现代投资学第二讲组合投资与风险分解

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1、现代投资学第二讲组合投资与风险分解组组合投合投资资的最的最优选择优选择是是实现实现投投资资者的者的预预期效用最期效用最大化，大化，这这就需要就需要对对投投资资者的效用函数形式作出假者的效用函数形式作出假定并定并对对其最大化形式其最大化形式进进行求解，然而行求解，然而对对于一般形于一般形式的效用函数或式的效用函数或证证券收益分布而言，最券收益分布而言，最优优状状态态下下组组合投合投资选择资选择的的结结果很果很难难通通过过求解得出，因此，求解得出，因此，19521952年年马马可可维兹维兹（MarkowitzMarkowitz）所提出的）所提出的证证券券组组合合投投资资理理论论均均值值方差方法由于

2、方差方法由于给给出了出了组组合投合投资资的最的最优选择结优选择结果从而被果从而被认为认为是金融微是金融微观观分析的一分析的一个重要的研究个重要的研究领领域，域，该该理理论论研究在一定研究在一定风险风险下，下，如何如何选择选择一个一个证证券投券投资组资组合，使得所合，使得所获获收益最高。收益最高。2 2构建构建证证券投券投资组资组合的主要目的在于分散合的主要目的在于分散风险风险，并，并使得期望收益最大，在此基使得期望收益最大，在此基础础上所提出的上所提出的组组合投合投资资理理论论主要基于如下基本假主要基于如下基本假设设：（1 1）已知投）已知投资资收益率的概率分布；收益率的概率分布；（2 2）风

3、险风险用方差或用方差或标标准差度量；准差度量；（3 3）影响投）影响投资结资结果的因素果的因素仅仅有均有均值值、方差；、方差； (4) (4) 投投资资者遵守占者遵守占优优原原则则：对对于投于投资资者假者假设设： 投投资资者者为为不不满满足和足和风险厌恶风险厌恶型。型。3 3第一第一节节 证证券券组组合的收益与合的收益与风险风险 所所谓证谓证券投券投资组资组合合 ( (简简称称证证券券组组合或投合或投资组资组合合) )是指将全部投入是指将全部投入资资金按某种比例分散投金按某种比例分散投资资于两种于两种或两种以上或两种以上证证券而构成的一个券而构成的一个组组合。假合。假设证设证券券组组合合 是由

4、是由 n n 种不同种不同证证券构成，其中在第券构成，其中在第 i i 种种证证券券上投上投资资的的资资金比例金比例为为，简简称称为为第第 i i 种种证证券投券投资权资权重。重。则证则证券券组组合可合可记为记为如下的形式如下的形式4 4在在证证券券X X组组合中，合中，权权重重 时时表示表示买买入入证证券券 i i； 表示表示卖卖空空证证券券 i, i, 将其所得将其所得资资金投金投资资于于组组合内其他合内其他证证券；券； 当当 时时，表示投，表示投资资在在证证券上的券上的资资金有金有卖卖空其他空其他证证券收入的券收入的资资金。金。设证设证券券 i i 的收益率的收益率为为 ，其概率分布，其

5、概率分布为为则证则证券的券的预预期收益率期收益率( (期望收益率期望收益率) )为为5 5证证券券 i (i (收益率收益率) )的方差的方差为为标标准差准差为为 ，而，而证证券券i i和和k(k(收益率收益率) )的的协协方差方差为为对对于于证证券券组组合合X X，其收益率，其收益率为为6 6X X的的预预期收益率期收益率为为X X的方差的方差为为 (4.4)(4.4)7 7其中其中注意到注意到 与与 的相关系数定的相关系数定义为义为 8 8所以又有所以又有特特别别，我，我们们来看等比例来看等比例组组合的情形，此合的情形，此时时 9 9 分分别别表示表示n n个个证证券方差和它券方差和它们们

