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1、第一章第一章第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语第一节第一节第一节第一节 集合及其运算集合及其运算集合及其运算集合及其运算第二节第二节第二节第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件第三节第三节第三节第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在简单的逻辑联结词、全称量词与存在简单的逻辑联结词、全称量词与存在简单的逻辑联结词、全称量词与存在词词词词专家讲坛专家讲坛专家讲坛专家讲坛备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么1.集合的含义与表示集合的含义与表示
2、(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法列举法或描述法)描述不同的具体问描述不同的具体问题题2.集合间的基本关系集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 (2)(2)在具体情境中，了解全集与空集的含在具体情境中，了解全集与空集的含义3.集合的基本运算集合的基本运算 (1)(1)理解两个集合的并集与交集的含理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个，会求两个简单集合的并集与交集集合的并集
3、与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.怎怎 么么 考考1.对集合的含集合的含义与表示的考与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之合之间的关系，考的关系，考查利用所学的知利用所学的知识对集合的性集合的性质进行初步探究的基本行初步探究的基本逻辑能力，如能力，如2009年高考年高考T14.2.对于两个集合之于两个集合之间关系的考关系的考查主要涉及以下
4、两个方面：主要涉及以下两个方面：(1)判断判断给定两个集合之定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断的关系，主要是子集关系的判断(2)以不等式的求解以不等式的求解为背景，利用两个集合之背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取的子集关系求解参数的取值范范围问题，如，如2009年高考年高考T11.3.集合的基本运算在高考命集合的基本运算在高考命题中主要与中主要与简单不等式的求解、函数的定不等式的求解、函数的定义域域或或值域的求法相域的求法相结合考合考查集合的交、并、集合的交、并、补运算，以运算，以补集与交集的基本集与交集的基本运算运算为主，考主，考查借助数借助数轴或或Venn图进行集合运算，
5、如行集合运算，如2010年高考年高考T1；2011年高考年高考T1，T14；2012年高考年高考T1.归纳归纳知识整合知识整合1元素与集合元素与集合(1)集合元素的特性：集合元素的特性：、无序性、无序性(2)集合与元素的关系：若集合与元素的关系：若a属于属于A，记作，记作 ；若；若b不属于不属于A，记作，记作 .(3)集合的表示方法：集合的表示方法：、图示法、图示法确定性确定性互异性互异性aAb A列举法列举法描述法描述法(4)常见数集及其符号表示常见数集及其符号表示:数集数集自然自然数集数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集数集符号符号 _ _NN*或或NZQR探究探究1.集
6、合集合Ax|x20，Bx|yx2，Cy|yx2，D(x，y)|yx2相同吗？它们的元素分别是什么相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这提示：这4个集合互不相同，个集合互不相同，A是以方程是以方程x20的解为的解为元素的集合，即元素的集合，即A0；B是函数是函数yx2的定义域，即的定义域，即BR；C是函数是函数yx2的值域，即的值域，即Cy|y0；D是抛物线是抛物线yx2上的点组成的集合上的点组成的集合20与集合与集合0是什么关系？是什么关系？ 与集合与集合 呢？呢？提示：提示：00， 或或 2集合间的基本关系集合间的基本关系表示表示关系关系文字文字语言言符号符号语言言相等相等集合集合A与集合与
7、集合B中的所有元素中的所有元素_A B且且B AAB子集子集A中任意一个元素均中任意一个元素均为B中的元素中的元素 或或_ 真子集真子集A中任意一个元素均中任意一个元素均为B中的元素，中的元素，且且B中至少有一个元素不是中至少有一个元素不是A中的元中的元素素 或或 _空集空集空集是空集是的子集，是的子集，是_的真子集的真子集 A _ _B(B )都相同都相同任何集合任何集合任何任何非空集合非空集合ABBAABBA 探究探究3.对于集合对于集合A，B，若，若ABAB，则，则A，B有什么关系？有什么关系？提示：提示：AB.假设假设AB，则，则ABAB，与，与ABAB矛盾，故矛盾，故AB.3集合的基
8、本运算集合的基本运算集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的集合的补集集符号符号表示表示_若全集若全集为U，则集合集合A的的补集集为 _ _图形形表示表示意意义x|_x|_ UA_ABAB UAxA，或或xBxA，且且xBx|xU，且，且x A探究探究4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗同一个集合在不同全集中的补集相同吗？提示：一般情况下不相同，如提示：一般情况下不相同，如A0,1在全集在全集B0,1,2中的补集为中的补集为 BA2，在全集，在全集D0,1,3中的补集中的补集为为 DA3自测自测牛刀小试牛刀小试1已知集合已知集合M1，m2，m24，且，且5M，则，则m_解析：解析：51
