《湖北高考数学理一轮复习同步教材提能课件：2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北高考数学理一轮复习同步教材提能课件：2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例新人教A版（79页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二节导数在研究函数中的应用第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例与生活中的优化问题举例内内 容容 知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性( (其中其中多项式函数一般不超过三次多项式函数一般不超过三次) ) 函数的极值、最值函数的极值、最值( (其中多项式函其中多项式函数一般不超过三次数一般不超过三次) )利用导数解决某些实际问题利用导数解决某些实际问题三年三年3131考考 高考指数高考指数:1.1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间
2、、求函数的极值极值( (最值最值) )是考查重点；是考查重点；2.2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点；点；3.3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主，难度较大点交汇则以解答题为主，难度较大. .1.1.导数与函数单调性的关系导数与函数单调性的关系(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导若若f(x)f(x)0 0，则，则f(x)f(x)在这个区间内在这个区间内_；若若f(x)f(x)0 0，则，则
3、f(x)f(x)在这个区间内在这个区间内_._.如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f(x)=0f(x)=0，则，则f(x)f(x)为为_._.单调递增单调递增单调递减单调递减常数函数常数函数(2)(2)单调性的应用单调性的应用若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调，则上单调，则y=f(x)y=f(x)在该区间上不在该区间上不变号变号. .【即时应用即时应用】(1)(1)函数函数f(x)=1+x-sinxf(x)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的单调情况是上的单调情况是_._.(2)(2)设设f(x)f(x)是函数是函数f(x)f(x)的导函
4、数，的导函数，y=f(x)y=f(x)的图象如图所示，的图象如图所示，则则y=f(x)y=f(x)的图象最有可能是的图象最有可能是_._.(3)(3)若函数若函数y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的单调函数，则实数上的单调函数，则实数m m的取值范围的取值范围是是_._.【解析解析】(1)(1)在在(0(0，2)2)上有上有f(x)=1-cosx0f(x)=1-cosx0，所以，所以f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上单调递增上单调递增. .(2)(2)由导函数图象知，由导函数图象知，f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上为正，在上为正，在(0,2)(0
5、,2)上为上为负，在负，在(2,+)(2,+)上为正，所以上为正，所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是增函数，在上是增函数，在(0,2)(0,2)上是减函数，在上是减函数，在(2,+)(2,+)上是增函数，比较上是增函数，比较，只，只有有符合符合. .(3)(3)函数函数y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的单调函数，只需上的单调函数，只需y=3xy=3x2 2+2x+m0+2x+m0恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，答案：答案：(1)(1)单调递增单调递增(2)(2)(3)(3)2.2.函数极值的概念函数极值的概念(1)(1)极值点与极
6、值极值点与极值设函数设函数f(x)f(x)在点在点x x0 0及附近有定义，且在及附近有定义，且在x x0 0两侧的单调性两侧的单调性_(_(或导数值异号或导数值异号) )，则，则x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的极值点，的极值点，f(xf(x0 0) )为函为函数的极值数的极值. .(2)(2)极大值点与极小值点极大值点与极小值点若先增后减若先增后减( (导数值先正后负导数值先正后负) )，则，则x x0 0为为_点点. .若先减后增若先减后增( (导数值先负后正导数值先负后正) )，则，则x x0 0为为_点点. .相反相反极大值极大值极小值极小值【即时应用即时应用】(1)(1)判
7、断下列结论的正误判断下列结论的正误.(.(请在括号中填请在括号中填“”“”或或“”)”)导数为零的点一定是极值点导数为零的点一定是极值点( )( )函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0及附近有定义，如果在及附近有定义，如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f(x)f(x)0 0，右侧，右侧f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是极大值是极大值( )( )函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0及附近有定义，如果在及附近有定义，如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f(x)f(x)0 0，右侧，右侧f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是极大值
