 个量，则一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论：当q=l时，an 的前n 项和 Sn=nai；当q#l时，aQ的前n 项和S n=4.考片二 等比数列的判定与证明典 例 1I 设数列 an 满足 ai=2,an-2an-i=2-n(n2!1弓匠).证明匕 11 为等比数列，并求 a j 的通项公式.解析 Vai=2,an-2an-i=2-n(n2,nGN*),.an=2an-i+2-n,即 an
12、-n=2an-i-(n-l),又 a l=2-l=l,.a n 是以1为首项，2 为公比的等比数列,an-n=2n l,故 an=2n l+n(n G N*).。方法总结口 口 口等比数列的四种判定与证明方法.、若蜉=q（q为非零常数，ndN*）或W=q（q为非零常数且应2,nN*）,则数列 an是等比数列比中若在数列 an中，an并且端+i=an-an+2（nGN*）,则数列 aQ是等比数列项法通项公若数列 an的通项公式满足an=c qn”（c,q均为非零常数，nN*）的形式法 式，则数列 a j是等比数列，该方法适用于选择题和填空题前n项 若数列 an的前n项和公式满足Sn=k-qn-k
13、（k为非零常数，q/）,1）的和法 形式，则数列 a。是等比数列，该方法适用于选择题和填空题一A/N针对训练A在数列 an中，解+i+2an+i=anan+2+an+an+2,且 ai=2,a2=5.证明 an+1是等比数歹U，并求数列 an的前n项和Sn.解析,*a-+1+2an+i=anan+2+an+an+2,(an+i+l)2=(an+l)(an+2+1),即 郊+舄，又 由2,a2=5.篝 2,.数列 an+1是以3为首项,2为公比的等比数列,则an+l=3x2.,.,.an=3x2n-1-l(neN*),Sn、，二 2%n=3x2n-n-3.12考其三 等比数列的性质及其应用角度1
14、,等比数列项的性质典 例21（1）（2024.贵阳月考）已知数列 an是等差数列，数列、是等比数列，若a3+ae+a9=6,b2b5b8=8,则 的 值 是().A.1 B.l C.2 D.4（2 0 2 3全国乙卷）已知 a n为等比数列，a 2 a 4 a 5=a 3 a 6,a 9 a l（）=-8,则a7=.答 案（1）B （2）-2解 析(1)由等差中项的性质可得a 3+a 6+a 9=3 a 6=6,.a 6=2,由等比中项的性质可得b 2 b 5 b 8=哄=8,.5=2,因此，胃迎合=；=1.故选B.J UL9 D5 4(2)设 a n的公比为 q(q W O),则 a 2 a
15、 4 a 5=a 3 a 6=a 2 q为q,显然 a#0,则 a 4=q2,即 a iq3=q2,则 a iq=l,因为 a 9 a l()=-8,则 a iq8-a iq9=-8,贝U q1 5=(q5)3=-8=(-2)3,则 q5=-2,则a 7=a iq-q5=q5=-2.角度2等比数列前n项和的性质典例31（2 0 2 4.哈尔滨校考）已知等比数列 a Q的前n项和为S n,A.4 1 B.4 5 C.3 6 D.4 3答 案D解析 设 S 4=x（x加），贝I S 8=7X,因为 a n为等比数列，所以根据等比数列的性质，可得S 4,S8-S 4,S 1 2-S 8仍成等比数列，
16、因为沪=6,所以S i2-S 8=3 6 x,所以S i2=4 3 x,故告=4 3.故选D.角度3等比数列的最值问题典例4已知在等比数列 a n中，a i=2,公比q=|,记其前n项和为S n,则对于nN*,使得S n m恒成立的最小整数m=（）.A.6 B.3 C.4 D.2答 案A解析 由题意知，S n=a?=6 l-C）n ,则S n=1 0 5.故选 C.2.已知等比数列 a Q的前n项和为S n，且a n 0,若S 6=8,S is=3 8,则S24=().A.2 7 B.4 5 C.6 5 D.7 3答 案C解析 由等比数列前n项和的性质可得S 6,S 1 2-S 6,S 1 8-S 1 2,S 2 4-S 1 8成等比数列，所以(S 1 2-S 6)2=S 6(S 1 8 s2),B P(S 1 2-8)2=8X(3 8-S 1 2),整理可得S；2-8 S 1 2-2 4 O=O,解得 S 1 2=-1 2(舍去)或 SI2=2 0.又因为(SI8 s2)2=(S 1 2-S 6)(S 2 4-S 1 8),所以(3 8-2 0)2=(2 0-8)0 2 4-3 8)
