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1、第第4章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(1)n n4-1 材料力学相关问题材料力学相关问题 n n4-2 轴向拉轴向拉(压压)杆内力和轴力图杆内力和轴力图n n4-3 轴向拉轴向拉(压压)杆应力杆应力n n4-4 轴向拉轴向拉(压压)变形计算变形计算1 1a a 材料力学的任务材料力学的任务 在生产实际中，各种机械和工程在生产实际中，各种机械和工程结构得到广泛应用。组成机械的零结构得到广泛应用。组成机械的零件和结构的元件，统称为构件。件和结构的元件，统称为构件。 前一章，将物体视为刚体。事实前一章，将物体视为刚体。事实上，总有变形发生，还可能破坏。上，总有变形发生，还可能破坏。举两个例子举两
2、个例子4-1 材料力学相关问题材料力学相关问题2 2 简易压力机横梁、连杆受力可能破坏简易压力机横梁、连杆受力可能破坏横梁横梁轴销轴销活塞杆活塞杆气缸气缸连杆连杆上平台上平台工件工件下平台下平台3 3变速器传动轴受力变形、工作失稳变速器传动轴受力变形、工作失稳齿轮齿轮传动轴传动轴4 4n n 构件应具备足够的构件应具备足够的强度（即抵抗破坏的（即抵抗破坏的能力），以保证在规定的使用条件下不致能力），以保证在规定的使用条件下不致发生破坏。发生破坏。n n 构件应具备足够的构件应具备足够的刚度（即抵抗变形的（即抵抗变形的能力），以保证在规定的使用条件下不产能力），以保证在规定的使用条件下不产生过分
3、的变形。生过分的变形。n n 构件应具备足够的构件应具备足够的稳定性（即维持其原（即维持其原有平衡形式的能力），以保证在规定的使有平衡形式的能力），以保证在规定的使用条件下不产生失稳现象。用条件下不产生失稳现象。5 5 由上述三项构件安全工作的基本要求可由上述三项构件安全工作的基本要求可以看出：如何合理的选用材料（既安全又经以看出：如何合理的选用材料（既安全又经济）、如何恰当的确定构件的截面形状和尺济）、如何恰当的确定构件的截面形状和尺寸，便成为构件设计中十分重要的问题。寸，便成为构件设计中十分重要的问题。 材料力学的主要任务是：研究构件在外材料力学的主要任务是：研究构件在外力作用下的变形、受
4、力和破坏规律，为合理力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。的基本理论和方法。6 6b b 基本假设基本假设本章讨论的研究对象是变形体本章讨论的研究对象是变形体本章讨论的研究对象是变形体本章讨论的研究对象是变形体 。变形与材料有关。变形与材料有关。变形与材料有关。变形与材料有关。为研究方便，采用下述假设：为研究方便，采用下述假设：为研究方便，采用下述假设：为研究方便，采用下述假设：材料沿各不同方向均具有相同的力学性质材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为这样的材料称为各向同性材料各向同性
5、材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。2) 2) 2) 2) 各向同性假设各向同性假设 物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是是均匀均匀、连续的连续的，且任何部分都具有相同的性质且任何部分都具有相同的性质。 变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须满足几何协调（相容）条件。可取任一部分研究。1)1)1)1) 均匀连续性假设均匀连续性假设7 73) 小变形假设小变形假设 相对于其原有尺寸而言，变形相对于其原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响可以忽略不计后尺寸改变的影响可以忽略不计。 在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大的误差。 上述假设，建
6、立了一个上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的最简单的可变形固体的最简单的可变形固体的最简单的可变形固体的理想化模型理想化模型理想化模型理想化模型。 随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。 如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等题，含缺陷或裂隙等不连续介
