高阶系统的单位阶跃响应课件

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1、自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法时时域域分分析析法法是是根根据据系系统统的的微微分分方方程程，以以拉拉普普拉拉斯斯变变换换作作为为数数学学工工具具，直直接接解解出出控控制制系系统统的的时时间间响响应应。然然后后，依依据据响响应应的的表表达达式式及及其其描描述述曲曲线线来来分分析析系系统统的的控控制制性性能能，如如稳稳定定性性、快快速速性性、稳稳态态精精度度等等，并并找找出出系系统统结结构构、参参数数与与这这些些性性能能之之间间的的关系。关系。 第三章第三章 时域分析法时域分析法表达式表达式曲线曲线自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3.1 3

2、.1 典型输入信号及性能指标典型输入信号及性能指标 一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系构与参数，而且还同系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。统上的外作用信号有关。 为为了了分分析析和和比比较较控控制制系系统统的的优优劣劣，通通常常对对初初始始状态和外作用信号做一些典型化处理。状态和外作用信号做一些典型化处理。初始状态：零状态初始状态：零状态外作用：应尽可能简单又能反映实际情况。外作用：应尽可能简单又能反映实际情况。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法一、典型输入信号一、

3、典型输入信号 1阶跃函数阶跃函数 其表达式为其表达式为 当当a=1时，称为单位阶跃函数，记作时，称为单位阶跃函数，记作1(t)，则有，则有 单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法2速度函数（斜坡函数）速度函数（斜坡函数） 其表达式为其表达式为 当当a=1时，时，r(t)=t，称为单位速度函数，其拉氏变换，称为单位速度函数，其拉氏变换为为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3加速度函数（抛物线函数）加速度函数（抛物线函数） 其表达式为其表达式为 当当a=1/2时时，称称为为单单位位加加速速度度函函数

4、数，其其拉拉氏氏变变换换为为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法4脉冲函数脉冲函数 其表达式为其表达式为 单位脉冲函数单位脉冲函数(t)，其数学描述为，其数学描述为单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法5正弦函数正弦函数 其表达式为其表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法二、阶跃响应的性能指标二、阶跃响应的性能指标 分析控制系统时的假定条件有：分析控制系统时的假定条件有：单位负反馈单位负反馈初始状态为零初始状态为零给定输入为单位阶跃函数给定

5、输入为单位阶跃函数（由假设条件知，系统的期望输出为（由假设条件知，系统的期望输出为1 1）对控制系统性能的一般要求：稳、快、准。对控制系统性能的一般要求：稳、快、准。稳：即稳定性，在响应曲线上的反应是稳：即稳定性，在响应曲线上的反应是有界输入产生有界输入产生有界输出有界输出。它是系统固有性质，由系统的结构和参数决定，与外它是系统固有性质，由系统的结构和参数决定，与外界因素无关。界因素无关。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法由单位阶跃响应曲线判定系统的稳定性由单位阶跃响应曲线判定系统的稳定性自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法0.5td延迟时间延

6、迟时间td0.10.9tr上升时间上升时间tr峰值峰值时间时间tptp超调量超调量 % %调节时间调节时间ts误差带误差带ts振荡次数振荡次数N稳态误差稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h( )过渡过程性能指标：描述快速性和平稳性。过渡过程性能指标：描述快速性和平稳性。稳态性能指标：描述准确性。稳态性能指标：描述准确性。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3. .2 一阶系统分析一阶系统分析 传递函数分母为一次多项式的系统，称为一阶系统。传递函数分母为一次多项式的系统，称为一阶系统。 一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模

7、型 一阶系统的闭一阶系统的闭环传递函数为环传递函数为 一阶系统也称为惯性环节一阶系统也称为惯性环节 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法二、一阶系统的单位阶跃响应二、一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入的拉氏变换为单位阶跃输入的拉氏变换为 取取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应应 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法则则 或写成或写成 一一阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线是是一一条条由由零零开开始始，按按指指数数规规律律上上升升并并最最终终趋趋于于1 1的的曲曲线线。响响应应曲曲线线

