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1、第二节第二节 命题及其关系、充分条命题及其关系、充分条件与必要条件件与必要条件第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件四种命题关系及真假的判定四种命题关系及真假的判定 若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2bxc0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假 四种命题关系及真假的判定 若a、b、cR，写出命题“若ac分析认清命题的条件p：ac0和结论q：b24ac0，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题根据方程ax2bxc0有两个不相等的实数根的条件，得b24ac0，根据不等式ac0和不等式b24ac0的关系，判断三个命题的真假分析认清命题的条件p：ac0和
2、结论q：b24ac解逆命题：若ax2bxc0(a、b、cR)有两个不相等的实数根，则ac0，是假命题如当a1，b3，c2时，方程x23x20有两个不等实根x11，x22，但ac20.否命题：若ac0，则方程ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根，是假命题因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题逆否命题：若ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根，则ac0，是真命题因为原命题是真命题，它与原命题等价解逆命题：若ax2bxc0(a、b、cR)有两个不规律总结由一个命题可以写出其他三种形式的命题，其关键是认清原命题的条件和结论，严格按照逆命题、否命题、逆否命题的形式定义
3、依次写出判断命题的真假，需要依据相关的定义、公式、定理和结论等知识当然，有些命题间有“同真假关联性”，也可以作为判断的依据 规律总结由一个命题可以写出其他三种形式的命题，其关键是认清变式训练1 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断命题的真假(1)若x2y20，则x、y全为0；(2)若ab是偶数，则a、b都是偶数；(3)若x3或x7，则(x3)(x7)0.变式训练1 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，【解析】因为原命题是“若p，则q”的形式，根据其他三种命题的构造方法，分别写出逆命题、否命题、逆否命题(1)逆命题：若x、y全为0，则x2y20，命题为真；否命题：若x2y20，则x
4、、y不全为0，命题为真；逆否命题：若x、y不全为0，则x2y20，命题为真(2)逆命题：若a、b都是偶数，则ab是偶数，命题为真；否命题：若ab不是偶数，则a、b不都是偶数，命题为真；逆否命题：若a、b不都是偶数，则ab不是偶数，命题为假(3)逆命题：若(x3)(x7)0，则x3或x7，命题为真；否命题：若x3且x7，则(x3)(x7)0，命题为真；逆否命题：若(x3)(x7)0，则x3且x7，命题为真【解析】因为原命题是“若p，则q”的形式，根据其他三种命题充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件
5、”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sinAsinB；(2)对于实数x，y，p：xy8，q：x2或y6；(3)在ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(4)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0. 充分条件与必要条件的判定 指出下列各组命题中，p是q的什么条分析在上述题目中，给出了四个小题各小题内容涉及三角函数、不等式和方程的许多知识首先认定条件和结论，再利用相关知识判断命题的真假，进一步判断p和q的关系分析在上述题目中，给出了四个小题各小题内容涉及三角函数、解(1)在ABC中，由正弦定理 = ，故sinAsinBa
6、b，又由abAB，所以sinAsinBAB，即p是q的充要条件(2)因为命题“若x2且y6，则xy8”是真命题，故pq；命题“若xy8，则x2且y6”是假命题，故q不能推出p.所以p是q的充分不必要条件(3)取A120，B30，p不能推出q；取A30，B120，q不能推出p 所以p是q的既不充分也不必要条件(4)因为P(1,2)，Q(x，y)|x1或y2，PQ.所以p是q的充分不必要条件解(1)在ABC中，由正弦定理 = 规律总结在充要条件的判断中，首先搞清哪个是命题的条件，哪个是命题的结论，准确理解充分性和必要性的含义常用的判断方法有：定义法直接判断；利用逆否命题的等价性转化然后判断，特别是
7、条件和结论都是从否定形式给出时，更有必要；利用集合间的包含关系，转化后再判断总之，要注意恰当利用两个条件的特点，采取适当的方法判断规律总结在充要条件的判断中，首先搞清哪个是命题的条件，哪个变式训练 (1)是否存在实数m，使得2xm0是x22x30的充分条件；(2)是否存在实数m，使得2xm0是x22x30的必要条件 变式训练 (1)是否存在实数m，使得2xm0是x【解析】(1)欲使2xm0是x22x30的充分条件，只要 x|x1或x3，则只要 1，即m2.故存在实数m2，使2xm0是x22x30的充分条件(2)欲使2xm0是x22x30的必要条件， 则只要 x|x1或x3 故不存在实数m，使2
