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1、“ “直接思路直接思路” ”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。直接找到解题的途径。【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。例 1 兄弟俩骑车出外郊游， 弟弟先出发，速度为每分钟 200 米， 弟弟出发 5 分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟 250 米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟 3
2、00 米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析（按顺向综合思路探索）：（1） 根据弟弟速度为每分钟 200 米， 出发 5 分钟的条件， 可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。（2）根据弟弟速度为每分钟 200 米，哥哥速度为每分钟 250 米，可以求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 1000 米，每分钟可追上的距离为 50 米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想
3、一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。（5）已知狗以每分钟 300 米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下图（图 2.1）表示。例 2 下面图形（图 2.2）中有多少条线段？分析（仍可用综合思路考虑）：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。（1）左端点是 A 的线段有哪些？有 AB AC AD AE AF AG 共 6 条。（2）左端点是 B 的线段有哪些？有 BC、BD、
4、BE、BF、BG 共 5 条。（3）左端点是 C 的线段有哪些？有 CD、CE、CF、CG 共 4 条。（4）左端点是 D 的线段有哪些？有 DE、DF、DG 共 3 条。（5）左端点是 E 的线段有哪些？有 EF、EG 共 2 条。（6）左端点是 F 的线段有哪些？有 FG 共 1 条。然后把这些线段加起来就是所要求的线段。【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析
5、法。例 1 两只船分别从上游的 A 地和下游的 B 地同时相向而行，水的流速为每分钟 30 米，两船在静水中的速度都是每分钟600 米，有一天，两船又分别从 A、B 两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2 倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差 60 米，求 A、B 两地间的距离。分析（用分析思路考虑）：（1）要求 A、B 两地间的距离，根据题意需要什么条件？需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。（2）要求两船的速度和，必要什么条件？两船分别的速度各是多少。 题中已告之在静水中两船都是每分钟 600 米，那么不论其水速是否改变， 其速度和均为 （600+600） 米， 这是因为顺水船速为：
6、船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2 个船速（实为船在静水中的速度）（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了 30 米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60 米，由此可知两船相遇的时间为6030=2（小时）。此分析思路可以用下图（图 2.3）表示：例 2 五环图由内径为 4，外径为 5 的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图 2.4），已知五个圆环盖住的总面积是 122.5，求每
7、个小曲边四边形的面积（圆周率取 3.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道8 个小曲边四边形的总面积，则只要用8 个曲边四边形总面积除以 8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。（2）要求 8 个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？8 个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？求出一个圆环的面积，然后乘以 5，就是五个圆环的总面积。（4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？
8、已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。圆环面积公式为：S 圆环=（R2-r2）=（Rr）（Rr）其思路可用下图（图 2.5）表示：【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用， 一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。例 1 一只桶装满 10 千克水，另外有可装 3 千克和 7 千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把 10 千克水分为 5 千克的两份？分析（用一步倒推思路考虑）：（1）逆推第一步：把10 千克水平分为 5 千克的两份，根
9、据题意，关键是要找到什么条件？因为有一只可装 3 千克水的桶，只要在另一只桶里剩 2 千克水，利用 32=5，就可以把水分成 5 千克一桶，所以关键是要先倒出一个 2 千克水。（2）按条件顺推。第一次：10 千克水倒入 7 千克桶，10 千克水桶剩 3千克水，7 千克水倒入 3 千克桶，7 千克水桶剩 4 千克水，3 千克水桶里有水 3千克；第二次：3 千克桶的水倒入 10 千克水桶，这时 10 千克水桶里有水 6 千克，把 7 千克桶里的 4 千克水倒入 3 千克水桶里，这时 7 千克水桶里剩水 1 千克，3 千克水桶里有水 3 千克；第三次：3 千克桶里的水倒入 10 千克桶里，这时 10
10、 千克桶里有水 9 千克，7 千克桶里的 1 千克水倒入 3 千克桶里，这时 7 千克桶里无水，3 千克桶里有水 1 千克；第四次：10 千克桶里的 9 千克水倒入 7千克桶里，10 千克水桶里剩下 2 千克水，7 千克桶里的水倒入 3 千克桶里（原有 1 千克水），只倒出2 千克水，7 千克桶里剩水 5 千克，3 千克桶里有水 3 千克，然后把3 千克桶里的 3 千克水倒 10 千克桶里，因为原有2 千克水，这时也正好是 5 千克水了。其思路可用下图（图 2.6 和图 2.7）表示：问题：例 2 今有长度分别为 1、2、39 厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方
11、形？分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。（2）从条件顺推。因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7 条，最多用了 9 条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+当边长为 7 厘米时，各边分别由 1+6、2+5、3+4 及 7 组成，只有一种组成方法。当边长为 8 厘米时，各边分别由 1+7、2+6、3+5 及 8 组成，也只有一种组成方法。当边长为 9 厘米时，各边分别由 1+8、2+7、3+