8、具有非振荡特征，故又称为非周期响应。具有非振荡特征，故又称为非周期响应。 css=1 代表稳态分量代表稳态分量 代表动态分量代表动态分量 动态分量即在动态过程动态分量即在动态过程/ /过渡过程中出现的分量。过渡过程中出现的分量。 初初自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应 没有超调没有超调 量；量；调节时间调节时间 ts=3T(5%) ts=4T(2%)没有稳态误没有稳态误差，即差，即初初T T越小系统快越小系统快速性越好速性越好自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法三、三、自动控制原理自动控制原理 第三章第三章

9、时域分析法时域分析法五一阶系统的单位脉冲响应五一阶系统的单位脉冲响应自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法通过对不同输入下的响应进行分析可得：通过对不同输入下的响应进行分析可得：对于线性定常系统，在零初始条件下，若输入信号对于线性定常系统，在零初始条件下，若输入信号间呈微分的关系，则其对应输出之间也呈微分关系。间呈微分的关系，则其对应输出之间也呈微分关系。微微分分稳态输出取决于输入。稳态输出取决于输入。微微分分稳态输出稳态输出0 01 1t t自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例3.1 一一阶阶系系统统如如图图所所示示, ,试试求求系系统统单单

10、位位阶阶跃跃响响应应的的调调节节时时间间ts。如果要如果要求求ts0.1 s，试问系统的反馈系数应调整为何值，试问系统的反馈系数应调整为何值？解：解： (1) 由结构图写出闭环传递函数由结构图写出闭环传递函数自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法从从 (s)的分母多项式看出时间常数的分母多项式看出时间常数T=0.1 s，故调故调节时间节时间(2) 计算计算ts0.1 s的反馈系数值的反馈系数值设反馈系数为设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数，则系统闭环传递函数故故自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法要求要求ts=0.1 s，代入上式得代入上式得所以

11、所以调节时间调节时间自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3.3 二阶系统分析二阶系统分析 传递函数分母为二次多项式的系统，称为二阶系统。传递函数分母为二次多项式的系统，称为二阶系统。 一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型 闭环传递函数一般式闭环传递函数一般式 其中：其中： 为阻尼系数为阻尼系数 为无阻尼自然频率为无阻尼自然频率/固有频率固有频率 为系统特征方程，其解为系统特征根。为系统特征方程，其解为系统特征根。（P61P61页页3-163-16式）式）自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法其闭环特征方程为其闭环特征方程为 由二次方程求根公

12、式得系统的特征根为由二次方程求根公式得系统的特征根为 随着随着 取值的不同，特征根取值的不同，特征根( (闭环极点闭环极点) ) 在在s平面平面上的分布有如下特点：上的分布有如下特点：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应 1.1.过阻尼过阻尼 11的情况的情况 系统闭环特征方程有系统闭环特征方程有两个不相等的负实根两个不相等的负实根, ,设设 则则稳态分量为稳态分量为1，动态分量为两项指数项。，动态分量为两项指数项。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线过阻尼二阶系

13、统的单位阶跃响应曲线（不同于一阶系统）（不同于一阶系统）速度为速度为0性能指标：性能指标：无超调无超调无误差无误差调节时调节时间？间？自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法经转换后可得经转换后可得因此，过阻尼二阶系统可以看成两个惯性环节因此，过阻尼二阶系统可以看成两个惯性环节的串联。的串联。 闭环传递函数闭环传递函数自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法过阻尼二阶系统调节时间特性过阻尼二阶系统调节时间特性: : 当当T T1 1= =T T2 2( ( =1=1的临界阻尼情况的临界阻尼情况):):t ts s=4.75=4.75T T1 1；当当T