6、的的协协方差方差的平均的平均值值。显显然然如果，我如果，我们们仍用方差表示仍用方差表示风险风险，则则上式表明，上式表明， 如果按等比例做如果按等比例做证证券券组组合，当合，当组组合中的合中的证证券数券数量达到一定程度量达到一定程度时时，单单个个证证券的券的风险风险将不将不发发生生作用，而作用，而证证券券组组合的合的风险风险主要取决于主要取决于证证券之券之间间的的协协方差，即方差，即证证券收益率之券收益率之间间的相互关系。的相互关系。对对于非等比例于非等比例组组合，上述合，上述结论结论仍然成立。仍然成立。 1010上式的第一部分我上式的第一部分我们们成成为证为证券券组组合的非系合的非系统风险统风

7、险，第二部分我第二部分我们们称称为证为证券券组组合的系合的系统风险统风险。组组合投合投资资使得系使得系统风险统风险平均化，大大地减少了非系平均化，大大地减少了非系统风统风险险。在不允在不允许卖许卖空空时时，注意到，注意到 , ,有有1111即即证证券券组组合的合的风险风险，总总是小于等于是小于等于单单一一证证券的最大券的最大风险风险，这这是一个非常重要的是一个非常重要的结论结论，是，是现现代代证证券理券理论论的基的基础础。同同时时，我，我们还们还可以通可以通过过改改变变 的比例，使的比例，使 取最小取最小值值，这这也是十分重要的推断，也是十分重要的推断， 是是现现代代证证券投券投资资理理论论的

8、核心。的核心。1212第二第二节节 期望效用原理与均期望效用原理与均值值方差准方差准则则一、期望效用准一、期望效用准则则二、一般的效用函数二、一般的效用函数三、均三、均值值方差准方差准则则1313期望效用准期望效用准则则效用函数是消效用函数是消费费者按照自己的主者按照自己的主观观偏好来偏好来评评价各价各种消种消费费品品满满足程度的度量尺度。当足程度的度量尺度。当选择选择的的对对象是象是确定的，偏好关系确定的，偏好关系满满足完足完备备性、自反性、性、自反性、传递传递性性和和连续连续性性时时，则则存在效用函数且消存在效用函数且消费费者可以按照者可以按照效用最大化效用最大化进进行消行消费选择费选择。

9、当。当选择对选择对象包括不确象包括不确定因素情形定因素情形时时，我，我们们称称为为随机消随机消费费，冯冯 诺诺伊曼和伊曼和莫根斯坦莫根斯坦证证明了如果投明了如果投资资者者满满足一系列合理的一足一系列合理的一致性条件假致性条件假设设， 由期望效用函数的存在性即期望由期望效用函数的存在性即期望效用表示可得出不确定性条件下投效用表示可得出不确定性条件下投资资者者对对随机消随机消费费情形下的最佳情形下的最佳选择选择。 1414所所谓谓消消费费者个体的偏好关系有期望效用表示，是者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数使得随机消指存在一个效用函数使得随机消费费 优优于随机消于随机消费费 的充分

10、必要条件的充分必要条件为为 ，这这里里 表示个体表示个体按不确定因素按不确定因素发发生的概率生的概率计计算的期望算的期望值值。决策者将决策者将选择选择一策略使一策略使结结果的期望效用极大化。果的期望效用极大化。 1515一般的效用函数一般的效用函数16161717181819192020均均值值方差准方差准则则均均值值方差准方差准则则在在证证券投券投资资理理论论中，一种方便的中，一种方便的风险风险定定义义就是把就是把围绕围绕收益率期望的波收益率期望的波动动性即收益率的方差（或者性即收益率的方差（或者标标准差）称准差）称为证为证券的券的风险风险。证证券均券均值值方差准方差准则则的的最大最大优优点

11、在于只要考点在于只要考虑虑投投资资收益的期望收益的期望值值与方差与方差( (标标准差准差) )便可以做出决策，也正因便可以做出决策，也正因为这为这一一优优点，点， 它成它成为为投投资资分析中最著名的有效准分析中最著名的有效准则则之一。之一。2121按照均按照均值值方差准方差准则则， 无无论论是哪一是哪一类类投投资资者，者， 在在风风险险相同的情况下，相同的情况下， 总总是偏好期望收益高的投是偏好期望收益高的投资对资对象，象， 但在期望收益一定但在期望收益一定时时， 投投资资者的者的选择选择就依据就依据对风险对风险的偏好程度的偏好程度, ,选择风险选择风险小的投小的投资对资对象。象。2222均值