9、，m2，m24，m25或或m245，即即m3或或m1.当当m3时，时，M1,5,13；当；当m1时，时，M1,3,5；当当m1时时M1,1,5不满足互异性不满足互异性m的值为的值为3或或1.答案：答案：3或或12(教材改编题教材改编题)已知集合已知集合A1,2，若，若AB1,2，则集，则集合合B有有_个个解析：解析：A1,2，AB1,2，BA，B ，1，2，1,2答案：答案：43(2013南京四校联考南京四校联考)若全集若全集U0,1,2,3,4，集合，集合M0,1，集合，集合N2,3，则，则( UM)N_.解析：解析：0,1,2,3,4，M0,1，UM2,3,4，( U)N2,3答案：答案：
10、2,34定义集合运算：定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设，设A1,2，B0，2，则集合，则集合A*B的所有元素之和为的所有元素之和为_解析：解析：zxy，xA，yB，且，且A1,2，B0,2，z的取值有：的取值有：100；122；200；224.故故A*B0,2,4集合集合A*B的所有元素之和为：的所有元素之和为：0246.答案：答案：65(教材改编题教材改编题)设集合设集合Ax|2x4，Bx|3x782x，则，则AB_，AB_，( UA)( UB)_.解析：解析：Ax|2x4，Bx|x3，UAx|x2，或，或x4， UBx|x3ABx|x2，ABx|3x4，( UA)( UB)x
11、|x2答案：答案：x|x2x|3x4x|x0，且，且1 A，则实数，则实数a的的取值范围是取值范围是_解析：解析：(1)集合集合AxR|x2a1为非空集合，为非空集合，a10，即，即a1.(2)1 x|x22xa0，1x|x22xa0，即即12a0，a1.答案：答案：(1)1，)(2)(，1集合间的基本关系集合间的基本关系答案答案(，8) 2，)根据两集合的关系求参数的方法根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常
12、要合理利用数轴、系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论，还要注意能否取分析，而且经常要对参数进行讨论，还要注意能否取到端点值到端点值答案：答案：0或或2或或3集合的基本运算集合的基本运算3(2012枣庄模拟改编枣庄模拟改编)已知全集已知全集UZ，集合，集合Ax|x2 x，B1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为，则图中阴影部分所表示的集合为_解析：由解析：由Ax|x2x得得A0,1，图中阴影部分所表，图中阴影部分所表示的集合是由不在集合示的集合是由不在集合A中，但在集合中，但在集合B中的元素构成中的元素构成的集合，即的集合，即( UA)B，
13、易知，易知( UA)B1,2故图中故图中阴影部分所表示的集合为阴影部分所表示的集合为1,2答案：答案：1,2集合中的新定义问题集合中的新定义问题例例4(2012东城模拟改编东城模拟改编)非空集合非空集合G关于运算关于运算 满足：满足：(1)对任意对任意a、bG，都有，都有a bG；(2)存在存在cG，使得对一切，使得对一切aG，都有，都有a cc aa，则称集合，则称集合G关于运算关于运算 为为“融洽集融洽集”现给出下列集合和运算：现给出下列集合和运算：G非负整数非负整数， 为整数的加法；为整数的加法；G偶数偶数， 为整数的乘法；为整数的乘法；G平面向量平面向量， 为平面向量的加法；为平面向量
14、的加法；G二次三项式二次三项式， 为多项式的加法为多项式的加法其中其中G关于运算关于运算 为为“融洽集融洽集”的是的是_自主解答自主解答错，因为不满足条件错，因为不满足条件(2)；错，错，因为不满足条件因为不满足条件(1)答案答案解决新定义问题应注意以下几点解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的本质特点，弄清新定义的本质(2)按新定义的要求按新定义的要求“照章办事照章办事”，逐步分析、验，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决证、运算，使问题得以解决答案：答案：3 3(1)认清集合元素的属性认清集合元素
15、的属性(是点集、数集或其他情形是点集、数集或其他情形)和化和化简集合是正确求解的两个先决条件简集合是正确求解的两个先决条件(2)要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的包含关系包含关系(3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身集和它本身(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足的互异性，否则很可能会因为
16、不满足“互异性互异性”而导致解题而导致解题错误错误.创新交汇创新交汇与集合运算有关的交汇问题与集合运算有关的交汇问题1集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中2解决集合的创新问题常分三步：解决集合的创新问题常分三步：(1)信息提取，确定化归的方向；信息提取，确定化归的方向；(2)对所提取的信息进行加工，探求解决方法；对所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3
17、)将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点答案：答案：4答案：答案：0,1)3设设Ma|a(2,0)m(0,1)，mR和和Nb|b(1,1)n(1，1)，nR都是元素为向量的集合，则都是元素为向量的集合，则MN_.解析：设解析：设c(x，y)MN，则有，则有(x，y)(2,0)m(0,1)(1,1)n(1，1)，即，即(2，m)(1n,1n)，所以由此，所以由此解得解得n1，m0，(x，y)(2,0)，即即MN(2,0)答案：答案：(2,0)1已知集合已知
