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1、1第四章、级第四章、级 数数基本内容：基本内容：1、复数项级数、复数项级数(概念和收敛的充要条件概念和收敛的充要条件)。 2、幂级数、幂级数 (收敛圆、收敛半径的计算收敛圆、收敛半径的计算)3、解析函数的泰勒级数、洛朗级数展开式。、解析函数的泰勒级数、洛朗级数展开式。重点：解析函数的展开式。重点：解析函数的展开式。 2一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义记作记作1 复数项级数复数项级数32.复数列收敛的条件复数列收敛的条件说明说明: : 可将复数列的敛散性转化为判别两个可将复数列的敛散性转化为判别两个 实数列的敛散性实数列的敛散性. .定理一：定理一：4从而有从而有证毕证毕反之反之
2、, 如果如果那末对于任意给定的那末对于任意给定的就能找到一个正数就能找到一个正数N,定理一的证明定理一的证明证证: :从而有从而有所以所以同理同理5下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.解解 例：例：而而 所以数列发散所以数列发散.6二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义：定义：设设 为一复数列为一复数列表达式表达式称为称为复数项无穷级数复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和：部分和：7收敛与发散收敛与发散说明说明: 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法
3、是性的基本方法是:82.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为定理二：定理二：证毕证毕说明：说明： 复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题高数知识回顾：几个重要实数正项级数的敛散性： 调和级数调和级数发散发散设是正项级数,如果则 时级数收敛;时级数发散; 时失效.高数知识回顾：比值审敛法 11解解所以原级数发散所以原级数发散. 例：例：说明：由高数知识知道， p级数p1时，级数收敛，0p=1时，级数发散12启示启示: : 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, , 可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.复数项级数复数项级数 收敛的收敛的必要条件：必
4、要条件：重要结论重要结论:思考题：思考题：级数级数 和和 是否收敛？是否收敛？133. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛注意注意 可使用正项级数的审敛法则判定可使用正项级数的审敛法则判定.定理三：定理三：14非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.如果如果 收敛收敛, 那么称级数那么称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义：定义：所以所以15例：例：故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解16故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例：例：解解17一、
5、幂级数的概念一、幂级数的概念2 幂级数幂级数1. 复变函数项级数：复变函数项级数：18当当或或函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.2. 幂级数：幂级数：19二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1. 收敛定理：收敛定理： (阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数 在 收敛,那么对满足 的z, 级数必绝对收敛,如果在 级数发散, 那么对满足 的z, 级数必发散。20证证由收敛的必要条件由收敛的必要条件, 有有因而存在正数因而存在正数M, 使对所有的使对所有的n, 而而由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:收敛收敛.请思考另一部分的证明请思考
6、另一部分的证明.212. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.例如例如,级数级数通项不趋于零通项不趋于零, 故级数发散故级数发散.22(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛敛 的正实数的正实数
7、.如图如图:.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.23答案答案: 幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一不能作出一般的结论般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.答案：答案：问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?有关幂级数的两个关键问题：有关幂级数的两个关键问题：24例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为级数级数收敛收敛
8、,级数级数发散发散.且有且有收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内, 级数绝对收敛级数绝对收敛, 收敛半径为收敛半径为1,这个式子一定要记住这个式子一定要记住253. 收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1: 比值法比值法( (定理二定理二) ):那么收敛半径那么收敛半径如果如果:注意注意:存在且不为零存在且不为零 .定理中极限定理中极限26方法方法2: 根值法根值法(定理三定理三)那么收敛半径那么收敛半径说明说明:(与比值法相同与比值法相同)如果如果27例例 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径2829说明说明：在收敛圆周上既有
9、级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数, 收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，2)3031三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算322. 幂级数的代换幂级数的代换( (复合复合) )运算运算如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那么当那么当时时,说明说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.例例把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数, 其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数 .解解把函