12、方差准则：对于证券1和2， 当且仅当时，证券1优于证券2，其中 分别为证券1和证券2的收益，它们都是随机变量。2323均均值值方差准方差准则则是是预预期效用的一种特殊情况，假期效用的一种特殊情况，假设设投投资资者者为风险为风险回避者，回避者， 且其效用函数且其效用函数为为二次型，二次型， 某某证证券券( (或或证证券券组组合合) )的收益的收益为为R R， 则则他的效用由他的效用由下式决定下式决定: :其中其中 可以取任意可以取任意值值，而，而 。2424投资者的期望效用为而由于 ,故上式可以写成该式说明二次函数的期望效用可以表示为证券收益的均值 和证券收益的方差 的函数。 2525进一步由上

13、述推导可得出以下结论 该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时， 因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。该式说明当方差不变而期望收益增加时， 投资者的状况会变好， 因为其期望效用增加了。2626一般均一般均值值方差准方差准则则由于它对于投资者效用函数的设定过于严格， 特别是它不是在可能情况的全部区间上定义的， 所以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差模型可以表示为：其中 为参数，亦是风险厌恶因子，它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者对低于 的收益减少特别敏感或者厌恶，可取 ，这样给 赋以一个很大的权数，使获得高收益的机会减少，这表明投资者宁愿获得较低的收益也不愿意遭受损失。27272

14、82829293030第二第二节节 组组合投合投资资模型模型 考考虑虑一个一个证证券券组组合合X X， 它由它由N N个个证证券券组组成，每个成，每个证证券的券的预预期收益率期收益率为为 ，方差，方差记为记为 ，证证券券间间的的协协方差方差记记 、 于是于是证证券券组组合的收益率合的收益率 的方差的方差 可以表示成可以表示成在在给给定定预预期收益率水平之下，如何期收益率水平之下，如何选择证选择证券券组组合合的的权权重，使重，使证证券券组组合具有最小方差呢合具有最小方差呢? ?3131记记 为为确定最小方差集合，确定最小方差集合， 我我们们考考虑虑如下如下优优化模型，化模型， 即一般的即一般的马

15、马柯柯维维茨模型茨模型这这是一个等式是一个等式约约束的极束的极值问题值问题，我，我们们可以构造可以构造LagrangeLagrange函数函数 3232根据根据 Lagrange Lagrange 乘数法解得乘数法解得 得得(4.25)(4.25)(4.26)(4.26)3333（4.264.26）分）分别别左乘左乘 和和 得得记记 3434于是解方程于是解方程组组得得将将 代入（代入（4.264.26），得），得 其中其中 (4.29 )(4.29 )3535注意注意3636为为求全局最小方差求全局最小方差资产组资产组合点，令：合点，令： 得到得到 于是可解得于是可解得 37373838我我

16、们们有两基金分离定理有两基金分离定理定理定理定理定理 任一最小方差集合上的投任一最小方差集合上的投资组资组合合 都可以都可以唯一地表示唯一地表示为为全局最小方差全局最小方差 和可分散化和可分散化资产资产组组合合 的的组组合。合。3939我我们们将将 代入代入(4.25)(4.25)得得 (4.29)(4.29)(4.30)(4.30)4040（4.294.29）式）式给给出了出了证证券券组组合合权权重与重与预预期收益率的期收益率的关系。（关系。（4.304.30）式）式给给出了出了证证券券组组合合预预期收益率与期收益率与方差的关系方差的关系 , ,且且说说明在平面上面明在平面上面 有双曲有双曲