18、集合M1,0,1，Nx|xab，a，bM，且，且ab，则集合，则集合M与集合与集合N的关系是的关系是_解析：由于解析：由于M1,0,1，所以，所以x0，1，故，故N0，1，所以，所以NM.答案：答案：NM2设全集设全集UR，Ax|x23x0， Bx|x1，则图中阴影部分表，则图中阴影部分表示的集合为示的集合为_解析：依题意得集合解析：依题意得集合Ax|3x0，所求的集合，所求的集合即为即为AB，所以图中阴影部分表示的集合为，所以图中阴影部分表示的集合为x|3x1答案：答案：x|3xb成立的充分不必要的条件成立的充分不必要的条件是是_(填正确的序号填正确的序号)ab1;ab1;a2b2;a3b3
19、例例2(1)(2012浙江高考改编浙江高考改编)设设aR，则，则“a1”是是“直线直线l1：ax2y10与直线与直线l2：x2y40平行平行”的的_条件条件(2)对于对于，ab1ab10ab，但，但a2，b1满足满足ab，而，而ab1，不满足，不满足ab1，故，故项正确对于项正确对于，ab1不能推出不能推出ab，排除，排除；对于；对于，由，由a2b2不能不能推出推出ab，如，如a2，b1，(2)212，但，但2ba3b3，它们互为充要条件，排除，它们互为充要条件，排除.答案答案(1)充分必要充分必要(2)2已知命题已知命题p：函数：函数f(x)|xa|在在(1，)上是增函上是增函数，命题数，命
20、题q：f(x)ax(a0且且a1)是减函数，则是减函数，则p是是q的的_条件条件解析：若命题解析：若命题p为真，则为真，则a1；若命题；若命题q为真，为真，则则0a0”是是“方程方程mx2ny21的曲线是的曲线是椭圆椭圆”的的_条件条件解析：当解析：当m0，n0，但，但mx2ny21没有意义，没有意义，不是椭圆；反之，若不是椭圆；反之，若mx2ny21表示椭圆，则表示椭圆，则m0，n0，即，即mn0.答案：必要不充分答案：必要不充分3设集合设集合AxR|x20，BxR|x0，则，则“xAB”是是“xC”的的_条件条件解析：化简得解析：化简得Ax|x2，Bx|x0，Cx|x2ABC，“xAB”是
21、是“xC”的充要条件的充要条件答案：充分必要答案：充分必要1已知已知a，b，cR，命题，命题“若若abc3，则，则a2b2c23”的否命题是的否命题是_解析：解析：abc3的否定是的否定是abc3，a2b2c23的否定是的否定是a2b2c23.答案：若答案：若abc3，则，则a2b2c20”改为改为“a0”，其他条件，其他条件不变，则如何选择？不变，则如何选择？解析：若解析：若a至少有至少有一个一个至多有至多有一个一个对任意任意xA使使p(x)真真否定否定词语不是不是 不都是不都是 一一 个也个也没有没有至少有至少有两个两个存在存在x0A，使使p(x0)假假3命题命题“能被能被5整除的数，末位
22、是整除的数，末位是0”的否定是的否定是_解析：省略了全称量词解析：省略了全称量词“任何一个任何一个”，否定为：有，否定为：有些可以被些可以被5整除的数，末位不是整除的数，末位不是0.答案：有些可以被答案：有些可以被5整除的数，末位不是整除的数，末位不是0根据命题真假确定参数的取值范围根据命题真假确定参数的取值范围例例4(2013济宁模拟改编济宁模拟改编)已知命题已知命题p：关于：关于x的方程的方程x2ax40有实根；命题有实根；命题q：关于：关于x的函数的函数y2x2ax4在在3，)上是增函数若上是增函数若p或或q是真命题，是真命题，p且且q是假命题，是假命题，则实数则实数a的取值范围是的取值
23、范围是_答案答案(，12) (4,4)保持本例条件不变，若保持本例条件不变，若pq为真，则结果如何？为真，则结果如何？解析：解析：pq为真，为真，p和和q均为真均为真a的取值范围为的取值范围为12，44，)易误警示易误警示辨析含有量词的命题的否定中的易误点辨析含有量词的命题的否定中的易误点解析解析题目中命题的意思是题目中命题的意思是“对任意的对任意的x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0都成立都成立”，要否定它，只要找到，要否定它，只要找到至少一组至少一组x1，x2，使得，使得(f(x2)f(x1)(x2x1)0即可，故即可，故命题命题“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x
24、1)0”的否定是的否定是“x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0”答案：对任意的答案：对任意的xR,2x0答案：答案：x0且且y0答案：答案：q1，q44已知命题已知命题p：在：在ABC中，中，“CB”是是“sinCsinB”的充的充分分不必要条件；命题不必要条件；命题q：“ab”是是“ac2bc2”的充分不必要条的充分不必要条件，则下列选项中正确的是件，则下列选项中正确的是_p真真q假假p假假q真真“pq”为假为假“pq”为真为真答案：答案：三法破解集合运算和充要条件判断的问题三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法破解集合运算问题一、三法破解集合运算问题集合的基本运算主要包
25、括交集、并集、补集，集合是集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果从而得出结果方法一列举法方法一列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基列举法就是通过枚举集合中所有的
26、元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是：及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是：例例1设设P，Q为两个非空实数集合，定义集合为两个非空实数集合，定义集合P*Qz|zab，aP，bQ，若，若P1,0,1，Q2,2，则集合，则集合P*Q中元素的个数是中元素的个数是_答案答案3方法二数形结合法方法二数形结合法数形结合法就是利用数轴或数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合，然后图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基根据图形求解集