7、质的问题等等题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等。 基于此，固体力学研究的基于此，固体力学研究的基于此，固体力学研究的基于此，固体力学研究的最基本问题最基本问题最基本问题最基本问题是：是：是：是：均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。BCDD8 8C C 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式# 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩# 剪切与挤压剪切与挤压# 扭转扭转# 弯曲弯曲9 9（1）轴向拉伸和压缩）轴向拉伸和压缩拉伸拉伸变细变长变细变长压缩压缩变短变粗变短变粗拉力与压力都是沿杆的轴线方向拉力与压力都是沿杆的轴线方向1010（2）剪切和挤压）剪切和挤压剪切
8、变形剪切变形挤压变形挤压变形剪切变形剪切变形1111（3）扭转）扭转MeMeg gj j（4）弯曲）弯曲MeMe1212a a 内力与截面法内力与截面法 物体内部某一部分与物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力相邻部分间的相互作用力。 必须截开物体，内力才能显示。必须截开物体，内力才能显示。 内力分布在截面上。向截面形心简化，内内力分布在截面上。向截面形心简化，内内力分布在截面上。向截面形心简化，内内力分布在截面上。向截面形心简化，内力一般可表示为六个，由平衡方程确定力一般可表示为六个，由平衡方程确定力一般可表示为六个，由平衡方程确定力一般可表示为六个，由平衡方程确定。 处于平衡状态的物体
9、处于平衡状态的物体处于平衡状态的物体处于平衡状态的物体，其任其任其任其任一部分也必然处于平衡状态一部分也必然处于平衡状态一部分也必然处于平衡状态一部分也必然处于平衡状态。内力内力内力内力: : : : 沿沿C C截面将物体截开，截面将物体截开，A A部分在部分在外力作用下能保持平衡，是因为受外力作用下能保持平衡，是因为受到到B B部分的约束。部分的约束。B B限制了限制了A A部分物体在空间中相对于部分物体在空间中相对于 B B的任何运动的任何运动( (截面有三个反力、三个反力偶截面有三个反力、三个反力偶) )。MMF F1 1F F2 2F F3 3BAACF Fx xMMx xF Fy y
10、F Fz zMMy yMMz zF F1 1F F2 24-2 拉压杆内力和轴力图拉压杆内力和轴力图1313 若外力在同一平面内，截面内若外力在同一平面内，截面内若外力在同一平面内，截面内若外力在同一平面内，截面内力只有三个分量，即力只有三个分量，即力只有三个分量，即力只有三个分量，即: : : :CC取截面左端研究，截面在研究对象右端，则规定：内力 右截面正向 左截面正向 微段变形（正）内力的符号规定内力的符号规定内力的符号规定内力的符号规定 轴力轴力轴力轴力 F FN N 作用于截面法向。作用于截面法向。作用于截面法向。作用于截面法向。 剪力剪力剪力剪力 F FQQ 作用于截面切向。作用于
11、截面切向。作用于截面切向。作用于截面切向。 弯矩弯矩弯矩弯矩 MM 使物体发生弯曲。使物体发生弯曲。使物体发生弯曲。使物体发生弯曲。 若外力在轴线上若外力在轴线上若外力在轴线上若外力在轴线上, , , ,内力只有轴力内力只有轴力内力只有轴力内力只有轴力。F FN NMMF FQQF FN N受拉伸FN顺时针错动FQ向上凹M1414截面法截面法无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的的的的截面内力截面内力截面内力截面内力。因为，二部分上作用的内力互为作用。因为
12、，二部分上作用的内力互为作用。因为，二部分上作用的内力互为作用。因为，二部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的力与反作用力。适当的力与反作用力。适当的力与反作用力。适当的符号符号符号符号规定可保证其一致性。规定可保证其一致性。规定可保证其一致性。规定可保证其一致性。 用假想截面将物体截开用假想截面将物体截开用假想截面将物体截开用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程揭示并由平衡方程揭示并由平衡方程揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法确定截面上内力的方法确定截面上内力的方法确定截面上内力的方法。 截面法求解内力的步骤为：截面法求解内力的步骤为：截面法求解内力的步骤为：截面法求解内力的步骤为：
13、求约求约求约求约束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究对象对象对象对象受力图，受力图，受力图，受力图，内力按正内力按正内力按正内力按正向假设。向假设。向假设。向假设。列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程求解内力，求解内力，求解内力，求解内力，负号表示与负号表示与负号表示与负号表示与假设反向假设反向假设反向假设反向注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。