17、线线形式，而在形式，而在 平面上可有抛物平面上可有抛物线线形式。在形式。在 平面上的抛物平面上的抛物线线，其，其顶顶点在点在 , ,如如图图4.64.6所示。所示。4141图图4.5 4.5 平面上的一支双曲平面上的一支双曲线线型型图图4.6 4.6 平面上的抛物平面上的抛物线线4242 最小方差集合在最小方差集合在顶顶点上半部的点上半部的证证券券组组合集合称合集合称为为有效集合。有效集合。有效集合中所有有效集合中所有证证券券组组合符合以下准合符合以下准则则：给给定某一定某一标标准差，有效集合中的准差，有效集合中的证证券券组组合具有合具有可可获获得的最大得的最大预预期收益率。期收益率。显显然最

18、小方差集合在然最小方差集合在顶顶点的下半部分点的下半部分对应对应点的点的预预期收益率最低。期收益率最低。在上面确定最小方差集合的在上面确定最小方差集合的过过程中，程中，权权重重约约束束为为 , ,求得的求得的结结果果诸诸 中可能有中可能有为为正的也有正的也有为负为负的，它的，它反映了允反映了允许卖许卖空的情形。空的情形。4343在有些情况下，在有些情况下， 投投资资者把不者把不进进行行卖卖空作空作为为一种一种投投资资策略，因此，策略，因此，讨论讨论在不允在不允许卖许卖空的空的约约束下如束下如何确定最小方差集合是必要的。何确定最小方差集合是必要的。这时这时在在约约束条件束条件中需要加入中需要加入

19、 相相应应的模型的模型为为这这是二次是二次规规划模型。利用划模型。利用Kuhn-TuckerKuhn-Tucker条件，可条件，可得到其解所得到其解所满满足的必要条件。足的必要条件。 4444最最优证优证券券组组合管理例合管理例 一个投一个投资资者正考者正考虑对虑对三家公司的股票三家公司的股票进进行五年期的投行五年期的投资资。这这三家公司是三家公司是PolaroidPolaroid、RaytheonRaytheon和和LotusLotus。依据市。依据市场场分分析以及析以及统计预测统计预测，她，她获获得的有关数据：得的有关数据： 公司收益公司收益间间的的协协方差方差Cov(PolaroidCo

20、v(Polaroid的收益的收益,Raytheon,Raytheon的收益的收益) = 34(%)2) = 34(%)2Cov(PolaroidCov(Polaroid的收益的收益,Lotus,Lotus的收益的收益) = 103(%)2) = 103(%)2Cov(RaytheonCov(Raytheon的收益的收益,Lotus,Lotus的收益的收益) = -27(%)2) = -27(%)2 该该投投资资者共有者共有400,000400,000可用于投可用于投资资，同，同时时她要求在保她要求在保证证五年期望收益超五年期望收益超过过60%60%的前提下，能使所投的前提下，能使所投资证资证券

21、券组组合的合的标标准差（准差（standard deviationstandard deviation）为为最小。最小。公司公司五年期望收益五年期望收益（% %）收益的方差收益的方差PolaroidPolaroid8080190190RaytheonRaytheon3535110110LotusLotus65651501504545最最优证优证券券组组合管理合管理若以若以P P、R R、L L分分别记别记投投资资PolaroidPolaroid、RaytheonRaytheon和和LotusLotus股票所占股票所占总总投投资额资额的比例，以上的比例，以上问题问题可表述可表述如下：如下：MIN

22、IMIZE (MINIMIZE (证证券券组组合的合的标标准差准差) )S.T. :S.T. :P+R+L=1.0P+R+L=1.0 （比例）（比例）1.80P+1.35R+1.65L1.601.80P+1.35R+1.65L1.60（目（目标标收益）收益）P,R,L0P,R,L0证证券券组组合的方差合的方差 = P2 Var(P)+R2 Var(R)+L2 = P2 Var(P)+R2 Var(R)+L2 Var(L)+2PR Cov(P,R)+2PL Cov(P,L)+2RLVar(L)+2PR Cov(P,R)+2PL Cov(P,L)+2RLCov(R,L)Cov(R,L)4646ST

