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1、高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 习题课一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第四四章 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则2
2、. 换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型) (代换: )求不定积分的方法 . 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science （1）（2）（3）（4）（5） 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science （7）（8）（9）（10）（6）（11） 10/10/
3、2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 3. 3. 分部积分法分部积分法使用原则:1) 由易求出 v ;2)比好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂,三 ,指” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例1.1. 解解:原式 10/10/2021 12:00 A
4、M高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例2 2 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例3.3. 解解: 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例4.4. 解法解
5、法1 :原式分部积分 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例4. 解法解法2 :原式分部积分 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例5 5 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathemat
6、ic is the Queen of Science 例例6.6. 解解: 设则连续 , 得记作利用 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例7 7试求解：解：被积函数中含有绝对值符号， 故分段积分其中 为任意常数由原函数的定义 , 可知 连续 , 得 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Scien
7、ce 例例8.8. 设解解: 令求积分即而 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 解解例例9 9 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is
8、the Queen of Science 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例11.11. 设 解解:为的原函数,且求由题设则故即, 因此故又 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分
9、式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 2. 2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一定都能积出.例如例如 , 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数
10、学Mathematic is the Queen of Science 例例1.1. 求解解: 令则原式原式 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例2.2. 求不定积分解解: 原式 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例3 3解法解法1 当时，令当时，令 10/10/2021 1
11、2:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 解法解法2 令 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 解：解：令例例4 4 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例
12、5. 求解解:原式分析分析: 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例6 6： 设且求解：解： 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例7 7 已知求解解解得 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学
13、Mathematic is the Queen of Science 提示：例例8 8 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例9 9：求提示提示: 原式 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例10 10 求提示: 原式 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathema
14、tic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 作业作业P221 1, 4, 6 , 9 ,14, 17 , 21 ,24, 26 , 30 , 38 , 39, 40 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例12.12.求解：解：因为 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高
15、等数学Mathematic is the Queen of Science 例例6.6. 求解解: 取说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分: 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例8.8. 求解法解法1. 查积分表令则原式P349 公式 37 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 解法解法2. 令则原式( P348 公式 21 ) 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例7. 求解解: 令则原式 10/10/2021 12:00 AM高等数学Mathematic is the Queen of Science 高等数学Mathematic is the Queen of Science 例例7. 求解解: 令令则则原式原式P348 公式公式 21P348 公式公式 19 10/10/2021 12:00 AM