14、力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。1515截面法求内力举例：截面法求内力举例：求杆求杆AB段和段和BC段的内力段的内力ABC2PPP11222PN1N22PP1616b、轴力与轴力图、轴力与轴力图拉压杆的内力称为轴力，用拉压杆的内力称为轴力，用 N 表示表示轴力沿横截面的分布图称为轴力图轴力沿横截面的分布图称为轴力图1717N |N|max=100kN+- -150kN100kN50kNNII= - -100kN100kNIIIINIIIIIIII50kN100kNNI=50kNINII50kN18184-3 4-3 轴向拉轴向拉( (压压) )杆
15、应力杆应力1、应力的概念、应力的概念为了描写内力的分布规律，我们将为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力单位面积的内力称为应力。在某个截面上，在某个截面上，与该截面垂直的应力称为与该截面垂直的应力称为正应力正应力。与该截面平行的应力称为与该截面平行的应力称为剪应力剪应力。应力的单位：应力的单位：Pa工程上经常采用兆帕（工程上经常采用兆帕（MPa）作单位）作单位19192、拉压杆横截面上的应力、拉压杆横截面上的应力杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规
16、律我们可以做一个实验我们可以做一个实验PPPP说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横截面上每一点的伸长量是相同的说横截面上每一点的伸长量是相同的2020PN如果杆的横截面积为：如果杆的横截面积为：A根据前面的实验，我么可以得出结论，即横截面根据前面的实验，我么可以得出结论，即横截面上每一点存在相同的拉力上每一点存在相同的拉力21215kN |N|max=5kNN2kN1kN1kN+- -f f20f f10f f302kN4kN6kN3kN113322做轴力图并求各个截面应力做轴力图并求各个截面应力2222f f20f f10f f302kN4kN6k
17、N3kN2323拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力PPmm 为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想地用截面地用截面 m-m 将杆分成两部分。并将右半部分去掉。将杆分成两部分。并将右半部分去掉。 该截面的外法线用该截面的外法线用 n 表示，表示，n法线与轴线的夹角为：法线与轴线的夹角为： 根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截面上各点受力也相同。面上各点受力也相同。p设杆的横截面面积为设杆的横截面面积为A，A则斜截面面积为：则斜截面面积为：由杆左段的平衡方程由杆左段的平衡
18、方程这是斜截面上与这是斜截面上与轴线平行的应力轴线平行的应力2424npP下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力斜截面的外法线仍然为斜截面的外法线仍然为 n，斜截面的切线设为斜截面的切线设为 t 。 t根据定义，根据定义，沿法线方向的应力为正应力沿法线方向的应力为正应力沿切线方向的应力为剪应力沿切线方向的应力为剪应力利用投影关系，利用投影关系，为横截面正应力为横截面正应力25254-4 4-4 轴向拉轴向拉( (压压) )变形计算变形计算细长杆受拉会变长变细，细长杆受拉会变长变细，受压会变短变粗受压会变短变粗dLPPd-D DdL+D DL
19、长短的变化，沿轴线方向，称为长短的变化，沿轴线方向，称为纵向变形纵向变形粗细的变化，与轴线垂直，称为粗细的变化，与轴线垂直，称为横向变形横向变形2626PPPP1、纵向变形、纵向变形实验表明实验表明变形和拉力成正比变形和拉力成正比引入比例系数引入比例系数E，又拉压杆的轴力等于拉力，又拉压杆的轴力等于拉力2727E 体现了材料的性质，体现了材料的性质，称为材料的称为材料的拉伸弹性模量拉伸弹性模量，单位与应力相同单位与应力相同称为胡克（虎克）定律称为胡克（虎克）定律显然，纵向变形与显然，纵向变形与E 成反比，也与横截面积成反比，也与横截面积A 成反比成反比EA 称为抗拉刚度称为抗拉刚度为了说明变形的程度，令为了说明变形的程度，令称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩短为负号短为负号2828也称为胡克定律也称为胡克定律称为胡克（虎克）定律称为胡克（虎克）定律29292、横向变形、横向变形PPPP同理，令同理，令为横向线应变为横向线应变实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：3030称为泊松比，是一个材料常数称为泊松比，是一个材料常数负号表示纵向与横向负号表示纵向与横向变形的方向相反变形的方向相反最重要的两个材料弹性常数，可查表最重要的两个材料弹性常数，可查表3131