23、.ST.P+R+L=1.0P+R+L=1.0（比例）（比例）1.80P+1.35R+1.65L1.601.80P+1.35R+1.65L1.60（目（目标标收益）收益）P,R,L0P,R,L0用用EXCELEXCEL软软件件进进行求解，得到最行求解，得到最优优解：解：P=0.285P=0.285R=0.309R=0.309L=0.406L=0.406STANDARD DEVIATION=8.585STANDARD DEVIATION=8.585证证券券券券组组合的最合的最合的最合的最优优化模型化模型化模型化模型证证券券组组合的最合的最优优化模型化模型4747证证券券组组合的最合的最优优化模型化

24、模型同同样样的，有的，有时时候投候投资资者会在限制者会在限制标标准差准差为为一个一个给给定定值值的前提下，要求的前提下，要求获获得一个能使期望收益达到最大得一个能使期望收益达到最大的投的投资证资证券券组组合。合。例如，投例如，投资资者可以限制者可以限制标标准差最大不得超准差最大不得超过过11.5(%)11.5(%)，此，此时时的最的最优优化模型化模型为为：MAXIMIZEMAXIMIZE1.80P+1.35R+1.65L1.80P+1.35R+1.65LS.T. :S.T. :P+R+L=1.0P+R+L=1.0P,R,L0P,R,L0最最优证优证券券组组合是：合是：P=0.635P=0.63

25、5R=0.061R=0.061L=0.304L=0.304EXPECTED RETURN=1.727EXPECTED RETURN=1.7274848最最优证优证券券组组合管理合管理投投资组资组合的管理者所面合的管理者所面临临的的问题问题是要使投是要使投资资的的资资产进产进行最有效的行最有效的组组合，从而合，从而满满足投足投资资者的需要。者的需要。一般一般说说来，管理者在使投来，管理者在使投资组资组合最合最优优化化时时，有两，有两个最基本的目个最基本的目标标：1.1.使投使投资组资组合的期望收益最大化合的期望收益最大化2.2.使投使投资组资组合的合的风险风险最小化。最小化。在在实际应实际应用中

26、，用中，这这两个目两个目标标几乎几乎总总是相互矛盾的。是相互矛盾的。也就是也就是说说，要，要获获得一个高期望收益的投得一个高期望收益的投资组资组合，合，那么就要面那么就要面对对高高风险风险；而要；而要获获得一个低得一个低风险风险的的组组合，那么所合，那么所获获得得组组合的期望收益也低。合的期望收益也低。4949最最优证优证券券组组合管理合管理如果要如果要对对AT&TAT&T、BoeingBoeing和和DECDEC公司的股票公司的股票进进行行组组合合投投资资，所，所获获的数据、估的数据、估计计的期望收益、方差和的期望收益、方差和协协方差等：方差等：资产资产名称名称年期望收益年期望收益AT&TA

27、T&TBoeingBoeingDECDECAT&TAT&T11%11%16163 3-5-5BoeingBoeing14%14%3 322221 1DECDEC7%7%-5-51 110105050一个一个简单简单的模型的模型A=A=投投资资于于AT&TAT&T股票占股票占总总投投资额资额的比例的比例B=B=投投资资于于BoeingBoeing股票占股票占总总投投资额资额的比例的比例D=D=投投资资于于DECDEC股票占股票占总总投投资额资额的比例的比例这这三个三个变变量要量要满满足：足：A+B+D=1A+B+D=15151一个一个简单简单的模型的模型证证券券组组合的期望收益可表示合的期望收益

28、可表示为为： R=11A+14B+7D R=11A+14B+7D证证券券组组合的方差可表示合的方差可表示为为： VARIANCE VARIANCE=16A2+3AB-5AD+3BA+22B2+BD-5DA+DB+10D2=16A2+3AB-5AD+3BA+22B2+BD-5DA+DB+10D2=16A2+6AB-10AD+22B2+2BD+10D2=16A2+6AB-10AD+22B2+2BD+10D2而而标标准差是方差的平方根：准差是方差的平方根：5252一个一个简单简单的模型的模型 现现在我在我们们要使要使证证券券组组合的期望收益合的期望收益为为11%11%。最。最优优化模型化模型s.t.

