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1、1 算符之算符之间间的的对对易关系易关系 1.1 算符的基本运算关系算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符）算符之和：算符 与与 之和之和 定定义为义为 为为任意函数任意函数 一般一般 ，例如粒子的哈，例如粒子的哈 密密顿顿算符是算符是动动能算符能算符 与与势势能算符能算符 之和之和 （2）算符之）算符之积积：算符：算符 与与 之之积积定定义为义为 （1） （2） 算符之算符之积对积对函数的作用有先后作用次序函数的作用有先后作用次序问题问题 一般不能一般不能颠颠倒倒 个相同算符个相同算符 的的积积定定义为义为算符算符 的的 次次幂幂 例如例如 则则 为为了运算上的方便，引入量子括号了运算上的
2、方便，引入量子括号（3） （5） 若若称算符称算符 与与 是不是不对对易的（不能交易的（不能交换换位置）位置） 即即若若 称算符称算符 与与 是是对对易的易的 即即下面几个下面几个经经常使用的常使用的对对易关系易关系 请请自行自行证证明明（6） （7） 1.2 坐坐标标算符与算符与动动量算符的量算符的对对易关系易关系 坐坐标标算符是乘数因子算符是乘数因子 相互相互对对易易动动量算符是微分算符量算符是微分算符 因因为为 则则坐坐标标算符与算符与动动量算符：量算符：设设 为为任意函数任意函数（12） （13） 比比较较后可得后可得 但是但是 同理可得坐同理可得坐标标算符与算符与动动量算符的其它量算
3、符的其它对对易关系式易关系式 可概括可概括为为 其中其中坐坐标标算符与算符与动动量算符的量算符的对对易关系是最基本的易关系是最基本的对对易关系，其易关系，其它力学量的它力学量的对对易关系均可由此易关系均可由此导导出。出。 （14a） （14b） (14c) 1.3 角角动动量算符的量算符的对对易关系易关系只只证证明其中一个，明其中一个，请请注意注意证证明方法明方法记忆记忆方法：从左至右以方法：从左至右以 依次循依次循环环指指标为标为正，任何一个指正，任何一个指标错标错位即位即为负为负，相同指，相同指标则为标则为零。零。 (15) 以相同的推以相同的推导导方法和方法和记忆规记忆规律，有律，有 另
4、外有另外有 （16） （17） （18） 1.4 几个重要的推几个重要的推论论 (1) (2) （3）球坐）球坐标标下下 是是 的函数，若有径向函数算符的函数，若有径向函数算符 则则 （19） （20） （21） （22） 2 共同本征函数完共同本征函数完备备系系 2.1共同本征函数完共同本征函数完备备系系带带来算符来算符对对易易 设设两个算符两个算符 和和 有一个共同的本征函数有一个共同的本征函数 ，则则必有必有 及及 ，即在，即在 态态中可以同中可以同时时确定确定 这这两个力学量的数两个力学量的数值值，那么，那么 这这似乎提醒我似乎提醒我们们有有 ，但下，但下结论过结论过早，因早，因为为这
5、这只是只是针对针对某一个特殊函数（本征函数某一个特殊函数（本征函数 ），如果），如果 和和 有有一一组组完完备备的共同本征函数，的共同本征函数，对对于任意于任意态态函数函数 （23） 有有 则则 这时这时才才说说 和和 是是对对易的。易的。这这个个结论结论可以推广到多个算可以推广到多个算符，即符，即如果一如果一组组算符有共同的本征函数完算符有共同的本征函数完备备系系 ，则这组则这组算符算符对对易易例如例如即在即在 态态中中 同同时时有确定有确定值值 及及 ，所以，所以 是是 的共同的本征函数，并且是完的共同的本征函数，并且是完备备的，所以的，所以 （24） 2.2 逆定理：如果一逆定理：如果一