14、T1 1=4=4T T2 2( ( =1.25=1.25) )时时: : t ts s3.33.3T T1 1；当当T T1 144T T2 2( ( 1.25)1.25)时时: : t ts s33T T1 1。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法2.临界阻尼临界阻尼 =1的情况的情况 系统系统具有两个相等的负实根具有两个相等的负实根s1,2= - - n。 所以所以 取取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应 h(t)曲线单调递增至稳曲线单调递增至稳态值，且初始速度为态值，且初始速度为0.自动控制原理

15、自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3. .欠阻尼欠阻尼0 1的情况的情况 欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统具具有有一一对对负负实实部部的的共共轭轭复复根根，时时间响应呈衰减振荡特性，故又称为间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为系统闭环传递函数的一般形式为 特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法 衰减系数衰减系数 d 阻尼振荡角频率阻尼振荡角频率特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根 阻尼角阻尼角自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法当输入信号为单位阶跃作用时

16、当输入信号为单位阶跃作用时 取取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应跃响应 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法或者写成或者写成 式中式中 稳稳态态分分量量的的值值等等于于1，动动态态分分量量是是一一个个随随时时间间t的增长而衰减的振荡过程。的增长而衰减的振荡过程。 u决定了瞬态分量衰减的快慢，即特征根距决定了瞬态分量衰减的快慢，即特征根距虚轴越远衰减越快；虚轴越远衰减越快；ud d决定了瞬态分量震荡的频率，即特征根距决定了瞬态分量震荡的频率，即特征根距实轴越远震荡越剧烈；实轴越远震荡越剧烈；自动控制原理自动控制原理 第

17、三章第三章 时域分析法时域分析法欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法当当 =0时，零阻尼响应为时，零阻尼响应为 无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为具有频率无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为具有频率为为 n n的的不衰减不衰减( (等幅等幅) )振荡。振荡。 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法二阶系统单位阶跃响应的通用曲线二阶系统单位阶跃响应的通用曲线 图图3-17 和和%的关系曲线的关系曲线 平稳性：平稳性： 越大，越大，% %小，平稳性小，平稳性越好。越好。自动控制原理自动控制原理 第

18、三章第三章 时域分析法时域分析法二阶系统单位阶跃响应的通用曲线二阶系统单位阶跃响应的通用曲线 快速性：快速性： ：0 00.70.7，t ts s； 0.70.72 2，t ts s；t ts s最短，且最短，且55，故，故工程其称为工程其称为最最佳阻尼比佳阻尼比。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法二阶系统单位阶跃响应的通用曲线二阶系统单位阶跃响应的通用曲线 稳态精度：稳态精度：e essss=0=0自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标 1.1.上升时间上升时间tr自动

19、控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法2.2.峰峰值值时时间间tp ：响响应应曲曲线线达达到到第第一一峰峰值值/ /最最大大值值所所需的时间。需的时间。 令令 应取应取自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3.3.超调量超调量% 超调量的定义超调量的定义 超调量只是阻尼比的函数。超调量只是阻尼比的函数。 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法4.4.调节时间调节时间ts 根据调节时间的定义得根据调节时间的定义得根据调节时间的定义得根据调节时间的定义得由于上式较难求出具体解析表达式，故常采用由于上式较难求出具体解析表达式，故常采用近似

20、计算：近似计算：由此知，由此知，t ts s与与n n近似成反比，即调节时近似成反比，即调节时间与特征根距虚轴的距离近似成反比。间与特征根距虚轴的距离近似成反比。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例3-23-2 设单位负反馈位置随动系统的开环传递设单位负反馈位置随动系统的开环传递函数函数 当当给给定定位位置置为为单单位位阶阶跃跃时时，试试计计算算放放大大器器增增益益KA=200时时，输输出出位位置置响响应应特特性性的的性性能能指指标标：峰峰值值时时间间tp、调调节节时时间间ts和和超超调调量量 。如如果果将将放放大大器器增增益益增增大大到到KA=1500或或减减小小