29、 s.t. ：A+B+D=1A+B+D=1（比例（比例) )11A+14B+7D=1111A+14B+7D=11（收益）（收益）A0,B0,D0A0,B0,D0（非（非负负条件）条件）求解求解该该模型，得：模型，得： STANDARD DEVIATION=2.4008%STANDARD DEVIATION=2.4008% A=0.3769 A=0.3769 B=0.3561 B=0.3561 D=0.2670 D=0.26705353模型的模型的扩扩展展我我们还们还可以可以针对针对不同数不同数值值的期望收益来求解模型，的期望收益来求解模型，此此时时所所获获得的最得的最优优解信息：解信息： 期望

30、收益期望收益最最 优优标标准差准差比例比例AT&TAT&T Boeing BoeingDECDEC8%8%2.1794%2.1794%0.250.250.00.00.750.759%9%1.8949%1.8949%0.37540.37540.07120.07120.55340.553410%10%2.0162%2.0162%0.37620.37620.21360.21360.41020.410211%11%2.4008%2.4008%0.37690.37690.35610.35610.26700.267012%12%2.9474%2.9474%0.37770.37770.49850.49850

31、.12380.123813%13%3.5901%3.5901%0.33330.33330.66670.66670.00000.000014%14%4.6904%4.6904%0.00.01.01.00.00.05454模型的模型的扩扩展展可依据此表作出可依据此表作出这这三种股票的有效三种股票的有效边边界。界。这样这样，一旦投一旦投资资者在期望收益率和可接受的者在期望收益率和可接受的风险风险水平中水平中作出作出权权衡，就可按相衡，就可按相应应比例比例进进行行证证券券组组合投合投资资。如一个投如一个投资资者决定者决定选择选择期望收益率期望收益率为为12%12%而而标标准差准差为为2.9474%2.

32、9474%的的证证券券组组合，那么她就合，那么她就应应将将总总投投资资的的37.77%37.77%投投资资于于AT&TAT&T，49.85%49.85%投投资资于于BoeingBoeing，12.38%12.38%投投资资于于DECDEC。这这个个组组合会达到合会达到12%12%的期望收益且的期望收益且标标准差准差为为2.9474%2.9474%，而且没有更好的期望收益率在，而且没有更好的期望收益率在12%12%的的证证券券组组合会有更小的合会有更小的标标准差了。准差了。5555标标准差准差期期望望值值模型的模型的扩扩展展5656模型的模型的扩扩展展5757第三第三节节 有效有效边边界的界的讨

33、论讨论及性及性质质 5858595960606161626263636464存在无存在无风险资产时风险资产时的有效集合的有效集合656566666767 几何意几何意义义 情形情形1 16868 情形情形2 26969 情形情形3 37070717172727373第四第四节节 单单指数模型指数模型 在上在上节节的的讨论讨论中，各中，各证证券券间协间协方差我方差我们们可以作任可以作任何假定，它何假定，它们们可以是由可以是由证证券券间间存在的任意数量和存在的任意数量和种种类类的关系的关系产产生，而且在生，而且在计计算算风险时风险时所用的公式所用的公式中，我中，我们们必必须对须对所所选择选择的的证

34、证券券间间的的协协方差方差进进行估行估计计。如果。如果证证券数目太大，我券数目太大，我们们就必就必须进须进行大量的行大量的协协方差估方差估计计，使得在，使得在计计算任一算任一给给定定证证券券组组合的方合的方差差时时，需要花，需要花费费大量大量时间时间。这这是使用上是使用上节节中的中的马马柯柯维维茨模型所存在的茨模型所存在的问题问题。单单指数模型能使我指数模型能使我们们克服克服这这一困一困难难，使得确定，使得确定证证券券组组合的方差合的方差计计算算过过程程变变得得简单简单。7474第四第四节节 单单指数模型指数模型 在股票市在股票市场场中，我中，我们发现们发现，当市，当市场场投投资组资组合合(