8、xm0是x22x30的必要条件【解析】(1)欲使2xm0是x22x30的充分条充分必要条件的证明充分必要条件的证明 求证：关于x的方程ax2bxc0有一根为1的充分必要条件是abc0.分析分两个步骤完成，即必要性和充分性分别证明充分性、条件：abc0，结论：ax2bxc0有一根为1；必要性、条件：ax2bxc0有一根为1，结论：abc0.充分必要条件的证明 求证：关于x的方程ax2bxc0有证明必要性，即“若x1是方程ax2bxc0的根，则abc0”x1是方程的根，将x1代入方程，得a12b1c0，即abc0.结论成立充分性，即“若abc0，则x1是方程ax2bxc0的根”abca12b1c0
9、，x1是方程ax2bxc0的根综合知命题成立证明必要性，即“若x1是方程ax2bxc0的根，规律总结充要条件证明的关键是：根据定义确定哪个是已知条件，哪个是结论；再去确定充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题证明的过程实质上是两个互逆的推理过程证明的方式有时可以直接证明，有时转化后再证明规律总结充要条件证明的关键是：根据定义确定哪个是已知条件，变式训练3 求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2. 变式训练3 求证：关于x的方程x2mx10【证明】充分性：m2，m240，方程x2mx10有实根设x2mx10的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x210，x1、
10、x2同号又x1x2m2，x1、x2同为负根必要性：x2mx10的两个实根x1、x2均为负，且x1x21，m2(x1x2)2 2 0，m2.综合知命题得证【证明】充分性：m2，m240，反证法的应用反证法的应用 用反证法证明：设三个正实数a、b、c满足条件 2，求证：a、b、c中至少有两个不小于1. 反证法的应用 用反证法证明：设三个正实数a、b、c满足条件 分析用反证法证题时，首先对结论进行否定，即“a，b，c中至多有一个不小于1”共有两种情况：“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”由此作为基础，推出矛盾分析用反证法证题时，首先对结论进行否定，即“a，b，c中至证明假设a，b
11、，c中至多有一个不小于1，这包含下面两种情况：a、b、c三数均小于1，即0a1,0b1,0c3，与已知条件矛盾a、b、c中有两数小于1，设0a1,0b2 2，也与已知条件矛盾假设不成立，a、b、c中至少有两个不小于1.证明假设a，b，c中至多有一个不小于1，这包含下面两种情况规律总结反证法有两种情形：其一，利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为易判断真假的逆否命题(尤其是对否定语句的命题)，充分利用等价转化的思想方法，此时证明的命题为原命题的逆否命题其二，假设结论不成立，利用已知条件，推出与已知或已知定理相矛盾的结论，此时证明的命题不再是原命题的否命题总之，不论哪种
12、情形的反证法，正确的反设，是正确运用反证法的前提规律总结反证法有两种情形：其一，利用互为逆否的两个命题同真变式训练4 已知a、b、c是互不相等的非零实数求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根变式训练4 已知a、b、c是互不相等的非零实数【证明】(反证法)假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.上述三个不等式两边分别相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.由题意a、b、c互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根【
13、证明】(反证法)假设三个方程中都没有两个相异实根，1否命题是将原命题的条件否定后作条件，将原命题的结论否定后作结论得到的命题写否命题最容易出现错误，学习中要注意掌握以下常见词语和其否定词语.注：在实数范围内，“不大于”就是“”，“不小于”就是“”1否命题是将原命题的条件否定后作条件，将原命题的结论否定后2对于不是“若p，则q”型的命题，先将命题改写为“若p，则q”的形式，才能写出命题的逆命题、否命题和逆否命题，凡是不能写成“若p，则q”形式的命题，是没有所谓的逆命题、否命题和逆否命题的3互为逆否命题的真假性是一致的(这是反证法的理论基础)，互逆命题和互否命题的真假性没有关系2对于不是“若p，则
14、q”型的命题，先将命题改写为“若p，则4充分、必要条件的判断方法(1)定义法p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件(2)集合法若AB，则“xA”是“xB”的充分条件4充分、必要条件的判断方法5用反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确6适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身以否定形式出现的命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题5用反证法证明问题的一般步骤若p：x22x30，q： 0，则 的什么条件？ 若p：x22x30，q： 错解 ：x22x301x3， ： 02x3， 的既不充分也不必要条件错解 ：x22x301x3，错解分析上述解法的错误在于对命题的否定的概念理解错误，误认为 ： 0.事实上，当x2x60也属于 的一部分，这样导致了不等价变换错解分析上述解法的错误在于对命题的否定的概念理解错误，误认正解p：x22x30x1或x3， ：1x3.q： 0x2或x3， ：2x3. ，但 ， 是 的充分不必要条件 正解p：x22x30x1或x3，