21、到到KA=13.5，那那么对响应的动态性能有何影响？么对响应的动态性能有何影响？ 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法解：解：由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数由于系统是单位负反馈，所以闭环传递函数对照标准形式对照标准形式 当当KA=200时，得到时，得到得到得到自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法故峰值时间故峰值时间 调节时间调节时间 超调量超调量 如果如果KA增大到增大到KA=1500，同样可计算出，同样可计算出 则则 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法当当KA减小到减小到13.5时，可以算出时，可以算出 系系统

22、统成成为为过过阻阻尼尼二二阶阶系系统统，峰峰值值和和超超调调量量不不复复存存在在，而而调调节节时时间间ts等等效效为为大大时时间间常常数数T1的的一一阶阶系系统来计算，得到的值为统来计算，得到的值为自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法不同不同KA时的阶跃响应曲线时的阶跃响应曲线 自动控制原理（a）原系统（b）增加速度负反馈（c）增加一阶微分环节四、四、二阶系统响应性能的改善措施二阶系统响应性能的改善措施自动控制原理例题解析例题解析自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3.4 高阶系统分析高阶系统分析 （一）高阶系统的单位阶跃响应：（一）高阶系统的单

23、位阶跃响应：不妨只考虑互异的极点的情况：不妨只考虑互异的极点的情况：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法高阶系统的单位阶跃响应：高阶系统的单位阶跃响应：上式表明，上式表明，（1 1）高阶系统单位阶跃函数的响应由稳态值和一系）高阶系统单位阶跃函数的响应由稳态值和一系列的衰减指数曲线及衰减振荡指数曲线组成。列的衰减指数曲线及衰减振荡指数曲线组成。（2 2）各指数项衰减的快慢取决于）各指数项衰减的快慢取决于s si i和和k kk k，即取，即取决于特征根到虚轴的距离。离虚轴越远衰减的越快。决于特征根到虚轴的距离。离虚轴越远衰减的越快。（3 3）各指数项的幅值）各指数项的幅值

24、/ /系数系数(A(Ai i、B Bk k) )跟闭环零极点有跟闭环零极点有关。关。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法（3 3）各指数项的系数）各指数项的系数(A(Ai iB Bk k) )与零极点分布间的关系：与零极点分布间的关系：若极点远离虚轴，则相应系数很小；若极点远离虚轴，则相应系数很小；若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应系数也很小；则相应系数也很小；若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应系数就比较大；系数大而衰减慢的这些项将在动态应系数就比较大；系数大

25、而衰减慢的这些项将在动态响应过程中起主要作用。响应过程中起主要作用。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法l主主导极点极点n系系统有一个极点（一有一个极点（一对复极点）离虚复极点）离虚轴最近（且附近最近（且附近无零点存在），而其他极点与虚无零点存在），而其他极点与虚轴的距离是其距虚的距离是其距虚轴距离的五倍以上，距离的五倍以上，则可近似可近似认为，系，系统的的动态特性由特性由这个（个（这对）极点决定，其他极点引起的瞬）极点决定，其他极点引起的瞬态分量可分量可忽略不忽略不计。则这个（个（这对）极点就称）极点就称为高高阶系系统的主的主导极点。极点。n高高阶系系统可利用主可利用

26、主导极点降极点降阶为一一阶/二二阶系系统来近来近似估算其性能指似估算其性能指标。l偶极子偶极子n距离很近的零极点其距离很近的零极点其对系系统的影响可忽略不的影响可忽略不计，这样的一的一对零极点被称零极点被称为偶极子。偶极子。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例如例如某系统闭环传递函数为：某系统闭环传递函数为：其单位阶跃响应为：其单位阶跃响应为：S S2,32,3就是该系统的主导极点，对系统的瞬态响应过程就是该系统的主导极点，对系统的瞬态响应过程其主要作用。其主要作用。S S1 1为非主导极点。为非主导极点。模值之比（到原模值之比（到原点的距离之比）：点的距离之比）：自