35、(如股票市如股票市场场指数指数) )的收益率的收益率显显著上升或下降著上升或下降时时，几乎所有股票的收益，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，率都随之上升或下降，虽虽然可能有一些股票的收益率可能然可能有一些股票的收益率可能比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总总的来的来说说都都是呈相同是呈相同趋势变趋势变化。化。 这这意味着，市意味着，市场场投投资组资组合收益率的合收益率的变变化，能充分反映各种化，能充分反映各种证证券的共同券的共同变变化化趋势趋势。因此，。因此，对对各个各个证证券收益率之券收益率之间间的的协协方差的方差的计计算，可用每一算，可用每

36、一证证券收益率与市券收益率与市场场投投资组资组合收益率合收益率之之间间的的协协方差代替。方差代替。 单单指数模型就是在假定指数模型就是在假定证证券的收益率只受市券的收益率只受市场场投投资组资组合即合即单单指数收益率的影响下，去确定指数收益率的影响下，去确定证证券券组组合的合的权权重。重。7575第四第四节节 单单指数模型指数模型 设证设证券的收益率具有券的收益率具有简单线简单线性性结结构，即其收益构，即其收益率率r r和市和市场场投投资组资组合收益率合收益率 具有关系式具有关系式其中其中A A、B B为为待估参数，待估参数， 为为残差。残差。假假设设市市场场中有中有N N个个证证券，券，则则按

37、上述按上述结结构，第构，第J J证证券的收益率券的收益率满满足足 (4.33)(4.33)7676第四第四节节 单单指数模型指数模型 在在单单指数模型的指数模型的讨论讨论中，假定影响各个中，假定影响各个证证券收益券收益率的因素有两率的因素有两类类：第一第一类类称称为为宏宏观观因素。因素。例如通例如通货货膨膨胀胀率，主要利率的率，主要利率的变变化、就化、就业业率等，率等，在任何情况下，在任何情况下，这这些因素的影响都是相当大的，些因素的影响都是相当大的，几乎所有企几乎所有企业业，所有公司都不同程度地受到它，所有公司都不同程度地受到它们们的影响，会引起的影响，会引起证证券价格券价格总总体水平的体水

38、平的变变化，化，再通再通过过市市场场的推的推动动，会影响到市，会影响到市场场投投资组资组合收合收益率水平，益率水平， 进进而影响到各而影响到各证证券的收益率。券的收益率。因而宏因而宏观观因素影响整个市因素影响整个市场场的收益率。的收益率。 7777第四第四节节 单单指数模型指数模型 第二第二类类称称为为微微观观因素。因素。例如一种新例如一种新产产品的推出或老品的推出或老产产品的淘汰，局部品的淘汰，局部地区火灾或一个公司主要地区火灾或一个公司主要领导领导的的变变化，它化，它们们都都只只对对个个别别企企业业或公司或公司产产生影响而不会影响到市生影响而不会影响到市场场投投资组资组合的收益率。从而使个

39、合的收益率。从而使个别证别证券的收益券的收益率偏离市率偏离市场场特征特征线线，出，出现现残差。残差。所以微所以微观观因素因素仅仅影响个影响个别证别证券的收益率。券的收益率。7878第四第四节节 单单指数模型指数模型其他其他类类型的因素在型的因素在单单指数模型中不予考指数模型中不予考虑虑。例如行例如行业业因素，某些事件因素，某些事件对对某一行某一行业业内的所有内的所有企企业产业产生影响，但却不足以影响到整个生影响，但却不足以影响到整个经济经济形形势势或市或市场场投投资资的收益率。的收益率。虽虽然然这类这类因素也能引因素也能引起残差，起残差， 但我但我们们假假设设残差只由微残差只由微观观因素所致。

40、因素所致。 7979第四第四节节 单单指数模型指数模型 从而我从而我们们有如下的假有如下的假设设，对证对证券券有有 同同时时我我们还们还假假设设 (4.35)(4.35)(4.36)(4.36)(4.37)(4.37)8080第四第四节节 单单指数模型指数模型 式（式（4.364.36）说说明在任一明在任一时时期残差可能期残差可能为为正，正， 也可也可能能为负为负， 但期望但期望值为值为零。零。式（式（4.374.37）说说明明证证券残差与市券残差与市场场投投资组资组合收益率合收益率不相关，不相关， 即它与市即它与市场场投投资组资组合是多合是多头头或空或空头头无关，无关，不因市不因市场场投投资