10、数把函数写成如下的形式写成如下的形式:代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出级数收敛, 且其和为34定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为R, R, 那么那么(2)(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, , 它的和函数它的和函数 是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数 . .(1)(1)3. 3. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质(3)(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, , 简言之简言之: : 在收敛圆内在收敛圆内, , 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; ;幂级数可
11、逐项求导、积分幂级数可逐项求导、积分. 即即3637问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？答案：可以！答案：可以！3 3 泰勒级数泰勒级数其中其中f (z)在在z0的的泰勒展开式泰勒展开式泰勒泰勒定理：定理：设设f (z)在区域在区域D 内解析，内解析，z0为为D内的一点，内的一点，d为为z0到到D的边界上各点的最短距离，那么的边界上各点的最短距离，那么 时时, , f (z)能用幂级数能用幂级数(泰勒级数泰勒级数)表示：表示：当当并且，该泰勒展开式是唯一的并且，该泰勒展开式是唯一的38将函数展开成泰勒级数的方法将函数展开成泰勒级数的方法常用方法常
12、用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数39例例故有402. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数结合解析函数的性质的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 积分等积分等)和其它和其它数学技巧数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展开式求函数的泰勒展开式.41例例1 1解解上式两边逐项求导上式两边逐项求导,42例例2 2分析分析即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得43例例3 3 解解44例例4 4解解45附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的
13、泰勒展开式4647一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛4 洛朗级数洛朗级数48收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R49结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :.50例如，例如，都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.而而2. 问题问题: :在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数? ?所以所以即即内可以展开成级数内可以展开成级数.51也可以
14、展开成级数：也可以展开成级数：52二、洛朗级数的概念定理：定理：C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数为洛朗系数.53说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是幂项的级数是唯一唯一的，的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .54三、函数的洛朗展开式
15、常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点: 计算计算往往很麻烦往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法55例例1 1解法解法1、直接法：、直接法：由定理知:其中故由柯西古萨基本定理知:由高阶导数公式知:56解法解法2 2、间接法、间接法57例2 把函数解58oxy1解解例例3 3 内是处处
16、解析的内是处处解析的, 试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.5912oxy由由且仍有且仍有602oxy由由此时此时仍有仍有由于由于61注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点 .上例中圆环域的中心上例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明: 1. 函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项, 而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是2. 给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后
17、以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 不矛盾不矛盾 .这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛 朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)62例4 把函数解63在计算闭路积分中的应用在计算闭路积分中的应用令n=-1, 得或其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线, f(z)在此圆环域内解析. 从上式可知, 计算积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中z的负一次幂项的系数c-1.64故c-1=-2, 从而例例4 4 求求积分：分：
18、. 65一、一、 复数项级数复数项级数 (1)复数列复数列 收敛的充要条件收敛的充要条件: 同时收敛同时收敛. (2)复级数复级数: 收敛的充要条件收敛的充要条件: 同时收敛同时收敛. (3)复级数绝对收敛复级数绝对收敛: 绝对收敛的充要条件绝对收敛的充要条件: 同时绝对收敛同时绝对收敛. 第四章第四章 级级 数数66 二二 、幂级数：、幂级数： (1)Abel定理定理:收敛范围为圆域收敛范围为圆域,圆内绝对收敛圆内绝对收敛,圆外发圆外发散散,圆上不定圆上不定. (2)收敛半径求法收敛半径求法:(3)性质性质:和函数在收敛圆内和函数在收敛圆内:解析解析,可逐项求导可逐项求导,可逐项可逐项积分积分. 67三三 、泰勒级数、泰勒级数:定理定理: :在以在以 为中心的圆域内解析的函数为中心的圆域内解析的函数f(z) ，可以在该圆域内展开成可以在该圆域内展开成 的幂级数：的幂级数： 泰勒级数展开式求法泰勒级数展开式求法:直接法直接法,间接法间接法.四、洛朗级数：四、洛朗级数：洛朗级数展开洛朗级数展开式求法式求法:间接法间接法.68常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式69第4章作业：3. (1) (2) (3) 6. (1) (2) 7. (1) (2) (3) 9. (1)(2) (4)10
