场论与复变函数课件：场论矢量场

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1、1 场场 论论2.1 2.1 场2.2 2.2 数量场的方向导数方向导数和梯度梯度2.3 2.3 矢量场的通量通量及散度散度2.4 2.4 矢量场的环量环量及旋度旋度2.5 2.5 几种重要的矢量场1第二章 场论21. 矢量线矢量线2第二章 场论其中函数Ax，Ay，Az (单值、连续且有一阶连续偏导数)为矢量A 的三个坐标，。坐标表示：( 1.4 )矢量场中分布在各点M处的矢量A：A = A (M) 直角坐标系Oxyz中，表示为点M 的坐标( x , y , z ) 的函数，矢量线：矢量线：在矢量线上的每一点处，曲线都和对应于该点的矢量A相切，如右图。例如静电场中的电力线，磁场中的磁力线，流速

2、场中的流线等，都是矢量线矢量线的例子。A = A ( x , y , z) (1.3 )矢量场矢量场3矢量面：矢量面：矢量管矢量管:3第二章 场论对于场中的任意一条曲线C（非矢量线），在其上的每一点处，有且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体就构成一张通过曲线C 的曲面。当C 为一封闭曲线时，通过C 的矢量面，就构成一管形曲面。 矢量面 矢量管4对于已知的矢量场对于已知的矢量场A = A (x , y , z ) ，怎样求其矢量线怎样求其矢量线的方程？的方程？设矢量线上任意一点M (x,y,z)，其矢径为 r = x i + y j + z k 则微分dr = dx i + dy j + dz

3、 k 按其几何意义为在点M 处与矢量线相切的矢量。根据矢量线的定义，它必定在点M 处与场矢量 A = Ax i + Ay j + Az k 共线。因此有(1.5 ) 这就是矢量线所应满足的微分方程矢量线所应满足的微分方程。解之，可得矢量线族。 4第二章 场论注意：这里dr与矢量线相切，而矢量线又与场矢量A(M)相切,故dr与A(M)共线5例例1. 设点电荷q 位于坐标原点，在其周围空间的任一点M( x , y , z ) 处所产生的电场强度，由电学知为5第二章 场论其中 为介电系数，r =x i + y j + z k 为M 点的矢径；而r = ，求电场强度E 的矢量线。 解解： 则矢量线所应

4、满足的微分方程为从而有 ，解之即得 (C1，C2为任意常数） 这就是电场强度E 的矢量线方程。6例例2.求矢量场 通过点M( 2 , 1 , 1 ) 的矢量线方程。解解：矢量线所应满足的微分方程为由解得 又将方程写为由此解得6第二章 场论等比定理 于是得到矢量线族之方程为再以点 M( 2 , 1 , 1 ) 的坐标代入，定出从而求得过点M( 2 , 1 , 1 ) 的矢量线方程：一族以原点为中心的同心圆，7 7第二章 场论简单曲线简单曲线：一条没有重点的连续曲线，一般可用参数方程 表示为简单曲面简单曲面：是一块没有重点的连续曲面，可用参数方程表 示为有向曲面有向曲面:取定了正侧的曲面有向曲线有

5、向曲线:取定了正方向的曲线1. 通量通量矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度8 8第二章 场论如图(2 11)，流体穿过dS 的流量dQ ，就近似地等于以dS为底面积，vn为高的柱体体积（vn 为 v 在n 上的投影），即若以n表示点M 处的单位法矢，则有据此，可以得到dQ = vdS ( 3.2 )其中dS = ndS 为在点M 处的这样一个矢量，其方向与n 一致，其模等于面积dS ，如图（2 12）。设有一流速场v(M)，S为场中一有向曲面求单位时间内向正侧穿过S的流量Q （S的法矢n指向S的正侧）9 9第二章 场论据此，在单位时间内向正侧穿过S 的流量，就可用曲面积分表示为例如：在电位移