8、是极大值( )( )(2)(2)函数函数f(x)f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a(a，b)b)，导函数，导函数f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内的图象如图所示，则函数内的图象如图所示，则函数f(x)f(x)在开区间在开区间(a(a，b)b)内有极小值内有极小值点的个数为点的个数为_._.(3)(3)函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x-9x的极值点为的极值点为_._.【解析解析】(1)(1)导数为零只是函数在该点取极值的必要条件，导数为零只是函数在该点取极值的必要条件，正确，正确，f(xf(x0 0) )为极小值，故错误为极小值，故错误. .(2)(
9、2)从从f(x)f(x)的图象可知的图象可知f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内从左到右的单调性依次为内从左到右的单调性依次为增增减减增增减，所以减，所以f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内只有一个极小值点；内只有一个极小值点；(3)(3)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x-9=0+6x-9=0得得x=1x=1或或x=-3,x=-3,当当x x-3-3时，时，f(x)f(x)0,0,当当-3-3x x1 1时，时，f(x)f(x)0,0,当当x x1 1时，时，f(x)f(x)0,0,x=1x=1和和x=-3x=-3都是都是f(x)f(x)的极值点的极值点. .答案：答案：(
10、1)(1) (2)1(2)1(3)x=1,x=-3(3)x=1,x=-33.3.函数极值与最值的求法函数极值与最值的求法(1)(1)求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤求导数求导数f(x)f(x)；求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根；的根；列表，检验列表，检验f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右两侧的符号的根左右两侧的符号( (判判断断y=f(x)y=f(x)在根左右两侧的单调性在根左右两侧的单调性) )，确定是否为极值，是极大，确定是否为极值，是极大值还是极小值值还是极小值. .(2)(2)求函数求函数y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的
11、最值可分两步进行上的最值可分两步进行求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_；将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)f(a)、f(b)f(b)比较，比较，其中最大的一个为其中最大的一个为_，最小的一个为，最小的一个为_._.极值极值最大值最大值最小值最小值【即时应用即时应用】(1)(1)思考：最值是否一定是极值？思考：最值是否一定是极值？提示：提示：不一定不一定. .如果最值在端点处取得就不是极值如果最值在端点处取得就不是极值. .(2)(2)函数函数f(x)=3x-4xf(x)=3x-4x3 3，x0,1x0,1的最
12、大值是的最大值是_._.【解析解析】由由f(x)=3-12xf(x)=3-12x2 2=0=0得得答案：答案：1 1(3)(3)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1处取极值处取极值1010，则，则f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由题意，由题意即即得得a=4a=4或或a=-3.a=-3.但当但当a=-3a=-3时，时，b=3,f(x)=3xb=3,f(x)=3x2 2-6x+30-6x+30，故不存在极值，故不存在极值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(
13、2)=18.f(2)=18.答案：答案：18184.4.导数的实际应用导数的实际应用导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型( (函数关系函数关系) )，再利用导数研究其单调性和最值，再利用导数研究其单调性和最值. .解题过程中要时解题过程中要时刻注意实际问题的意义刻注意实际问题的意义. .【即时应用即时应用】(1)(1)已知某生产厂家的年利润已知某生产厂家的年利润y(y(单位：万元单位：万元) )与年产量与年产量x
14、(x(单位：单位：万件万件) )的函数关系式为的函数关系式为 则使该生产厂家获得则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为最大年利润的年产量为_._.(2)(2)将边长为将边长为1 m1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记两块，其中一块是梯形，记则则S S的最小值是的最小值是_. . 【解析解析】(1)y=-x(1)y=-x2 2+81,+81,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9(x=-9(舍去舍去) )，当当x x9 9时时yy0 0；当；当x x9 9时时yy0 0，故当，故当x=9x=9时函数有极大值，时函数有
15、极大值，也是最大值；也是最大值；即该生产厂家获得最大年利润的年产量为即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9 9万件万件. .(2)(2)设剪成的小正三角形的边长为设剪成的小正三角形的边长为x x，则：则：令令S(x)=0(0S(x)=0(0x x1),1),得得当当x(0, )x(0, )时，时，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)递减；递减；当当x( ,1)x( ,1)时，时，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)递增；递增；故当故当 时，时，S S取得最小值取得最小值答案：答案：(1)9(1)9万件万件(2)(2)利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性【方法点睛方法点睛】1
