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1、 Lecture 143D刚体动力学刚体动力学内容回内容回顾刚体关于一点的动量矩：刚体定点运动的动能可表示为平行移轴定理内容回内容回顾 转动惯量的转轴公式惯量椭球在随体主轴坐标系刚体定点运动的动力学方程刚体绕O点做定轴转动，刚体上的固联坐标系为：O,e1,e2, e3, 且为主轴方向。角动量可表示为动量矩定理:注意动量矩G中的各个分量是相对惯性参考系下的矢量在固连坐标系下的表示。因此，刚体定点运动时的动量矩定理具有如下的形式三个分量方程 Euler情形（无外力作用）Euler动力学方程可表示为以上微分方程的虽然具有解析解，但在一般情况下，其解的形式需要其解的形式需要用到一些特殊函数，如用到一些
2、特殊函数，如“椭圆函数椭圆函数”。求解以上微分方程组的方法主要有两种：几何方法几何方法（根据某些首次积分，利用几何关系，表达解的形式）分析方法分析方法（利用首次积分，利用某些特殊函数表达方程的解）几何方法：几何方法：Poinsot的几何解释的几何解释两个首次积分能量守恒能量守恒动量矩守恒动量矩守恒绕定点O转动的刚体，其几何形状和质量分布可能各不相同，但其在定点运动时固有的物理性质总可以采用一个惯量椭球惯量椭球来描述。其中: , , 分别是刚体上的固连坐标轴的方向，并与刚体绕O点转动的惯量张量的主轴方向相一致。几何方法：几何方法：Poinsot的几何解释的几何解释 RGP惯量椭球面，其常数值取为
3、k*k=2TOMQroQ将椭球方程的常数项的平方取为2T时， 惯量椭球的表面上的点表示了刚体的能量，这时的惯量椭球称为能量椭球（等能量面）。该椭球面上任意一点M到定点O的距离刚体绕瞬时轴OM转动的动能表示为：由以上两个关系可得到 角速度向量角速度向量的端点的端点S时刻都在能量椭球的表面上时刻都在能量椭球的表面上。刚体的角速度矢量将随着刚体的运动，在能量椭球面上留下一条轨线。 几何方法：几何方法：Poinsot的几何解释的几何解释rOM沿该平面的法线方向G（G为空间不变为空间不变的方向的方向）的投影为即椭球面上任意一点M代表某一时刻的角速度瞬时的矢量，该变矢量在G方向的投影是常数。由于角动量守恒
4、，空间存在一过定点O的矢量。在空间中可定义一族平行平面，其法线方向为G. RGP惯量椭球面，其常数值取为k*k=2TOMQroQ几何方法：几何方法：Poinsot的几何解释的几何解释 RGP惯量椭球面，其常数值取为k*k=2TOMQroQ在这一族以G的方向作为法线方向的平面中，选择一个平面，该平面与能量椭球相切，这一平面是空间的一个不变平面。能量椭球方程为对应的法线方向为切平面方程可表示为几何解几何解释刚体定点运动规律的几何解释：刚体定点运动规律的几何解释：刚体的能量椭球面总是和空间的一个以G为法线的固定平面相切，刚体的定点运动类似一个椭球体在该固定平面上作纯滚动。矢量在椭球面上留下了“本体极
5、迹”，而在空间不变平面上留下了“空间极迹”。 RGP惯量椭球面，其常数值取为k*k=2TOMQroQ本体极迹本体极迹在能量椭球上满足（其坐标值对应角速度的分量）动量矩守恒联立以上两个方程，其交线即为在固连坐标系中的本体轨迹其交线即为在固连坐标系中的本体轨迹。几何解几何解释ABCG =2TJ2G 2TJ22 2 2 G 2TJ2角速度矢量在能量椭球上所画出的本体极迹。将以上两个椭球方程变换，可得到椭球的三个轴相交曲线方程为几何解几何解释假设J1 J2 2TJ22 2 2 G J2J3存在如下的首次积分利用上面的两个积分，可得到如下的关系式分析方法将以上关系式代入Euler方程中的第（2）式设初始
