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1、第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第二章第二章 方程方程(组组)与不等式与不等式(组组)第二节第二节 一元二次方程一元二次方程考点一考点一中招考点清单一元二次方程的概念一元二次方程的概念1.一元二次方程一元二次方程：只含有：只含有_个未知数，并且未知数的个未知数，并且未知数的 最高次数是最高次数是_的整式方程叫做一元二次方程的整式方程叫做一元二次方程.2. 一元二次方程必须具备三个条件一元二次方程必须具备三个条件： (1)必须是必须是_方程；方程；1. (2)必须只含有必须只含有_未知数；未知数； (3)所含未知数的最高次数是所含未知数的最高次数是_.一一2整式整式一个一个2考点二考点
2、二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法直接开直接开平方法平方法形如形如x2=a(a0)或或(x-b)2=a(a0)的一元二次方程，就可用直接的一元二次方程，就可用直接开平方的方法开平方的方法配方法配方法用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的一般步骤是：的一般步骤是：(1)化二次项系数为化二次项系数为1，即方程两边同时除以即方程两边同时除以_(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)化原方程为化原方程为(x
3、+m)2n的形式的形式；(5)如果如果n0，用直接开平方法求，如果用直接开平方法求，如果n0，则原方程则原方程_二次项系数二次项系数a无解无解公式法公式法 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是的求根公式是 _因式因式分解分解法法 因式分解法的一般步骤是因式分解法的一般步骤是： (1)将方程的右边化为将方程的右边化为_； (2)将方程的左边化成两个一次因式的积将方程的左边化成两个一次因式的积； (3)令每个因式都等于令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二 次
4、方程的解次方程的解0考点三考点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式(2011版新课标新增版新课标新增 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根的判别式为的根的判别式为 b2-4ac. (1)b2-4ac0 一元二次方程有两个一元二次方程有两个 _的实数根的实数根. (2)b2-4ac=0 一元二次方程有两个一元二次方程有两个 _的实数根的实数根. (3)b2-4ac0 一元二次方程一元二次方程 _实数根实数根.不相等不相等相等相等无无10 10 11 11 12 12 内容内容)考点四考点四 *一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(201
5、1版新课标版新课标选学选学内容内容)若方程若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为的两根分别为x1，x2，则，则x1+x2=_,x1x2= _.13 13 14 14 考点五考点五 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组组)解应解应用题的步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步用题的步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步.列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考内容：内容：(1)增长率等量关系：增长率等量关系：A. 增长率增长率 10
6、0；基础量基础量增长量增长量 B. 设设a为原来量，为原来量，m为平均增长率，为平均增长率，n为增长次数，为增长次数，b为增长为增长后的量，则后的量，则a(1+m)nb；当；当m为平均下降率时，则有为平均下降率时，则有a(1-m)nb.(2)利润等量关系：利润等量关系：A. 利润售价利润售价-成本；成本；B. 利润率利润率 100.成本成本利润利润(3)面积问题常见图形归纳如下：面积问题常见图形归纳如下：第一：如图第一：如图所示的矩形所示的矩形ABCD长为长为a，宽为，宽为b，空白部分，空白部分宽均为宽均为x，则阴影部分的面积表示为，则阴影部分的面积表示为(a-2x)(b-2x).第二：如图第
7、二：如图所示的矩形所示的矩形ABCD长为长为b，宽为，宽为a，阴影道路，阴影道路的宽为的宽为x，则空白部分的面积为，则空白部分的面积为(a-x)(b-x).第三：如图第三：如图所示的矩形所示的矩形ABCD长为长为b，宽为，宽为a，阴影道路，阴影道路的宽为的宽为x，则，则4块空白部分面积的和可以转化为块空白部分面积的和可以转化为(a-x)(b-x).常考类型剖析类型一类型一 一元二次方程的解一元二次方程的解例例1 若若n(n0)是关于是关于x的方程的方程x2+mx+3n=0的一个根，则的一个根，则m+n的值是的值是( )A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【解析解析】n(n0)是关于是关于
8、x的方程的方程x2+mx+3n=0的一个根，的一个根，n2+mn+3n=0，n0,对方程两边同时除以对方程两边同时除以n得得n+m+3=0，m+n=-3.A【方法指导方法指导】已知含参数的方程的根，则可根据方程已知含参数的方程的根，则可根据方程根的定义直接代入方程，得到一个关于参数的新方程，根的定义直接代入方程，得到一个关于参数的新方程，从而确定参数值，但要注意问题中的隐含条件，如一从而确定参数值，但要注意问题中的隐含条件，如一元二次方程二次项系数不能为元二次方程二次项系数不能为0.类型二类型二 解一元二次方程解一元二次方程例例2 (15重庆重庆A卷卷)一元二次方程一元二次方程x2-2x=0的