27、动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法 二阶系统二阶系统三阶系统三阶系统自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法作业作业lP102l3.2/3.3自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析 一、稳定性的定义一、稳定性的定义 如如果果系系统统在在扰扰动动作作用用下下偏偏离离了了原原来来的的平平衡衡状状态态，当当扰扰动动消消失失后后经经过过足足够够长长的的时时间间系系统统能能重重新新恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态则则称称系系统统是是稳稳定定的的。反反之之，则则系统具有不稳定性。系统具有不

28、稳定性。 稳稳定定性性是是系系统统的的一一种种固固有有特特性性，它它只只取取决决于于系系统统的的结结构构和和参参数数，而而与与初初始始条条件件及及外外作用无关。作用无关。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法二、稳定性的数学条件二、稳定性的数学条件 （简化处理）（简化处理） 设系统处于全零平衡状态，特征根均为不同实根，设系统处于全零平衡状态，特征根均为不同实根，现选单位脉冲信号作为输入信号，则系统输出响可写现选单位脉冲信号作为输入信号，则系统输出响可写成：成：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法即单位脉冲响应为：即单位脉冲响应为：系统稳定系统稳定具

29、有负实部具有负实部系统稳定的充要条件为：系统稳定的充要条件为：系统特征根（即闭环极点）都系统特征根（即闭环极点）都具有负实部，或者具有负实部，或者说特征根都严格位于说特征根都严格位于s左半平面（虚轴左方）。左半平面（虚轴左方）。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3劳思劳思(Routh)判据判据 若系统的特征方程为若系统的特征方程为 系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：劳劳思思表表中中第第一一列列所所有有元元素素均均大大于于零零，如如果果第第一一列列出出现现小小于于零零的的元元素素，则则系系统统不不稳稳定定。并并且且第第一一列列中中数数值值符符号号改改变

30、变的的次次数数等等于于系系统统特特征征方方程程正实部根的数目。正实部根的数目。三、代数判据三、代数判据自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为试用劳思判据判别系统的稳定性，并确定正实试用劳思判据判别系统的稳定性，并确定正实部根的数目。部根的数目。解：解： 根据特征方程的系数列出根据特征方程的系数列出劳思表：劳思表：第一列元素不第一列元素不同号，所以系统同号，所以系统不稳定。不稳定。第一列中数值第一列中数值符号改变两次，符号改变两次，所以有两个正实所以有两个正实部的根。

31、部的根。 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例如特征方程为例如特征方程为列写劳思表：列写劳思表： 用正数用正数 代替第代替第三行第一列的三行第一列的0元元素，继续计算素，继续计算劳思劳思表表。令令0 0研究劳研究劳思表的第一列元思表的第一列元素符号素符号。第一列元素符第一列元素符号号: : 改改变两次，系统不变两次，系统不稳定稳定 。出现这种情况系统肯定不会出现这种情况系统肯定不会是稳定的，当第一列元素无是稳定的，当第一列元素无符号

32、改变，表明系统有一对符号改变，表明系统有一对纯虚根；有符号改变时，表纯虚根；有符号改变时，表明系统有明系统有s右平面的根。右平面的根。0.7207 + 1.1656i0.7207 - 1.1656i-0.6018 + 1.3375i-0.6018 - 1.3375i-1.23784劳思稳定判据的特殊情况劳思稳定判据的特殊情况 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法已知一系统的特征方程为已知一系统的特征方程为 列写劳思表：列写劳思表： s1行全为零。由行全为零。由s2行系数行系数构造辅助方程构造辅助方程 F(s)=21s2+63=0 求导得求导得用方程代替原来表中的零行，用

33、方程代替原来表中的零行，再继续计算。再继续计算。 劳思表第一列有两次符号劳思表第一列有两次符号变化，因此有两个实部为正变化，因此有两个实部为正的根，系统不稳定。的根，系统不稳定。 -3.0000 1.0000 + 2.4495i1.0000 - 2.4495i0.0000 + 1.7321i0.0000 - 1.7321i自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例 单位负反馈系统的开环传递函数单位负反馈系统的开环传递函数 试求增益试求增益K的稳定域。的稳定域。 系统的闭环特征方程系统的闭环特征方程 解：解： 即即 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析