12、6 及 9；18、27、4+5 及 9；27、36、4+5 及 9；18、36、45 及 9；18、2+7、36 及 45 共 5 种组成方法。当边长为 10 厘米时，各边分别由 1+9、28、37 及 46 组成，也只有一种组成方法。当边长为 11 厘米时，各边分别由 2+9、 38、47 及 5+6 组成，也只有一种组成方法。将上述各种组成法相加，就是所求问题了。此题的思路图如下（图 2.8）：问题：【还原思路 】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。
13、运用还原思路解题的方法叫“还原法”。例 1 一个数加上 2，减去3，乘以4，除以5 等于 12，你猜这个数是多少？分析（用还原思路考虑）：从运算结果 12 逐步逆推，这个数没除以 5 时应等于多少？没乘以 4 时应等于多少？不减去 3 时应等于多少？不加上 2 时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案。其思路图如下（图 2.9）：条件：例 2 李白街上走， 提壶去打酒； 遇店加一倍， 见花喝一斗， 三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？分析（用还原思路探索）：李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题。题意是：李白提壶上
14、街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒1 斗。这样他遇店、见花经过3 次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多少？下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。见花前有 1 斗酒。第三次：见花后壶中酒全喝光。第三次：遇店前壶中有酒半斗。第一次：见花前壶中有酒为第二次遇店前的再加 1 斗。遇店前壶中有酒为第一次见花前的一半。其思路图如下【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能
15、用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。例 1 中山百货商店，委托运输队包运1000 只花瓶，议定每只花瓶运费0.4 元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失 5.1 元。结果运输队获得运费 382.5 元。问：损坏了花瓶多少只？分析（用假设思路考虑）：（1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？0.41000=400（元）。（2）而实际只有 383.5 元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1 元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该
16、是多少元？0.45.1=5.5（元）（3）总差额中含有一个 5.5 元，就损坏了一只花瓶，含有几个 5.5 元，就是损坏了几只花瓶。由此便可求得本题的答案。例 2 有 100 名学生在车站准备乘车去离车站 600 米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆 45 分钟以后，再去离纪念馆 900 米的公园搞活动。现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟 300 米和 150 米，而中巴和大巴分别可乘坐 10 人和 25 人， 问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？分析（用假设思路思索）；假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（ 600900）米。把在最后 1 人到达纪念馆后停留 45
17、 分钟，假设为在公园停留 45 分钟，则问题将大大简化。（1） 从车站经烈士纪念馆到达公园， 中巴、 大巴往返一次各要多少时间？中巴：（600+900）3002=10（分钟）大巴：（600+900）1502=20（分钟）（2）中巴和大巴在 20 分钟内共可运多少人？中巴每次可坐 10 人，往返一次要 10 分钟，故 20 分钟可运 20 人。大巴每次可坐 25 人，往返一次要 20 分钟，故 20 分钟可运 25 人。所以在 20 分钟内中巴、大巴共运 45 人。（3）中巴和大巴 20 分钟可运 45 人，那么 40 分钟就可运 452=90（人），100 人运走 90 人还剩下 10 人，还
18、需中巴再花 10 分钟运一次就够了。（4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90 人所需的时间，运10 人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。【消去思路 】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化， 进而消去一个未知数， 使数量关系化繁为简， 这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。例 1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了 6 小时，师傅做了 8 小时，一共做了 312 个零件，徒弟 5 小时的工作量等于师傅 2 小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？分析（用消去思路考虑）：这里有师、徒
19、每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为 1 份， 把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替， 那么师傅 8 小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅 2 小时的工作量相当于徒弟 5 小时的工作量，那么 8 小时里有几个 2 小时就是几个 5 小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看 312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。例 2 小明买 2 本练习本、2 枝铅笔、2 块橡皮，共用0.36 元，小军买4本练习
20、本、 3 枝铅笔、 2 块橡皮， 共用去 0.60 元， 小庆买 5 本练习本、 4 枝铅笔、2 块橡皮，共用去 0.75 元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？分析（用消去法思考）：这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍， 使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：小明 2 本 2 枝 2 块 0.36 元小军 4 本 3 枝 2
21、 块 0.60 元小庆 5 本 4 枝 2 块 0.75 元现在把小明的各数分别除以 2，可得到 1 本练习本、1 枝铅笔、1 块橡皮共 0.18 元。接着用小庆的各数减去小军的各数， 得1本练习本、 1枝铅笔为0.15元。再把小明各数除以 2 所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到 1 块橡皮 0.03 元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问题， 这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。各养兔多少只？分析（用转化思路思索）：题中数量关系比较复杂，两个分率
