抛物线的几何性质抛物线的几何性质第二课时第二课时28 28 七月七月 2024 2024修远中学修远中学 梁成梁成阳阳 复习：复习：1 1抛物线抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（（p>0））y2 = -2px（（p>0））x2 = 2py（（p>0））x2 = -2py（（p>0））x≥0y∈∈Rx≤0y∈∈Ry≥0x∈∈Ry ≤ 0x∈∈R(0,0)x轴轴y轴轴1 2、通径：、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径焦半径公式：焦半径公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦半径公式。
焦半径公式 通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦xOyFA补、焦点弦：补、焦点弦：焦点弦公式：焦点弦公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦点弦公式焦点弦公式B 方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2 = 2px（（p＞＞0））y2 = -2px（（p＞＞0））x2 = 2py（（p＞＞0））x2 = -2py（（p＞＞0））lFyxOlFyxOlFyxOx≥0 y∈∈Rx≤0 y∈∈Rx∈∈R y≥0y≤0x∈∈RlFyxO关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（（0,0））（（0,0））（（0,0））（（0,0）） 练习：练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 例例1 1：： （（1）已知点）已知点A（（-2，，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P= 。
（（2）抛物线）抛物线 的弦的弦AB垂直垂直x轴，若轴，若|AB|= ，， 则焦点到则焦点到AB的距离为的距离为 42（（3）已知直线）已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A、、B两两点，那么线段点，那么线段AB的中点的中点 坐标是坐标是 例例1、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置的标准方程及焦点的位置FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径垂直于灯口直径AB 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标是的坐标是（（40，，30），代入方程可得），代入方程可得所求的标准方程为所求的标准方程为焦点坐标为焦点坐标为 yOxBA分析分析:观察图观察图,正三角形及抛物线都是轴正三角形及抛物线都是轴 对称图形对称图形,如果能证明如果能证明x轴是它们的公共轴是它们的公共的对称轴的对称轴,则容易求出三角形的边长则容易求出三角形的边长. yOxBA yOxBA 拓展延伸拓展延伸 例例3 3、、已已知知直直线线l l：：x=2px=2p与与抛抛物物线线 =2px(p>0)=2px(p>0)交交于于A A、、B B两两点点，，求证：求证：OA⊥OB.OA⊥OB.证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-A(2p,2p),B(2p,-2p)2p)所以所以 =1=1，， =-1=-1因此因此OA⊥OBOA⊥OBxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0) 变变题题1 1 若若直直线线l l过过定定点点(2p,0)(2p,0)且且与与抛抛物物线线 =2px(p>0)=2px(p>0)交交于于A A、、B B两点，求证：两点，求证：OA⊥OB.OA⊥OB.xyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)证明证明（（1））当直线当直线l斜率存在时设斜率存在时设 其方程为其方程为y=k(x-2p)所以所以OA⊥OB.OA⊥OB.代入代入y2=2px得，得，可知可知又又（（2））当直线当直线l斜率不存在时设斜率不存在时设 其方程为其方程为x=2p 变题变题2 2：： 若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p>0)=2px(p>0)交于交于A A、、B B两点，两点，且且OA⊥OB OA⊥OB ，则，则____________________ 直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP(2p,0)验证：由验证：由 得得 所以所以直线直线l l的方程为的方程为 即即而因为而因为OA⊥OB OA⊥OB ，可知，可知 推出推出 ，代入，代入 得到直线得到直线l l 的方程为的方程为所以直线过定点（所以直线过定点（2p,0).2p,0). 练习：练习：1、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。
例例1：已知动点：已知动点P到定点到定点F和到定直线和到定直线 l（（F不在定不在定直线直线l上）的距离的比为上）的距离的比为 ，则，则P点的轨迹是点的轨迹是 变题：已知点变题：已知点F不在不在l上，动点上，动点P到和到定直线到和到定直线 l的距的距离和到定点离和到定点F距离的比为距离的比为 ，则，则P点的轨迹是点的轨迹是 变题：已知动点变题：已知动点P到定点到定点F的距离和到定直线的距离和到定直线 l的距的距离相等的点的轨迹是离相等的点的轨迹是 例例2：已知动点：已知动点P(x,y) 满足满足则则P的轨迹是的轨迹是 变题：已知动点变题：已知动点P(x,y) 满足满足则则P的轨迹是的轨迹是 例例3：求下列曲：求下列曲线的焦点坐的焦点坐标，准，准线方程方程（１）（１） （2） （（3）） 。