6、条件t0时刻，2=0引入如下变换原方程可以变化为（4）分析方法其中：根据Jacobi积分理论，某一代数函数的积分，一定存在一个反转函数。方程（4）的左端项是一个标准的Jacobi椭圆正弦函数的积分反转。即有Sn是椭圆正弦函数。根据2，可以利用代数关系得到1和2.分析方法Sn(t), cn(t), dn(t)都是Jacobi椭圆函数， 其中u = sn(t), 含有参数k, u=sn(t,k),是以4K为周期的函数。也是以周期为4K的周期函数。Dn(t,k)是以周期为2K的函数。刚体绕固定轴匀速转动时的外力矩xzs123y节线建立如图所示的坐标系，O, 代表与刚体主轴相重合的三个方向。Oz代表定
7、轴转动的方向。采用Euler角表示坐标系之间的变换关系，角速度矢量k在代表主轴方向的固连坐标系中的分量为且应用Euler方程为维持沿z方向的匀速转动，三个方向都需要提供相应的外力矩。当当J1=J2时时莱沙尔坐标系考虑简单的具有对称惯量椭球的刚体对称惯量椭球的刚体的定点运动情形 J1 = J2对刚体的定点运动进行分解，引入中间参考系（莱沙儿参考坐标系）O, n, s, 。惯性系下莱沙尔坐标系运动的角速度可表示为Euler角的形式刚体的定点运动在莱沙尔坐标系中可以看做是刚体的定点运动在莱沙尔坐标系中可以看做是绕绕O的定的定轴转动 （角速度合成定理）。莱沙尔坐标系由于J1=J2,所以，与O轴垂直的平
8、面上任意两相互垂直的轴均为主轴。即即On和和 Os轴也是也是惯量主量主轴。动量矩在莱沙尔坐标系中的投影动量矩在莱沙尔坐标系中的投影绝对角速度矢量在莱沙尔坐标系的分量表示为莱沙尔坐标系在莱沙尔坐标系下的动量矩定理的形式为注意：这时是，即是莱沙尔坐标系的角速度，而非刚体的角速度。可以得到采用Euler角表示的具有对称惯量椭球的刚体定点运动的动力学方程利用以上方程，可以分析在重力场作用下的具有轴对称刚体的定点运动的情况，并得到解析解的形式。重力作用下轴对称刚体的定点运动重力作用下轴对称刚体的定点运动C对称的玩具陀螺在地面上作定点运动，除重力和地面支撑力外，无其它外力。质心在C点，质心到定点的距离为r
9、OC=a。要求分析该对称回转刚体的定点运动的情形。重力作用下轴对称刚体的定点运动重力作用下轴对称刚体的定点运动由于是对称刚体， J1=J2，故可以采用莱沙尔坐标系建立与Euler角相关的动力学方程。对固定点的外力矩为动力学方程为角速度矢量在莱沙尔坐标系中的各个分量与Euler角之间的关系C重力作用下轴对称刚体的定点运动重力作用下轴对称刚体的定点运动分析运动微分方程中的首次积分（1）（1）式表明角速度矢量在3轴上的分量总是常数。由于即有第三个首次积分来自机械能守恒条件机械能守恒条件。运动微分方程存在三个微分变量，有三个首次积分常数，如果能够确定其它三个积分常数，便可以得到其解析表达式。（2）（3
10、）重力作用下轴对称刚体的定点运动重力作用下轴对称刚体的定点运动根据（2），有（4）其中：=Gz/J1, =J33/J1如果是已知的关于时间t的函数，则得到(t)。利用(), 将其代入(1)（5）根据能量积分(3)，并定义将(4)代入上式（6）重力作用下轴对称刚体的定点运动重力作用下轴对称刚体的定点运动定义如下参数方程（6）变为（7）引入如下的变量变换方程(7)具有如下的形式（8）上式的右端项是关于上式的右端项是关于u的一个代数方程，的一个代数方程，可归结为如下的一个积分可归结为如下的一个积分根式内是关于u的三次多项式，是代数函数的反转问题，必然涉及到椭圆函数的积分问题。为揭示物理的本质，不一定
11、完全得到解的解析表达式。重力作用下轴对称刚体的定点运动定义方程（8）中右端项关于u的三次多项式为如下函数该三次多项式的根给出了是deta变号的可能性。下面分析以上三次多项式在u为实数轴上的分布情形。根据以上函数值域的分布，可以断定三个根的分布如下：uf(u)u=-1u=1u1u2u3重力作用下轴对称刚体的定点运动同时注意：如果存在三个根不等的情况，则，初始位置的u0必定位于刚体的运动将被限制两个临界章动刚体的运动将被限制两个临界章动角角1, 2之间运动。具体运动之间运动。具体运动形式与初始条件相关形式与初始条件相关。在由1和2所给定的界圆边界上，章动角速度dot=0。轨迹形状主要由进动角速度的方向来确定。作业作业n 16, 17,19, 21, 22, 24, 25
