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1、二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课函数与极限函数与极限 第一章 一、一、 函数函数1. 概念定义定义: 定义域 值域图形图形:( 一般为曲线 )设函数为特殊的映射:其中2. 特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数设函数为单射, 反函数为其逆映射4. 复合函数给定函数链则复合函数为5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.思考与练习思考与练习1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? 相同相同相同相同相同相同2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?不是不是是是不是不
2、是提示提示: (2)3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?以上各函数都是初等函数 .4. 设求及其定义域 .5. 已知, 求6. 设求由得4. 解解:5. 已知, 求解解:6. 设求解解:解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .代入原方程得代入上式得设其中，求令即即令即画线三式联立即例例1.二、二、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式有2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质例例2. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:
3、有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点, 所以为可去间断点 ,极限存在例例3. 设函数试确定常数 a 及 b .例例4. 设 f (x) 定义在区间上 , 若 f (x) 在连续,提示提示:阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6证证:P74 题题*6. 证明: 若 令则给定当时, 有又根据有界性定理, 使取则在内连续,存在, 则必在内有界.上连续 , 且恒为正 ,例例5. 设在对任意的必存在一点证证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即证明:即 上连续, 且 a c d b ,例例6. 设在必有一点证证:
4、使即由介值定理,证明:故 即 三、三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )(即 为无穷小)有2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 5. 求极限的基本方法 或注注: 代表相同的表达式例例7. 求下列极限：提示提示: 无穷小有界令则有复习复习: 若例例8. 确定常数 a , b , 使解解: 原式可变形为故于是而例例9. 当时,是的几阶无穷小?解解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则因故阅读与练习阅读与练习1. 求的间断点, 并判别其类型.解解: x = 1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点 2. 求解解:原式 = 1 (2000考研)注意此项含绝对值 作业作业 P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 133. 求解解: 令则利用夹逼准则可知
