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1、一、复数列的极限二、复数项级数的概念第一节第一节 复级数复级数三、复变函数项级数四、小结与思考机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义记作记作2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件定理说明定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 课堂练习课堂练习: :下列数列是否收敛下列数列是否收敛
2、? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义定义表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 收敛与发散收敛与发散说明说明: 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为7机
3、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 必要条件必要条件重要结论重要结论:10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.11
4、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柯西收敛准则柯西收敛准则级数级数收敛的充分必要条件是：对于任给收敛的充分必要条件是：对于任给 0,存在正整数存在正整数N, 使当使当n N时时, p=1, 2, 时时, 有有序列序列zn收敛的充分必要条件是：对任给收敛的充分必要条件是：对任给 0,存在正整数存在正整数N, 使当使当m, n N时，有时，有12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.3. 绝对收敛与条件收敛绝对收
5、敛与条件收敛13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证由于由于而而根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则, 知知定理定理14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明所以所以综上综上:15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.而而解解 例例1 116机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解 所以数列发散所以数列发散.17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2 解解 级数满足必要条
6、件级数满足必要条件, 但但18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解19机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例4 4解解20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、复变函数项级数三、复变函数项级数定义定义其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 21机
7、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛, 那末它的和一定那末它的和一定23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结与思考四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质，以及复变函数项收敛与条件收敛的概念与性质，以及复变函数项级数的相关概念和性质级数的相关概念和性质. 24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题答案思考题答案否否.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .26
