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1、4.2 二次型的标准形与规范形二次型的标准形与规范形一、一、 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形一、一、 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形令令实对称矩阵实对称矩阵A A经过非退化线性替换经过非退化线性替换 二次型二次型 f f 化为化为: :存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C, ,使得使得 二、二、 用正交替换化二次型为标准形用正交替换化二次型为标准形实对称矩阵实对称矩阵A A存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,使得使得存在存在正交矩阵正交矩阵Q,Q,使得使得 Q QT TAQ=AQ=A A的所有特征值的所有特征值实对称矩阵实对称矩阵A A经过经过正交替换正交替换 标准形
2、标准形二次型化为：二次型化为：例例1 1 用正交替换化二次型用正交替换化二次型为为标准形标准形, ,解解 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为特征值：特征值：再将再将 单位化单位化, ,得得将将 1 1, , 2 2正交化得正交化得并写出所作的线性替换并写出所作的线性替换. .是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵经过非退化的线性替换经过非退化的线性替换二次型化为二次型化为例例1 1 考虑二次型考虑二次型有有称此二次型是称此二次型是正定二次型正定二次型. .相应的矩阵相应的矩阵为为正定矩阵正定矩阵. .设实二次型设实二次型 f f ( ( x x1 1 , , x x2 2 , , , ,
3、x xn n ) = ) = X XT TAX AX ( ( A AT T = = A A ) ,) ,如果对任何如果对任何则称则称二次型二次型 A A称为称为正定矩阵正定矩阵. .是是正定二次型正定二次型. .X X = ( = ( x x1 1 , , x x2 2 , , , , x xn n ) )T T o o，有有 例例1 1 二次型二次型对任何对任何为为正定正定二次型二次型X = (x1 , x2 , , xn )T o，二次型二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)4.3 二次型和对称矩阵的有定性二次型和对称矩阵的有
4、定性一、正定二次型和正定矩阵一、正定二次型和正定矩阵二次型二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)对对x = ( 0 , , 0 , f (x1 , x2 , xn ) = 0 .xr+1 , , xn )T o，有，有故二次型故二次型不是正定二次型不是正定二次型.例例1 1 二次型二次型为为正定正定二次型二次型对任何对任何X = (x1 , x2 , , xn )T o，|A|A|大于零大于零二、二次型正定性的判别二、二次型正定性的判别如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢? ? 以下给出几个矩阵为正
5、定矩阵的充分必要条件以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件. . 准则准则1 1准则准则2 2 f 的正惯性指数为的正惯性指数为n nf 正定正定准则准则3 3 A A的的特征值都大于零特征值都大于零 对称矩阵对称矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵称为矩阵称为矩阵A A的的顺序主子式顺序主子式. .准则准则4 4 对称阵对称阵A A为正定矩阵为正定矩阵A A的的顺序主子式都大于零顺序主子式都大于零. .例例1 1 判别下列矩阵或二次型是否正定判别下列矩阵或二次型是否正定 A A正定正定例例1 1 判别下列矩阵或二次型是否正定判别下列矩阵或二次型是否正定解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为
6、：该二次型正定该二次型正定 A A正定正定例例2 2 取何值时取何值时, ,下面的二次型正定下面的二次型正定解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：当当 时，二次型正定时，二次型正定. .Ex2: : 取何值时取何值时, ,下面的二次型正定下面的二次型正定B B正定正定. .三、二次型的有定性三、二次型的有定性也不是也不是 负定的负定的. .有有 二次型二次型 是是正正定的定的有有 二次型二次型 是是负负定的定的有有 二次型二次型 是是半正半正定的定的使使 有有 二次型二次型 是是半负半负定的定的使使 例例 二次型二次型不是不是 正定的正定的; ;( (半半) )( (半半) )此时此时称为称为不定的不定的. .1.二次型的负定性二次型的负定性 矩阵矩阵A A负定负定矩阵矩阵 正定正定. .即即奇数阶奇数阶顺序主子式小于零，顺序主子式小于零， 偶数阶偶数阶顺序主子式大于零顺序主子式大于零.A A的顺序主子式都为的顺序主子式都为负负. .
