《数学分析函数列与函数项级数104幂级数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析函数列与函数项级数104幂级数课件（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2008022310.4 10.4 幂级数幂级数数学分析函数列与函数项级数104幂级数一、幂级数的收敛性一、幂级数的收敛性1.Abel1.Abel定理：定理：数学分析函数列与函数项级数104幂级数证明：证明： 若不然，若不然，由由知，知，矛盾！矛盾！数学分析函数列与函数项级数104幂级数定理的意义：定理的意义：发散发散 绝对收敛绝对收敛 发散发散数学分析函数列与函数项级数104幂级数定理定理2.2.（幂级数收敛特性）（幂级数收敛特性）数学分析函数列与函数项级数104幂级数2.2.收敛半径与收敛区间收敛半径与收敛区间定义：定义：定理定理3 3：收敛半径公式收敛半径公式Cauchy-Hadamar
2、d 数学分析函数列与函数项级数104幂级数证明：证明：由比值法由比值法数学分析函数列与函数项级数104幂级数数学分析函数列与函数项级数104幂级数例例1.1. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域解：解：收敛区间为（收敛区间为（-3,3-3,3）故收敛域为故收敛域为-3,3-3,3）或者：或者：数学分析函数列与函数项级数104幂级数解：解：故收敛域为（故收敛域为（-，+）解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数故收敛区间为（故收敛区间为（2/32/3，4/34/3）故收敛域为故收敛域为2/32/3，4/34/3）数学分析函数列与函数项级数104幂级数（缺项）（缺项）解法解法1 1：解
3、法解法2 2：故收敛区间（故收敛区间（-2,2-2,2）数学分析函数列与函数项级数104幂级数解法解法3 3：直接使用比值判别法直接使用比值判别法故收敛区间为（故收敛区间为（-2,2-2,2）故收敛域为故收敛域为-2,2-2,2数学分析函数列与函数项级数104幂级数当当幂级数数为缺缺项情形情形 1. 用用Cauchy-Hadamard公式公式, 辨清辨清 2. 用比用比值审敛法或根法或根值审敛法及法及幂级数收数收敛 域的域的结构特点来求构特点来求. 3. 先利用先利用变量代量代换化化为非缺非缺项情形后再用公情形后再用公 式求收式求收敛半径及收半径及收敛区区间, 之后再通之后再通过逆逆 代代换求
4、出原求出原幂级数的收数的收敛区区间及收及收敛半径半径.数学分析函数列与函数项级数104幂级数二、幂级数的性质二、幂级数的性质1. 1. 代数性质代数性质数学分析函数列与函数项级数104幂级数2.2.内闭一致收敛性内闭一致收敛性定理定理4 4：内的任何闭子区间内的任何闭子区间上上一致收敛一致收敛. .则在则在证明：证明：数学分析函数列与函数项级数104幂级数3.3.分析性质分析性质-连续、可导、可积连续、可导、可积设幂级数数的收的收敛半径半径为若若收收敛, 则若若收收敛, 则(Abel(Abel第二定理第二定理) )定理定理5 5：数学分析函数列与函数项级数104幂级数注注:1. :1. 更精确
5、的说更精确的说, , 是在是在收敛域收敛域内连续内连续但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“坏坏”, , 但不可能变但不可能变“好好”. .2.2.定理定理6 6：数学分析函数列与函数项级数104幂级数积分后幂级数积分后幂级数收敛半径不变收敛半径不变, ,定理定理7 7：但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“好好”, , 但不可能变但不可能变“坏坏”. .注注: :数学分析函数列与函数项级数104幂级数三、函数展开成幂级数三、函数展开成幂级数 如果如果能展开成幂级数，即能展开成幂级数，即必有：必
6、有：（泰勒级数）（泰勒级数）由此说明：由此说明：展开成幂级数是唯一的展开成幂级数是唯一的数学分析函数列与函数项级数104幂级数如果如果有任意阶导数，即有任意阶导数，即形式上：形式上：记为：记为：既收敛且等式成立时称为能展开既收敛且等式成立时称为能展开问题：问题：均有反例均有反例, ,教材教材P427.P427.数学分析函数列与函数项级数104幂级数定理定理8 8：证明证明：由由Taylor展开：展开：数学分析函数列与函数项级数104幂级数推论：推论：数学分析函数列与函数项级数104幂级数证明：证明：数学分析函数列与函数项级数104幂级数幂幂级级数数展展开开数学分析函数列与函数项级数104幂级数
7、例例1.1.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数故可展成幂级数故可展成幂级数例例2.2.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数解：解：例例3.3.数学分析函数列与函数项级数104幂级数例例4.4.解：解： 略去略去! !数学分析函数列与函数项级数104幂级数考虑端点考虑端点, ,可知下式成立范围与可知下式成立范围与 有关有关数学分析函数列与函数项级数104幂级数数学分析函数列与函数项级数104幂级数例例5.5.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数例例6.6.例例7.7.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数解：解：例例8.8.数学分析函数列与函数项级数104
8、幂级数例例9.9.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数例例10.10.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数四、幂级数应用四、幂级数应用1.1.求和求和四则运算（变形）、逐项求导、逐项求积四则运算（变形）、逐项求导、逐项求积例例1.1.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数解：解：求导：求导：再求导：再求导：例例3.3.例例2.2.数学分析函数列与函数项级数104幂级数解：解：求导求导数学分析函数列与函数项级数104幂级数例例4.4.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数数学分析函数列与函数项级数104幂级数2.2.近似计算（略）近似计算（略）例例5.5.解：解：数学分析函数列与函数项级数104幂级数作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题8.3幂级数幂级数 1、1), 2), 3), 4); 2、 1), 2), 3); 4; 5; 6、4), 5), 6); 7、1), 2); 8、2), 4);数学分析函数列与函数项级数104幂级数