6、组组算符算符对对易，易，则这组则这组算符有算符有组组成完成完备备 系的共同的本征函数。系的共同的本征函数。 这这里里仅仅就非就非简简并本征函数系加以并本征函数系加以证证明明 若算符若算符 和和 相互相互对对易，易，对对于于 的本征函数的本征函数 ，有，有 可可见见 也是算符也是算符 的属于本征的属于本征值值 的本征函数。已的本征函数。已经经假定假定 非非简简并，所以并，所以对应对应 的两个本征函数的两个本征函数 和和 最多最多只能相差一个常数，所只能相差一个常数，所（26） （25） （27） 可可见见， 同同时时也是也是 的属于本征的属于本征值值 的本征函数。同的本征函数。同理，理，对对 的
7、其它本征函数也有此的其它本征函数也有此结论结论。所以，。所以， 和和 有有组组成完成完备备系的共同的本征函数。系的共同的本征函数。 例如，角例如，角动动量算符量算符 ，所以它，所以它们们有有组组成完成完备备系的系的共同的本征函数共同的本征函数 ，在，在 态态中，力学量中，力学量同同时时有确定有确定值值 及及 。 氢氢原子哈密原子哈密顿顿算符算符所以，所以， 对对易，它易，它们们有有组组成完成完备备系的共同的本征函系的共同的本征函数数 ，在，在该该台中三者同台中三者同时时有确定有确定值值： （28） 2.3 力学量完全集力学量完全集 有些情况下，力学量有些情况下，力学量 的本征的本征值值是全部是
8、全部简简并或部分并或部分简简并的，一个本征并的，一个本征值对应值对应若干个本征函数。所以，只以若干个本征函数。所以，只以 的本的本征征值值不足以完全确定本征函数，不足以完全确定本征函数，这时这时必定存在和必定存在和 独立且和独立且和 对对易的其它力学量易的其它力学量 。如果。如果 的共同的本征函数仍然的共同的本征函数仍然有有简简并，并，则则必定必定还还存在独立于存在独立于 而又和而又和 对对易的其它易的其它力学量力学量 ， 的共同的本征函数是否的共同的本征函数是否还还有有简简并？并？ 我我们们定定义义：一：一组组相互相互对对易而又相互独立的力学量算符，易而又相互独立的力学量算符，如果它如果它们
9、们的共同的本征函数是非的共同的本征函数是非简简并的，即并的，即这组这组本征本征值值完全完全确定一个共同本征函数，确定一个共同本征函数，则这组则这组力学量称力学量称为为力学量完全集。力学量完全集。完全集中力学量的数目一般称完全集中力学量的数目一般称为为体系的自由度。体系的自由度。请请大家将一大家将一维谐维谐振子、角振子、角动动量、三量、三维维粒子的力学量完全集与定粒子的力学量完全集与定义对义对照一照一下。（注意：完全集中力学量的数目一般下。（注意：完全集中力学量的数目一般 体系的自由度）体系的自由度） 例例题题一一 任意任意态态 求求 态态中中 的可能的可能值值、概率及、概率及 。 解法一解法一
10、 可以看出可以看出 是是 的共同本征函数所的共同本征函数所组组成，成， 列表列表对应对应求解：求解：解法二解法二 由由 得得 由由 正交正交归归一性得一性得 例例题题二二 在在对对某一状某一状态进态进行行测测量量时时，同，同时时得到能量得到能量 能唯一确定能唯一确定这这一状一状态吗态吗？ 解：能。因解：能。因为为三个力学量三个力学量对对易，易， 故共同本征故共同本征态为态为 例例题题三三 求粒子求粒子处处于于 时时角角动动量量 分量和分量和 分量的平均分量的平均 值值 。 解：首先解：首先应应注意，注意， 是是 的共同本征函数，而的共同本征函数，而 不不对对易，故易，故 不是不是 的本征函数。
11、的本征函数。 利用利用对对易关系易关系 ，则则 同理同理 由于坐由于坐标标 与与 的的对对称性，可得称性，可得 ，故，故3 不确定关系不确定关系 若算符若算符 和和 不不对对易易时时，常，常记为记为 是一个力学量算符或普通的数。首先定是一个力学量算符或普通的数。首先定义义 （29） （30） （31） 注意，注意， 仍仍为为厄米算符，若巧妙厄米算符，若巧妙设计积设计积分分利用利用 的厄米性，可推出的厄米性，可推出最后得出不确定关系最后得出不确定关系 （32） （33） （34） （35） 两个力学量不两个力学量不对对易易时时，导导致两力学量不能同致两力学量不能同时时有确定有确定值值, 或者或者