16、.1.导数在函数单调性方面的应用导数在函数单调性方面的应用(1)(1)利用导数判断函数的单调性；利用导数判断函数的单调性；(2)(2)利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的单调区间；(3)(3)已知函数单调性，求参数的范围已知函数单调性，求参数的范围. .2.2.导数法求函数单调区间的一般步骤导数法求函数单调区间的一般步骤第一步：求定义域：求函数第一步：求定义域：求函数y=f(x)y=f(x)的定义域的定义域第二步：求根：求方程第二步：求根：求方程f(x)=0f(x)=0在定义域内的根在定义域内的根第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间第三步：划分区间：用求得的方程的根划分
17、定义域所在的区间第四步：定号：确定第四步：定号：确定f(x)f(x)在各个区间内的符号在各个区间内的符号第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间. .【提醒提醒】当当f(x)f(x)不含参数时，也可通过解不等式不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)2x2时，时， 排除排除D.D.由由 得得 在满足上式的在满足上式的x x的区间内，的区间内，y y是是增函数增函数. .由由 得得 在满足上式的在满足上式的x x的区间内，的区间内，y y是减是减函数函数
18、, ,由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个, ,BB不正确，不正确，C C正确正确. .(2) (2) 定义域为：定义域为：(-2,-1)(-1,+).(-2,-1)(-1,+).令令F(x)F(x)0 0，得单调增区间为，得单调增区间为(-2,- )(-2,- )和和( ,+)( ,+)令令F(x)F(x)0 0，得单调减区间为，得单调减区间为(- ,-1)(- ,-1)和和(-1, )(-1, )不等式不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4化为：化为：ln(x+1)ln(2x+
19、1)-mln(x+1)ln(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4即即现在只需求现在只需求 的最大值和的最大值和y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)的最小值的最小值. .因为因为 在在00，11上单调递减上单调递减, ,所以所以 的最大值为的最大值为0,0,而而y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)是关于是关于a a的一次函数，故其最小值只的一次函数，故其最小值只能在能在a=-1a=-1或或a=1a=1处取得处取得, ,于是得到：于是得到：解得解得0m10m1或或-1m-1m0 0，所以所以m m的取值范围是的取值范围是-
20、1-1，1.1.【反思反思感悟感悟】1.1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域则，一定要注意先求定义域. .2.2.恒成立问题的处理，一般是采用恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化分离参数，最值转化”的的方法方法. .利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (最值最值) )【方法点睛方法点睛】 1.1.应用函数极值应注意的问题应用函数极值应注意的问题(1)(1)注意极大值与极小值的判断注意极大值与极小值的判断. .(2)(2)已知极值求参数的值已知极值求参数的值: :注意注意f(xf(x0 0)=0)=0是可
21、导函数是可导函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0处取得极值的必要不充分条件处取得极值的必要不充分条件. .2.2.数形结合求参数的范围数形结合求参数的范围利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围观察分析，确定满足条件的参数范围. .【例例2 2】已知函数已知函数f(x)=xef(x)=xe-x-x(xR).(xR).(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值；(2)(2)已知函数已知函数y=g(x)y=g(x)的图象与函数的图象与函数y=f(x)y=f(x
22、)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对对称称. .证明当证明当x x1 1时，时，f(x)f(x)g(x).g(x).(3)(3)如果如果x x1 1xx2 2，且，且f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2) )，证明，证明x x1 1+x+x2 22.2.【解题指南解题指南】由由f(x)=0f(x)=0得出可能的极值点，再列表判断；利得出可能的极值点，再列表判断；利用已知条件求出用已知条件求出y=g(x)y=g(x)的解析式，构造新函数进行证明；讨论的解析式，构造新函数进行证明；讨论x x1 1,x,x2 2的可能取值，判断其范围，再利用的可能取值，判断其范围，再利用f(x)f(
23、x)的单调性证明的单调性证明. .【规范解答规范解答】(1)f(x)=(1-x)e(1)f(x)=(1-x)e-x-x. .令令f(x)=(1-x)ef(x)=(1-x)e-x-x=0=0，得，得x=1.x=1.当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x(-,1)(-,1)1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)单调递增单调递增单调递减单调递减所以所以f(x)f(x)在区间在区间(-,1)(-,1)内是增函数，在区间内是增函数，在区间(1,+)(1,+)内是减函内是减函数数. .函数函数f(x)f
24、(x)在在x=1x=1处取得极大值处取得极大值f(1),f(1),且且(2)(2)因为函数因为函数y=g(x)y=g(x)的图象与函数的图象与函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对对称，称，所以所以g(x)=f(2-x)g(x)=f(2-x)，于是，于是g(x)=(2-x)eg(x)=(2-x)ex-2x-2. .记记F(x)=f(x)-g(x)F(x)=f(x)-g(x)，则，则F(x)=xeF(x)=xe-x-x+(x-2)e+(x-2)ex-2x-2，F(x)=(x-1)(eF(x)=(x-1)(e2x-22x-2-1)e-1)e-x-x, ,当当x x1