34、法列劳斯表如下：列劳斯表如下： 所以保证系统稳定，增益的稳定域为所以保证系统稳定，增益的稳定域为 0K0，则，则40K-270，得，得 K0.675 a1a2-a0a30，则，则11 15-(40K-27)0 ,得得 K4.8所以满足要求的所以满足要求的K值范围为值范围为 0.675K4.8显然，比系统原来的稳定域显然，比系统原来的稳定域0K0。 (2) 由由得得 K6 所以稳定性条件为所以稳定性条件为0K6 第二步，求第二步，求E E( (s s) )。 由稳定性判据由稳定性判据 E(s)自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法输入信号输入信号r(t)=t，所以，所以 则

35、则 第三步，用终值定理求稳态误差第三步，用终值定理求稳态误差e essss。 (0K6)自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例3-10 3-10 系统结构如下图所示。当输入信号系统结构如下图所示。当输入信号r r( (t t)=1()=1(t t) )，干扰，干扰n n( (t t)=1()=1(t t) )时，求系统总的误差时，求系统总的误差e essss。 解：解： 第一步，判别稳定性。第一步，判别稳定性。 系统特征方程为：系统特征方程为：只要参数只要参数K1、K2大于零，系统就稳定。大于零，系统就稳定。 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析

36、法在在r r( (t t)=1()=1(t t) )，n n( (t t)=1()=1(t t) )的共同作用下，系统总的的共同作用下，系统总的误差信号为误差信号为 第二步，求第二步，求E(s)E(s)。 R(s)R(s)对应的误差对应的误差闭环传函为：闭环传函为：N(s)N(s)对应的误差对应的误差闭环传函为：闭环传函为：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法第三步，应用终值定理计算稳态误差第三步，应用终值定理计算稳态误差e essss。 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法三、输入信号三、输入信号r(t)作用下的稳态误差与系统结构作用下的稳态误

37、差与系统结构的关系的关系 当只有输入作用时，系统的结构图为当只有输入作用时，系统的结构图为 系统的误差信号为系统的误差信号为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法将将G(s)H(s)写成典型环节串联形式写成典型环节串联形式 式中式中K为开环增益；为开环增益； 为积分环节数目。为积分环节数目。 则稳态误差信号为则稳态误差信号为 系统根据开环传函含有积分环节的数目系统根据开环传函含有积分环节的数目v v定定义系统的型别。义系统的型别。v=0v=0称为称为0 0型系统，型系统，v=1v=1称为称为I I型系统，型系统，自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析

38、法则则 由于由于G(s)H(s)当当s趋于零时的极限为趋于零时的极限为K/s ，所以，所以 上上式式表表明明：系系统统的的稳稳态态误误差差ess除除了了与与外外作作用用R(s)有有关关外外，还还与与系系统统的的开开环环增增益益K和和积积分分环环节节数数目目 （系统型别）（系统型别）有关。有关。 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法下下面面分分别别讨讨论论不不同同输输入入信信号号r(t)作作用用下下，稳稳态态误误差与系统结构参数的关系。差与系统结构参数的关系。1当当输输入入信信号号为为阶阶跃跃作作用用r(t)=r01(t)时时，（r0为为表示阶跃量大小的常数），则表示阶跃

39、量大小的常数），则系统稳态误差为：系统稳态误差为：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法令令则系统稳态误差为：则系统稳态误差为：K Kp p被称为系统的静态位置误差系数。被称为系统的静态位置误差系数。对一个稳定的系统，在求给定输入为阶跃信号时对一个稳定的系统，在求给定输入为阶跃信号时的稳态误差时，可用上述两个公式直接求解。的稳态误差时，可用上述两个公式直接求解。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法2当输入信号为斜坡作用当输入信号为斜坡作用r(t)= 0t1(t)时，（时，（ 0表示输入信号的速度），则表示输入信号的速度），则 稳态误差稳态误差令令则