12、说说，它，它们们不能有共同本征函数。不能有共同本征函数。 对对不确定关系不确定关系 应应着重掌握其物理意着重掌握其物理意义义 例如例如 所以所以可可见见，若，若动动量确定，量确定， ；则则 ，即位置，即位置 完全不完全不确定。确定。试试想，想，动动量量为为 的自由粒子以波的自由粒子以波长长 的状的状态态（平面波）弥散于空（平面波）弥散于空间时间时，你能，你能说说出粒子的确定位置出粒子的确定位置吗吗？或或 （36） 反之，根据函数的性反之，根据函数的性质质，坐，坐标标本征函数可写本征函数可写为为即位于即位于 点的波（粒子）是点的波（粒子）是许许多不同波多不同波长长（动动量）的平面量）的平面波的叠
13、加，你能波的叠加，你能说说出出该该波的波波的波长长（粒子的（粒子的动动量）是多少量）是多少吗吗？总总之，不确定关系所揭示的是量子力学之，不确定关系所揭示的是量子力学规规律的特点，是粒子律的特点，是粒子具有波具有波动动性的必然性的必然结结果。果。应应用不确定关系估算一些力学量的用不确定关系估算一些力学量的不确定范不确定范围围可参可参见见教材。教材。（37） 例例题题4 一一维维运运动动的粒子的粒子处处在在 求求 解：解：归归一化后可得一化后可得 利用利用 有有所以所以 所以所以 满满足不确定关系足不确定关系 4 运运动动恒量（守恒量）恒量（守恒量） 4.1 力学量平均力学量平均值值随随时间时间的
14、的变变化化 波函数波函数 描写的状描写的状态态随随时间时间的的变变化化 满满足足 方程方程 而而这这个状个状态态中力学量的平均中力学量的平均值值随随时时加的加的变变化化为为 （38） 利用（利用（38）式及其共）式及其共轭轭式，考式，考虑虑到到 的厄米性，可得的厄米性，可得4.2运运动动恒量（守恒量）恒量（守恒量） （39）式中，若算符）式中，若算符 不不显显含含时间时间，则则 ，并且，并且 有有 ，则则有有 （39） 力学量平均力学量平均值值随随时间时间的的变变化化规规律律 （40） 平均平均值值不随不随时间变时间变化的力学量，称化的力学量，称为为运运动动恒量。或：恒量。或：满满足足 的不的
15、不显显含含时间时间的力学量的力学量 为为体系的运体系的运动动恒量。恒量。 请请回答：回答：对对哈密哈密顿顿算符算符 ，下面哪些力学量，下面哪些力学量是运是运动动恒量（守恒量）：恒量（守恒量）： 对对于于 （ 为为常数）呢？常数）呢？ 4.3守恒量的特点守恒量的特点 守恒量具有如下特点，即体系在任何状守恒量具有如下特点，即体系在任何状态态下：下： （1）其平均）其平均值值不随不随时间时间而而变变化；化； （2）其概率分布不随）其概率分布不随时间时间而而变变化。化。 证证明特点（明特点（2）：）： 因因为为 ，故，故 具有共同本征函数系具有共同本征函数系 ，任意状任意状态态可表可表为为式中式中 即
16、即为为守恒量守恒量 在在 态态中的概率，且概率分布函中的概率，且概率分布函 （41） （42） 所以所以 故有故有 其中其中 为为 时时力学量的概率分布函，所以力学量的概率分布函，所以 即守恒量即守恒量 的的测测量概率与量概率与时间时间无关，即概率分布不随无关，即概率分布不随时间时间 而而变变化。化。（43） （44） （45） 4.4 宇称守恒宇称守恒 4.4.1 宇称算符宇称算符 即空即空间间反演算符，它的作用是把波函数中的反演算符，它的作用是把波函数中的 它是厄米算符，它的本征它是厄米算符，它的本征值值只有只有 ， 即即 4.4.2 态态函数的宇称函数的宇称 （46） 4.4.3 宇称守恒宇称守恒 若体系哈密若体系哈密顿顿量具有空量具有空间间反演不反演不变变性性 则则 即即 ，亦即，亦即 是一个守恒量，或者是一个守恒量，或者说说描写的系描写的系统统的宇称是不的宇称是不变变的，称的，称为为宇称守恒定律。宇称守恒定律。