6、矢量D 分布的电场中，穿过曲面S 的电通量在磁感应强度矢量B 分布的磁场中，穿过曲面S 的磁通量1010第二章 场论（1）通量的定义）通量的定义：设有矢量场A (M) ，沿其中有向曲面S 某一侧的曲面积分叫做矢量场A (M) 向积分所沿一侧穿过曲面S 的通量通量。此式表明，通量是可以叠加的。若则1111第二章 场论在直角坐标系中，设则通量可以写成又直角坐标系下计算通量的公式直角坐标系下计算通量的公式1212第二章 场论解：解：以S1 表示曲面S 的平面部分，以S2 表其锥面部分，则例例1.1.设由矢径r = xi + yj + zk 构成的矢量场中，有一由圆锥面x2 + y2 = z2 及平面

7、 z =H (H0 ) 所围成的封闭曲面S，如图（2 13）。试求场r 从S 内穿出S 的通量 。其中 1 为S1 在 xOy 上的投影，是一个圆域：所以（在S2 上有 r n）1313第二章 场论（2）通量为正，为负，为零时的物理意义。）通量为正，为负，为零时的物理意义。设在单位时间内流体向正侧穿过S 的流量为Q，则在单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS 的流量，前面说过为当v 是从dS 的负侧穿到dS 的正侧时，v 与n 相交成锐角，此时dQ = vdS 0 为正流量；反之，如v 是从dS 的正侧穿到dS 的负侧时，v 与n 相交成钝角，此时dQ = vdS 0 时，就表示流出多于流入，此

8、时在S 内必有产生流体的泉源泉源。当然，也可能还有排泄流体的漏洞漏洞，但所产生的流体必定多于排泄的流体。Q 0 ：不论S 内有无漏洞，我们总说S 内有正源有正源Q 0： 该点存在散发通量的正源div A 0 ：该点存在吸收通量的负源div A = 0 ：该点无源称div A 0 的矢量场A为无源场无源场散度div A 为一数量，表示场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度源的强度。若把矢量场A的每一点的散度与场中之点对应起来，得到由此矢量场产生的散度场散度场（是一个数量场）回顾：回顾：上一小节中，数量场中每一点处的梯度（为一个矢量）构成了此

9、数量场中的梯度场梯度场（是一个矢量场）1818第二章 场论（2）散度在直角坐标系中的表示式：）散度在直角坐标系中的表示式：定理定理. 在直角坐标系中，矢量场A = P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k 在任一点M(x , y , z ) 处的散度为证证：高斯公式其中 为在 内的某一点。由此当 缩向M 点时， 就趋于点M 所以1919第二章 场论例例3.3.在点电荷q 所产生的静电场中，求电位移矢量D 在任何一点M 处的散度div D 。解：解：取点电荷所在之点为坐标原点。此时其中r = xi + yj + zk，r =

10、|r| 因此于是有所以2020第二章 场论（3）散度运算的基本公式。）散度运算的基本公式。1 ) div ( cA ) =c div A （c 为常数）2) div ( A B ) = div A div B3 ) div ( uA ) =u div A + Agrad u （u 为数性函数）2121第二章 场论例例4.4.已知解：解：由基本公式得由于故第二章 场论22例例5 5 已知A A=(axz+x2)i i+(by+xy2)j j+(zz2+cxz2xyz)k k， 试确定a, b, c, 使得A A是一个无源场。解 div A A=az+2x+b+2xy+12z+cx2xy=(a2)

11、z+(2+c)x+b+1若A A是一个无源场， 则div A A=0， 因此a2=0, 2+c=0, b+1=0即a=2, b=1, c=22323第二章 场论推论推论1. 通量和散度之间满足如下关系：即：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所包围的区域 上的散度在 上的三重积分。推论推论2. 由推论1 可知：若在封闭曲面S 内处处有div A = 0，则推论推论3. 若在矢量场A 内某些点（或区域）上有div A 0 或div A 不存在，而在其他的点上都有div A = 0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。241. 环量环量24第二章 场论求一个质点M 在场力

12、F 的作用下，沿l 正向运转一周时所作的功。如图,设 t 为指向正向的l的切向矢量,在l 上取一弧元素dl，当质点运动经过dl 时，场力F 所作的功以 表示l 的单位切向矢量，则其中dl =dl :其方向与t 一致，模等于弧长dl矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度故有：当质点沿封闭曲线l 运转一周时，场力F 所作的功，就可用曲线积分表示为2525第二章 场论（1）环量的定义）环量的定义：设有矢量场A (M) ，则沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线l 的环量环量。在直角坐标系中环量可以写成2626第二章 场论解：解：对于平面封闭曲线，在无特别申明时，即指沿逆