40、系统稳态误差为：则系统稳态误差为：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法3. .当输入信号为等加速度作用当输入信号为等加速度作用r(t)=a0t2/2 1(t)时，时，( (a 0为加速度为加速度) )，则，则 稳态误差稳态误差令令则系统稳态误差为：则系统稳态误差为：自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法典型输入信号作用下的稳态误差典型输入信号作用下的稳态误差 系统系统型别型别 静态误差系数静态误差系数 阶跃输入阶跃输入 斜坡输入斜坡输入 加速度输入加速度输入 KpK Ka1.系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能系统的型别越高，跟踪典型输入信号的

41、无差能力越强。力越强。2.Kp，Kv，Ka的取值只有三种：的取值只有三种：0，和和K。3.Kp，Kv，Ka越大，越大，ess越小，故越小，故Kp，Kv，Ka可可以表征系统的控制精度。以表征系统的控制精度。4.ess的取值也只有三种：的取值也只有三种：，0和有限值。和有限值。5.提高控制精度的方法：增加提高控制精度的方法：增加K或或v。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例3-113-11 系系统统结结构构如如图图所所示示。已已知知输输入入信信号号r(t)=1(t)+t+t2/2，求求系系统统的的稳稳态态误误差差ess(误误差差定定义义为为 e=r-c)。 解：解： 第

42、一步，判别稳定性。第一步，判别稳定性。系统特征方程为：系统特征方程为： 系统系统稳定稳定 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为系统误差信号为系统误差信号为第二步，求第二步，求误差信号。误差信号。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法输入信号为输入信号为系统稳态误差为系统稳态误差为第三步，求稳态误差。第三步，求稳态误差。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法例例 系系 统统 结结 构构 如如 图图 所所 示示 。 已已 知知 输输 入入 信信 号号r(t)=1(t)+t+t2/2，求求系系统统

43、的的稳稳态态误误差差ess(误误差差定定义义为为 e=r-c)。 解：解：第一步，判别稳定性。第一步，判别稳定性。（略）（略）自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法第二步，利用静态误差系数法求稳态误差。第二步，利用静态误差系数法求稳态误差。 系统等效开环传函为系统等效开环传函为 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法系统静态误差系数为系统静态误差系数为 故输入信号为故输入信号为r(t)=1(t)+t+t2/2时的稳态误差为时的稳态误差为自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法五、干扰五、干扰n n( (t t) )作用下的稳态误差

44、与系统结构的关作用下的稳态误差与系统结构的关系系 G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)E(s)n(t)n(t)引起的稳态误差与引起的稳态误差与G G1 1(s)(s)H(s)H(s)有关，其关系有关，其关系等同于等同于r(t)r(t)引起的稳态误差与引起的稳态误差与G GK K(s)(s)间的关系。间的关系。自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法图图3-37 例例3-10的系统的系统结构图结构图 求干扰求干扰n(t)=1(t)n(t)=1(t)作用下的稳态误差作用下的稳态误差 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法六、改善系统稳态精度

45、的方法六、改善系统稳态精度的方法 1. 按干扰补偿按干扰补偿 输出输出c(t)对干扰对干扰n(t)的闭环传递函数的闭环传递函数 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法若能使若能使 C N(s)为零，则干扰对输出的影响就可消为零，则干扰对输出的影响就可消除。除。 由分子为零，即由分子为零，即得对干扰全补偿的条件为得对干扰全补偿的条件为自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法2.按指令信号补偿按指令信号补偿 自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法作业作业lP103l3.7(b) 3.8 3.9(1)l3.10 3.13(b)自动控制原理自动控制原理 第三章第三章 时域分析法时域分析法本章本章小结小结v1.典型输入信号；典型输入信号；v2.一一阶阶或或二二阶阶系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应下下性性能能指指标的计算；标的计算；v3.高阶系统中主导极点和偶极子的概念；高阶系统中主导极点和偶极子的概念；v4.系统代数稳定判据；系统代数稳定判据；v5.系统稳态误差的计算。系统稳态误差的计算。