27、合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算其求解的基本步骤是：本运算其求解的基本步骤是：答案答案x|1x2点评点评数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算，应注意利用数轴表示集合时，要根据端点值的取舍情况本运算，应注意利用数轴表示集合时，要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合，避免因区间端点值的取正确选用实心点或空心点标注对应集合，避免因区间端点值的取舍不当造成增解或漏解舍不当造成增解或漏解方法三属性分析法方法三属性分析法属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系
28、来进行集合基本运算的方法，主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之基本运算的方法，主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题解决此类问题的基本步骤是：间的关系问题解决此类问题的基本步骤是：例例3已知全集已知全集Ux|0x10，xN*，AB3，A( UB)1,5,7，( UA)( UB)9，求，求A，B.解解Ux|0x10，xN*1,2,3,4,5,6,7,8,9，AB3，3A且且3B.A( UB)1,5,7，1,5,7A，且，且1,5,7 B.( UA)( UB)9，9 A且且9 B，A1,3,5,7，B2,3,4,6,8点评点评属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性，属性分析法的
29、实质是利用集合中元素的确定性，即元素与集合之间的关系：属于与不属于在推理过程中还即元素与集合之间的关系：属于与不属于在推理过程中还要注意已知集合之间的关系，如要注意已知集合之间的关系，如aU，a A且且AU，则必有，则必有aUA.二、三法破解充要条件判断的问题二、三法破解充要条件判断的问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断；二是根据充要条件求解参数的取值范围，这两充要条件的判断；二是根据充要条件求解参数的
30、取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考查，试题难度不大类问题常以填空题的形式进行考查，试题难度不大充要条件的判断问题要注意充要条件的判断问题要注意“p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件”与与“p的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是q”这两种叙述方式的差异，先将问题转这两种叙述方式的差异，先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再判断利用充要条件之间的化为第一种基本的叙述方式，然后再判断利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系，然关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系，然后构造相应的不等式进行处理后构造相应的不等式进行处理方法一定义法方
31、法一定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若若p，则，则q”与与“若若q，则，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与与q之之间的充要关系其基本步骤是：间的充要关系其基本步骤是：答案答案必要不充分必要不充分点评点评判断判断p、q之间的关系，只需判断两个命题之间的关系，只需判断两个命题A：“若若p，则，则q”和和B：“若若q，则，则p”的真假两命题的真假与的真假两命题的真假与p、q之间之间的关系如下表所示：的关系如下表所示：命题命题A命题命题Bp、q之间的关系之间的关系真真真真p为为q的充分必要条件的充分
32、必要条件真真假假p为为q的充分不必要条件的充分不必要条件假假真真p为为q的必要不充分条件的必要不充分条件假假假假p为为q的既不充分又不必要条件的既不充分又不必要条件方法二等价转化法方法二等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否否”的有关条件之的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断其基本步骤为：式较为简单的两个条件之间的关系进行判断其基本步骤为：答案答案0,1方法三集合法方法三集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关集合法
33、就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以进系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题其解决的一般步骤是：行区分或判断的问题其解决的一般步骤是：例例3若若A：log2a1，B：x的二次方程的二次方程x2(a1)xa20的一个根大于零，另一根小于零，则的一个根大于零，另一根小于零，则A是是B的的_条件条件答案答案充分不必要充分不必要点评点评设设p、q对应的集合分别记为对应的集合分别记为A、B.则则p、q之间的之间的关系可转化为与之相应的两个集合之间的关系它们之间的关系可转化为与之相应的两个集合之间的关系它们之间的关系如下表所示：关系如下表所示：