13、时针方向。例例1. 设有平面矢量场A = yi + xj ，l 为场中的星形线 x =R cos3, y =R （图2 19）。 求此矢量场沿l 正向的环量 。2727第二章 场论（2）环量面密度：）环量面密度：设M为矢量场A中的一点，在M点处取定一个方向n，再过M点任作一微小曲面S （n为其法矢）。S为其表面积，其周界为l ，如图(2 20)。当曲面S 在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M 点时，若矢量场沿l 之正向的环量 与面积S 之比 的极限存在，则称其为矢量A 在点M 处沿方向n 的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作n，即2828第二章 场论在直角坐标系中，设则由斯托克斯公

14、式有：（3）环量面密度的计算公式。）环量面密度的计算公式。再按积分中值定理有其中，M*为s 上某一点，当sM 时有M*M 。于是其中 为在M 点处n 的方向余弦2929第二章 场论故在点M 处沿n 方向的环量面密度为例例2. 求矢量场A = xz3i 2x2yzj + 2yz4k 在点M( 1 , 2 , 1 ) 处沿矢量n = 6i + 2j + 3k 方向的环量面密度。解：解：矢量n 的方向余弦302. 旋度旋度30第二章 场论根据环量面密度的计算公式(4. 11)，把其中的三个数 视为一个矢量R 的三个坐标，即取R 在给定点处为一固定矢量，则（4.11）式可以写为其中 为方向n 上的单位

15、矢量。矢量R叫做矢量场A 的旋度3131第二章 场论若在矢量场A 中的一点M 处存在这样的一个矢量R ，矢量场A 在点M 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是|R| ，则称矢量R 为矢量场A 在点M 处的旋度旋度，记作 rot A，即（1）旋度的定义：）旋度的定义：简言之，旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度。在直角坐标系中有或3232第二章 场论旋度的性质旋度的性质：旋度矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即 例如在磁场H 中，旋度rot H 是这样一个矢量，在给定点处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模

16、即为最大电流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电流密度。在电学上称rot H 为电流密度矢量电流密度矢量。根据斯托克斯公式，环量的计算公式可以写成：3333第二章 场论例例3. 求矢量场A = xy2z2i + z2 sin y j + x2eyk 的旋度。解解3434第二章 场论在计算矢量场A = Pi +Qj + Rk 的散度和旋度时， 还可以用这样的方法： 求出函数P ，Q ，R 对x , y , z 的各偏导数，列成如下形式的表叫做矢量场矢量场A 的雅可比（的雅可比（Jacobi）矩阵）矩阵，等号左端的DA 是其记号。比照散度和旋度计算公式：主对角线其余项3535第

17、二章 场论在例3 中矢量场A 中，其雅可比矩阵为由此立得3636第二章 场论此结果说明 ，场A的矢量线与场rot A的矢量线正交得例例5. 设ay2z2i+z2x2j+x2y2k,证明于是有3737第二章 场论（2）旋度运算的基本公式）旋度运算的基本公式1）rot ( cA ) = c rot A （c 为常数）2）rot ( A B ) = rot A rot B3）rot ( uA ) =u rot A + grad u A （u 为数性函数）4）div ( A B ) = B rot A A rot B5）rot ( grad u ) = 06）div (rot A ) = 0称为无旋场

18、。公式(5)表明，任何梯度场是无旋场若A和B都是无旋场，则由公式(4) ， A B 为无源场3838第二章 场论（1）如果在一个区域内G 内的任何简单闭曲线l，都可以作出一个以l 为边界且全部位于区域G 内的曲面S，则称此区域G 为线单连域线单连域；否则，称为线复连域线复连域。空心球体是线单连域空心球体是线单连域，环面体则为线复连域环面体则为线复连域。（2）如果一个区域G 内任何简单闭曲面S 所包围的全部点，都在区域G 内（即S 内没有洞），则称此区域为面单连域面单连域；否则，称为面复连域面复连域。环面体是面单连域环面体是面单连域，空心球体则为面复连域空心球体则为面复连域。实心的球体、圆柱体、