25、 1时，时，2x-22x-20 0，从而，从而e e2x-22x-2-1-10 0，又又e e-x-x0 0，所以，所以F(x)F(x)0 0，于是函数，于是函数F(x)F(x)在区间在区间1,+)1,+)上是上是增函数增函数. .因为因为F(1)=eF(1)=e-1-1-e-e-1-1=0=0，所以，所以，当当x x1 1时，时，F(x)F(x)F(1)=0.F(1)=0.因此因此f(x)f(x)g(x).g(x).(3)(3)若若(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)=0-1)=0，由，由(1)(1)及及f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),得得x x1 1=x=x2
26、 2, ,与与x x1 1xx2 2矛盾；矛盾；若若(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)0 0，由，由(1)(1)及及f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),得得x x1 1=x=x2 2, ,与与x x1 1xx2 2矛盾；矛盾；根据根据，可得可得(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)0.0.不妨设不妨设x x1 11,x1,x2 21.1.由由(2)(2)可知可知f(xf(x2 2) )g(xg(x2 2)=f(2-x)=f(2-x2 2) )，所以，所以f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2) )g(xg(x2 2)=f(2-x)=f(2-
27、x2 2).).因为因为x x2 21 1，所以，所以2-x2-x2 21 1，又，又x x1 11 1，由，由(1)(1)知知f(x)f(x)在区间在区间(-,1)(-,1)内是增函数，内是增函数，所以所以x x1 12-x2-x2 2，即，即x x1 1+x+x2 22.2.【反思反思感悟感悟】1.1.求函数的极值时，极易弄混极大值、极小值求函数的极值时，极易弄混极大值、极小值. .2.2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便为数形结合解题提供了方便. .导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的
28、应用【方法点睛方法点睛】1.1.导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决. .注意检注意检验结果与实际是否相符验结果与实际是否相符. .2.2.实际问题中的最值实际问题中的最值根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数的极值就是最值的极值就是最值. .【例例3 3】(2011(2011山东高考山东高考) )某企业拟某企业拟建造如
29、图所示的容器建造如图所示的容器( (不计厚度，长不计厚度，长度单位：米度单位：米) )，其中容器的中间为圆，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且立方米，且l2r.2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积假设该容器的建造费用仅与其表面积有关有关. .已知圆柱形部分每平方米建造费用为已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 3千元，半球形部千元，半球形部分每平方米建造费用为分每平方米建造费用为c(cc(c3)3)千元千元. .设该容器的建造费用为设该容器的建造费用为y y千元千元. .(1)(1)写出写出y y关于
30、关于r r的函数表达式，并求该函数的定义域；的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)(2)求该容器的建造费用最小时的求该容器的建造费用最小时的r.r.【解题指南解题指南】本题为应用题，本题为应用题，(1)(1)先求出先求出l和和r r的关系，再根据问的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.(2).(2)利用导数求函利用导数求函数的最值数的最值. .先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值出极值，再由函数的定义域求出最值. .【规范解答规范解答】(1)(1)因为容
31、器的容积为立方米，因为容器的容积为立方米，所以所以解得由于解得由于l2r,2r,因此因此0 0r2.r2.所以圆柱的侧面积为所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为两端两个半球的表面积之和为4r4r2 2, ,所以建造费用定义域为所以建造费用定义域为(0,2.(0,2.(2)(2)因为因为由于由于c3,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令yy0 0得得: :令令yy0 0得得: :当即当即 时，函数时，函数y y在在(0(0，2 2上是单调递减的，上是单调递减的，故建造费用最小时故建造费用最小时r=2.r=2.当即当即 时，函数时，函数y y在在(0(0，2 2上是先减后增上是先
32、减后增的，故建造费用最小时的，故建造费用最小时【反思反思感悟感悟】1.1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题否解决这个问题. .2.2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失分的主要原因分的主要原因. .【满分指导满分指导】函数综合题的规范解答函数综合题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011湖南高考湖南高考) )设函数设函数 (1)(1)讨论讨