22、的标准量不同，为了简化数量关系，只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-163=52（只）分析（用转化思路分析）：本题求和，题中每个分数的分子都是 1，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式。然后再相加，抵消中间的各个分数即可。【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。例
23、1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6 下，5 秒钟敲完；钟敲 12 下，几秒敲完？分析（用类比思路探讨）：有人会盲目地由倍数关系下结沦， 误认为 10 秒钟敲完， 那就完全错了。其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（ n-1）棵树，如果包括两个端点， 共需植树 （n1） 棵， 把钟点指数看作是一棵棵的树， 把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。例 2 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。分析（用类比思路讨论）：本题可以与行程问题进行类比。如图 2.11，如果用时针 1 小时所
24、走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距 4 格，分如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。4 为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。【分类思路 】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决， 这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。例 1 如图 2.12，共有多少个三角形？分析（用分类思路考虑）：这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数， 再相加就是总数了。本题根据条件
25、，可以分为五类（如图 2.13）。例 2 如图 2.14， 象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？分析（运用分类思路分析）：小卒过河后，首先到达A 点，因此，题目实际上是问：从A 点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路。因为“将”直接相通的是 P 点和 K 点，所以要求从 A 点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从 A 到 P 和从 A 到 K 各有多少种走法。分类。一种走法：A 到 B、C、D、E、F、G 都是各有一种走法。二种走法：从 A 到 H 有两种走法。三种走法：从 A 到 M 及从 A 到 I 各有三种走
26、法。其他各类的走法： 因为从 A 到 M、到 I 各有 3 种走法， 所以从 A 到 N 就有 336 种走法了，因为从 A 到 I 有 3 种走法，从 A 到 D 有 1 种走法，所以从 A 到 J 就有 31=4 种走法了；P 与 N、J 相邻，而A 到 N 有 6 种走法，A 到J 有 4 种走法，所以从A 到 P 就有 6+4=10 种走法了；同理K 与 J、E 相邻，而A 到 J 有 4 种走法，到 E 有 1 种走法，所以 A 到 K 就有 4+1=5 种走法。再求从 A 到“将”处共有多少种走法就非常容易了。【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出
27、数量之间的内在联系，求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化， 促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。例1 如图2.15的正方形边长是6厘米， 甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大 6 平方厘米，求 CE 长多少厘米？分析（用等量代换思路思考）：按一般思路，要求 CE 的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。用等量代换思路，我们可以求出三角形 ABE 的面积，从而求出 CE 的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：已知 乙=甲+6丙+甲=66=36用甲+6 代换乙，可得丙
28、+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形 ABE 的面积等于 42 平方厘米，这样，再来求CE 的长就简单了。例 2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？分析（用等量代换的思路来探讨）：这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。出现了下面这个等式。第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子） （这里指的棋子数）份，则第二堆（全部黑子）为 3 份，这样就出现了每堆棋子为 3 份，3 堆棋子的总份数自然就出来了。而第三堆黑子占了2 份，白子自然就只有32=
29、1 份了。第一堆换成了全部白子， 所以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。【对应思路 】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几， 这种关系叫做对应关系。 找对应关系的思路，我们把它叫做对应思路。例 1 有一块菜地和一块麦地， 菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是91 公亩，麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84 公亩，那么，菜地是几公亩？分析（用对应思路分析）：这是一道复杂的分数应用题， 我们不妨用对应思路去思索。 如能找出 91公亩、84 公亩的对应分率，此题就比较容易解决了。但题中有对应分率两个，究竟
30、相当于总公亩数的几分之几呢？这是解题的关键。而我们一时还弄不清楚，现将条件排列起来寻找。求出总公亩数后，我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数。但我们把条件稍作组合，就可以求出分析到这一步，那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了。例 2 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时，要排完一池水，单开乙管顺序，循环各开水管，每次每管开一小时，问多少时间后水开始溢出水池？分析（用对应思路考虑）：本题数量关系复杂，但仍属分数应用题，所以仍可用对应思路寻找解题途径。首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几，乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几，然后才能计算。通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开 1 小时，共开 4 小时，池内灌进的水是全池的：也就是 20 小时以后，池内有水总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗？