19、六面体等即是线单连域，又是面单连域实心的球体、圆柱体、六面体等即是线单连域，又是面单连域单连域单连域 复连域复连域2.52.5几种重要的矢量场几种重要的矢量场391. 有势场有势场39第二章 场论定义：定义：设有矢量场A (M) ，若存在单值函数u (M) 满足则称此矢量场为有势场有势场令 v = u，并称v 为这个场的势函数势函数。矢量A和 势函数v 之间的关系是： 性质性质： (1)有势场是一个梯度场； (2)有势场是一个无旋场：rot A = 0； (3) 有势场的势函数有无穷多个，它们之间只相差一个常数4040第二章 场论证证：设A = P ( x , y , z ) i +Q (x

20、, y , z ) j + R ( x , y , z ) k如果A 为有势场，则存在函数u (x , y , z ) 满足A = grad u ，即有由于函数P , Q , R 具有一阶连续偏导数，由上式知函数u 具有二阶连续偏导数。因此有所以在场内处处有rot A = 04141第二章 场论故A 为有势场。证：证：由雅克比矩阵例例 1. 证明矢量场 A = 2xyz2i + ( x2z2 + z cos yz ) j + 2x2yzk 为有势场。422. 管形场管形场42第二章 场论定义：定义：设有矢量场A，若其散度div A 0，则称此矢量场为管管形场形场。换言之，管形场就是无源场无源场

21、。性质性质（1）设在面单连域内的管形场A ，在场中任取一个矢量管，假定S1与S2是它的任意两个横断面，其法矢n1与n2都朝向矢量A 所指的一侧。如图（2 24）。则有（2）在面单连域内的管形场A为另一个矢量场B的旋度场。4343第二章 场论证：证： 充分性充分性 设A = rot B， 则由旋度运算的基本公式有 div ( rot B ) = 0 即有 div A = 0 所以矢量场A 为管形场。解：解：因为div A=0+1-1=0, 故为A管形场例例 5.验证A = 2xyz3i + x2z3j + 3x2yz2k 为管形场443. 调和场调和场44第二章 场论定义：定义：如果在矢量场A

22、中恒有div A = 0 与rot A = 0，则称此矢量场为调和场调和场。换言之，调和场是指既无源又无旋的矢量场。div D= 0例如在原点的点电荷q 所产生的静电场中，除去点电荷所在的原点外，由本章第三节的例3 知有同样容易证明rot D = 0所以，电位移矢量D 在除去原点外的区域内形成一个调和场。4545第二章 场论调和函数调和函数. 设矢量场A 为调和场， 按定义有 rot A = 0， 因此存在函数u 满足A = grad u ；又按定义有div A = 0，于是有在直角坐标系中，由于因而上式成为这是一个二阶偏微分方程，叫做拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程；满足拉普拉斯方程

23、且具有二阶连续偏导数的函数，叫做调和函调和函数。数。按定义调和场也是有势场。其势函数v=-u显然也是调和函数4646第二章 场论其中 u 也叫做调和量调和量（或拉普拉斯式拉普拉斯式）。拉普拉斯引进了一个数性微分算子：叫做拉普拉斯算子，记号 可读作 “ 拉普拉逊( Laplacian ) ”。引用这个算子方程（5.15）便可简写为47本章重点总结本章重点总结1、数量场和矢量场的基本概念、数量场和矢量场的基本概念 数量场的等值面和等值线 矢量场的矢量线方程的计算2、数量场：、数量场： 方向导数 梯度 二者关系483、矢量场：、矢量场： 通量 散度 二者关系 环量环量面密度 旋度 关系4949第二章 场论4、关于各种场的一些基本概念：、关于各种场的一些基本概念：数量场中每一点处的梯度（为一个矢量）构成了此数量场中的梯度场梯度场（是一个矢量场）矢量场A的每一点的散度（为一个数量）构成了此矢量场产生的散度场散度场（是一个数量场）线单连域中：有势场=梯度场=无旋场面单连域中：管形场=无源场矢量场中：调和场=无旋场+无源场5、梯度、散度、旋度运算的一些基本公式、梯度、散度、旋度运算的一些基本公式50本章作业P138: 22（1）