33、论f(x)f(x)的单调性；的单调性；(2)(2)若若f(x)f(x)有两个极值点有两个极值点x x1 1和和x x2 2，记过，记过A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),B(x),B(x2 2,f(x,f(x2 2)的直的直线的斜率为线的斜率为k k，问：是否存在，问：是否存在a a，使得，使得k=2-ak=2-a？若存在，求出？若存在，求出a a的值，的值，若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. .【解题指南解题指南】(1)(1)对对f(x)f(x)求导，就求导，就a a的取值分类讨论；的取值分类讨论；(2)(2)假设存在假设存在a a满足条件，判断条件是否满足满足条件，判断条件
34、是否满足. .【规范解答规范解答】(1)f(x)(1)f(x)的定义域为的定义域为(0,+).(0,+). 2 2分分令令g(x)=xg(x)=x2 2-ax+1,-ax+1,其判别式其判别式=a=a2 2-4.-4.当当|a|2|a|2时，时，00，f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. .3 3分分当当a a-2-2时，时，0,g(x)=00,g(x)=0的两根都小于的两根都小于0 0，在，在(0,+)(0,+)上，上，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. .4 4分分当当a a2
35、2时，时，0,g(x)=00,g(x)=0的两根为的两根为当当0 0x xx x1 1时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x x1 1x xx x2 2时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x xx x2 2时，时，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)分别在分别在(0,x(0,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上单调递增，在上单调递增，在(x(x1 1,x,x2 2) )上单调递减上单调递减. . 6 6分分(2)(2)由由(1)(1)知，知，a a2.2.因为因为所以所以8 8分分又由又由(1)(1)知，知，x x1 1x x2 2=1.=1.于是于是若存在若存在a a，
36、使得，使得k=2-a,k=2-a,则则即即lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2=x=x1 1-x-x2 2，亦即，亦即 ()()1010分分再由再由(1)(1)知，函数知，函数 在在(0,+)(0,+)上单调递增，而上单调递增，而x x2 21 1，所以，所以这与这与(*)(*)式矛盾式矛盾. .1111分分故不存在故不存在a a，使得，使得k=2-a. k=2-a. 1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解
37、答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)利用导数判断函数单调性和求极值利用导数判断函数单调性和求极值( (或最值或最值) )不熟不熟练练, ,忽视忽视a a的值对的值对f(x)f(x)符号的影响符号的影响. .(2)(2)对存在性命题的解题方法不熟悉，不能准确、有对存在性命题的解题方法不熟悉，不能准确、有效地确定解题方法效地确定解题方法. .备备考考建建议议解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：高度关注：(1)(1)函数的定义域、单调性、最值函数的定义域、单调性、最值( (极值极值) )的求解应熟的求解应熟练掌握；练掌握；(2)(2)
38、与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能够迅速、准确地进行转化；够迅速、准确地进行转化；另外需要较强的运算能力，才能快速正确地解决一另外需要较强的运算能力，才能快速正确地解决一些函数综合问题些函数综合问题. .1.(20111.(2011湖南高考湖南高考) )设直线设直线x=tx=t与函数与函数f(x)=xf(x)=x2 2,g(x)=lnx,g(x)=lnx的图象的图象分别交于点分别交于点M M，N N，则当，则当|MN|MN|达到最小时达到最小时t t的值为的值为( )( )【解析解析】选选D.D.由题意由题意|MN|=t|MN|=t2 2-ln
39、t(t-lnt(t0)0)，不妨令，不妨令h(t)=th(t)=t2 2-lnt-lnt，则，则 令令h(t)=0h(t)=0解得解得因为因为 时，时，h(t)h(t)0 0，当，当 时，时，h(t)h(t)0 0，所以当所以当 时，时，|MN|MN|达到最小达到最小. .2.(20112.(2011江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点P P是函数是函数f(x)=ef(x)=ex x(x(x0)0)的图象上的动点，该图象在的图象上的动点，该图象在P P处的切线处的切线l交交y y轴于轴于点点M M，过点，过点P P作作l的垂线交的垂线交y y轴
40、于点轴于点N N，设线段，设线段MNMN的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为t t，则，则t t的最大值是的最大值是_._.【解析解析】设设P(xP(x0 0, ), ),则则 过点过点P P作作l的垂线的垂线, ,垂线方程为垂线方程为所以，所以，t t在在(0,1)(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1,+)(1,+)上单调递减，上单调递减，x x0 0=1=1时时, , 答案：答案：3.(20113.(2011广东高考广东高考) )函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+1+1在在x=_x=_处取得极小处取得极小值值. .【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x=3x(x-2),-6x=3x(x-2),f(x)f(x)的单调递增区间为：的单调递增区间为：(-,0)(-,0)和和(2,+),(2,+),递减区间为递减区间为(0,2),f(x)(0,2),f(x)在在x=2x=2处取得极小值处取得极小值. .答案：答案：2 2
