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1、第五章一元函数定积分学一元函数定积分学(分割分割;近似近似;作和作和;取极限方取极限方法法)多元函数积分学多元函数积分学二重积分二重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分多元函数 积 分学 扩展扩展 重点研究重点研究:二重积分二重积分三重积分三重积分第五章第五章 多多 元元 函函 数数 积积 分分 学学5.1二重积分概念和性质5.2二重积分计算 5.3二重积分简单应用解法解法: 用定积分思想解决此问题:5.1.1 二重积分的概念二重积分的概念例例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 曲顶柱体曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于
2、z 轴的柱面求其体积.“分割;近似代替; 求和, 取极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“分割”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“近似代替”在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 是指一个闭区域上任意两点间距离的最大者.例例2 非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 , 则若非均匀 , 仍可用其面密 “分割, 近似代替,求和, 求 极限” 解决.1)“分割”用任意曲
3、线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“近似代替”中任取一点3)“求和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求两个问题结构形式相同“分割,近似代替, 求和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:将 D 任意分成 n 个小区域任取一点可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.和式极限积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上连续函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作乘积并作和n个小
4、闭域最大直径,和式极限存在曲顶柱体体积可写成:平面薄板的质量可写成:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分注意的问题二重积分注意的问题:若函数(1)在D上总是可积可积.在有界闭区域 D上连续,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)二重积分与积分变量无关与被函数和积分区域有关,(3)几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体 体积的代数和.(4) 用二重积分的方法可扩展三重积分,即:5.1.2 二重积分的性质二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结
5、束 特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 二重积分的计算 二重积分的计算的思想: 把二重积分计算转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系直角坐标系下和极坐标系下的二重积分的计算下的二重积分的计算.5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算、在直角坐标系下二重积分的计算设曲顶柱体积分区域D为X型区域任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样, 曲顶
6、柱体积分区域D为Y型区域则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 总结利用直角坐标下二重积分计算总结利用直角坐标下二重积分计算若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形积分区域既是X型又是Y 型区域 : 0 a b xdcy例3 计算y-22 x1-1解: 矩形区域既是X型区域又是Y 型区域,先对哪个变量积分都可以.例例4 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 另一解法另一解法: 先对y 后对 x积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束 两种
7、解法相当交换积分顺序,即例例5. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明说明: 由被积函数考虑交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 更换下列积分 I 的次序0 1 2 3 1 解 : 转化成y型区域转化成y型区域5.2.2 在极坐标下二重积分的计算在极坐标下二重积分的计算在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线 =常数, 分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 又因为设则特别特别, 对机动 目录 上页 下页 返回 结
8、束 若 f 1 则可求得D 的面积思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.原式解解: 利用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.计算其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式利用例9的结果, 得故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 事实上, 当D 中,二、空间立体的体积二、空间
9、立体的体积 一一.平面图形的面积平面图形的面积 二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心 *三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.35.3二重积分的简单应用二重积分的简单应用 5.3.1 几何上的应用5.3.2 物理及力学上的应用一. 平面薄板的质量一一.平面图形的面积平面图形的面积例10 求抛物线解D-X 型区蜮若 f 1 则可求得D 的面积若 f 1 则可求得D 的面积若 f 1 则可求得D 的面积若 f 1 则可求得D 的面积若 f 1 则可求得D 的面积若 f 1 则可求得D 的面积例10 求抛物线例10 求抛物线例10 求抛物线例例11. 求两个
10、底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间立体的体积二、空间立体的体积5.3.2 物理及力学上的应用一. 平面薄板的量解 积分区域看成D-X区域O 1 xy y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y例12设平面薄板的面密度为所围成的平面薄板的质量.求由设平面有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有平面区域D,有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “分
11、割, 近视代替, 作和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心 *将D 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求位于两圆和的质心. 解解: 利用对称性可知而之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、平面薄板的转动惯量三、平面薄板的转动惯量*注意: 根据力学,质点绕某一定轴旋转的转动惯量I等于质点的质量M与这个质点到这定轴之间距离R的平方的乘积,即:再类似求平面薄板重心的方法得到平面薄板的转动惯量平面薄板的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例例14 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图,因半圆薄片的质量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.解答解答: 利用极坐标原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习题:课堂练习题：课堂练习题： 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束