9、根是的根是( )A. x1=0,x2=-2 B. x1=1,x2=2C. x1=1,x2=-2 D. x1=0,x2=2【解析解析】将原方程左边因式分解，得将原方程左边因式分解，得x(x2)=0，即即x=0或或x2=0，x1=0，x2=2D【方法指导方法指导】一元二次方程有四种解法：因式分解法、一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法直接开平方法、配方法和公式法.(1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考，可考虑用因式分解法求解；虑用因式分解法求解；(2)若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或若一元二次方程缺少
10、一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；直接开平方法求解；(3)若一元二次方程的二次项系数为若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是，且一次项的系数是偶数时，可考虑用配方法求解；偶数时，可考虑用配方法求解；(4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解求解.拓展题拓展题1 方程方程x2-x-1=0的一个根是的一个根是( )A. 1- B. C. -1+ D. B【解析解析】a=1,b=-1,c=-1,b2-4ac=(-1)2-41(-1)5.x=类型三类型三 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式例例3 (15凉山州凉
11、山州)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实有实数根，则数根，则m的取值范围是的取值范围是( )A.m3 B.m3C.m3且且m2 D.m3且且m2【解析解析】关于关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，有实数根，m-20且且b2-4ac0，即，即22-4(m-2)10，解得，解得m3,m的的取值范围是取值范围是m3且且m2.D【方法指导方法指导】求方程中字母的取值范围通常与方程的解求方程中字母的取值范围通常与方程的解有关有关.要根据方程解的情况确定根的判别式与要根据方程解的情况确定根的判别式与0的大小关的大小关系，列出关于参数的
12、方程或不等式，解方程或不等式即系，列出关于参数的方程或不等式，解方程或不等式即可可.需要注意的是要考虑二次项系数不等于需要注意的是要考虑二次项系数不等于0的情况的情况.类型四类型四 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系例例4 (15金华金华)一元二次方程一元二次方程x2+4x-3=0的两根为的两根为x1，x2，则，则x1x2的值是的值是( )A. 4 B. -4 C. 3 D. -3【解析解析】由题可知：由题可知：a=1,b=4,c=-3,x1x2= =-3.D【方法指导方法指导】一元二次方程中利用根与系数的关系求代一元二次方程中利用根与系数的关系求代数式的值常用到以下几个关系
13、式：数式的值常用到以下几个关系式：注意隐含条件：注意隐含条件：a0，b2-4ac0.拓展题拓展题2 (15内江内江)已知关于已知关于x的方程的方程x2-6x+k=0的两根分的两根分别是别是x1、x2，且满足，且满足 ,则则k的值是的值是_.2【解析解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系本题考查一元二次方程根与系数的关系.由关于由关于x的的方程方程x2-6x+k=0的两根为的两根为x1、x2,可得可得x1+x2=6,x1x2=k，再由方程，再由方程 可得可得 ,即即 .解得解得k=2.类型五类型五 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用例例5 (15乌鲁木齐乌鲁木齐)某商品现在的售价为每
14、件某商品现在的售价为每件60元，每星元，每星期可卖出期可卖出300件件.市场调查反映市场调查反映:每降价每降价1元，每星期可多元，每星期可多卖出卖出20件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价元的利润，应将销售单价定为多少元？定为多少元？【信息梳理信息梳理】原题信息原题信息整理后的信息整理后的信息一一每星期卖出每星期卖出300件，市场件，市场调查反映：每降调查反映：每降1元，每元，每星期可多卖出星期可多卖出20件，已知件，已知商品的进价为每件商品的进价为每件40元元设每件降价设
15、每件降价x元，则每件元，则每件利润利润(60-x-40)元，每星元，每星期可卖期可卖(300+20x)件件二二商家还想获得商家还想获得6080元的利元的利润润(20-x)(300+20x)=6080解解: :设每件降价设每件降价x元，根据元，根据题意得题意得(20-x)(300+20x)=6080解得解得x1=1,x2=4,又考虑到顾客得实惠，故又考虑到顾客得实惠，故x=4，即定价为，即定价为56元，元，答：应该将销售价定为答：应该将销售价定为56元元.拓展题拓展题3 某种型号的电脑，原售价为某种型号的电脑，原售价为7200元元/台，经台，经连续两次降价后，现售价为连续两次降价后，现售价为46
16、08元元/台，则平均每次降台，则平均每次降价的百分率为价的百分率为_.20【解析解析】设平均每次降价的百分率为设平均每次降价的百分率为x，由题意，得，由题意，得7200(1-x)2=4608，解得：，解得：x1=1.8(舍去舍去),x2=0.2=20%.失分点失分点6 解一元二次方程解一元二次方程的的“丢根丢根”现象现象方程方程x(x-1)=2(x-1)2的根为的根为( )A. 1 B. 2 C. 1和和2 D. 1和和-2【解析解析】方程两边同时除以公因式方程两边同时除以公因式(x-1)得：得：x=2(x-1), 第一步第一步 方程移项得：方程移项得：x-2(x-1)=0, 第二步第二步 去括号得：去括号得：-x+2=0, 第三步第三步 解得：解得：x=2. 第四步第四步上述解析过程是从第一步开始出现错误的，应该改为上述解析过程是从第一步开始出现错误的，应该改为 _，此题最终的结果是，此题最终的结果是_.C移项得：移项得：x(x-1)-2(x-1)2=0【名师提醒名师提醒】解一元二次方程时，若方程两边含有相同解一元二次方程时，若方程两边含有相同的因式，应先将方程化为一般形式，再选择合适的方法的因式，应先将方程化为一般形式，再选择合适的方法求解，切记不要直接约去相同的因式，以免漏解求解，切记不要直接约去相同的因式，以免漏解.