41、组资组合合为为多多头头而成正而成正值值， 也不因市也不因市场场投投资组资组合合为为空空头头而而为负值为负值。由由单单指数模型指数模型结结构假构假设设(4.33)(4.33)和以上各和以上各项项假假设设有有(4.38)(4.38)8181第四第四节节 单单指数模型指数模型 (4.39)(4.40)8282第四第四节节 单单指数模型指数模型 从而从而(4.41)(4.42)8383第四第四节节 单单指数模型指数模型 (4.38)(4.38)式式给给出了出了证证券的特征方程，券的特征方程，(4.42)(4.42)式表明特征方程式表明特征方程中的系数即模型中的系数即模型结结构中的系数恰好构中的系数恰好

42、为证为证券的券的风险风险系数。系数。 (4.39)(4.39)式式给给出了出了证证券收益率的方差，它刻画了券收益率的方差，它刻画了证证券的券的风险风险， （4.394.39）式右）式右边边的第一的第一项项称称为证为证券投券投资资的系的系统风险统风险。可。可以看做是与整个市以看做是与整个市场场投投资组资组合有关的合有关的风险风险。它是由市。它是由市场场投投资组资组合中各合中各证证券的券的风险风险共同作用而共同作用而产产生。是所有生。是所有证证券都无法避免的券都无法避免的风险风险。 （4.394.39）式右）式右边边的第二的第二项项称称为为残差方差或非系残差方差或非系统风险统风险，可以看做是由微可

43、以看做是由微观观因素所因素所带带来的来的风险风险，它，它仅仅影响到个影响到个别证别证券，是可以通券，是可以通过证过证券券组组合所能消去的合所能消去的风险风险。 因而（因而（4.394.39）式表明）式表明 证证券券总总体体风险风险系系统风险统风险非系非系统风险统风险8484 另外，我另外，我们们再注意，系再注意，系统风险统风险本身是两本身是两项项之之积积， 第一第一项项是是证证券的券的 - -因子，它表示因子，它表示证证券收益率随市券收益率随市场场投投资组资组合的合的变动变动影响程度，影响程度， 第二第二项项是市是市场场投投资组资组合收益率的方差，表示市合收益率的方差，表示市场场投投资资组组合

44、收益率的合收益率的变变化幅度。化幅度。 第二第二项项非系非系统风险统风险，即残差方差，表示，即残差方差，表示证证券收益率由于偏券收益率由于偏离了特征离了特征线线而引起的那部分方差的大小。而引起的那部分方差的大小。 因而在因而在单单指数模型的假指数模型的假设设下，下，证证券收益率的券收益率的总总体方差来自体方差来自两部分：两部分： 一部分是特征一部分是特征线线的的变动变动( (即系即系统风险统风险) )， 另一部分是各点偏离特征另一部分是各点偏离特征线线的程度的程度( (即非系即非系统风险统风险) )。第四第四节节 单单指数模型指数模型 8585第四第四节节 单单指数模型指数模型 下面考下面考虑

45、虑在在单单指数模型下，指数模型下，证证券券组组合的合的结结构。构。设设满满足足单单指数模型的指数模型的n n个个证证券的券的证证券券组组合合 ，则证则证券券组组合仍有合仍有单单指数指数结结构构(4.43)8686第四第四节节 单单指数模型指数模型 注意注意(4.35)(4.35)(4.37)(4.37)式，有式，有(4.45)(4.44)8787第四第四节节 单单指数模型指数模型 在在单单指数模型下，指数模型下，(4.43)(4.43)表明表明证证券券组组合仍具有同合仍具有同类类的的单单指数指数结结构，构，(4.44)(4.44)表明表明证证券券组组合的合的 因子因子为为各各证证券券 因子的加

46、因子的加权权平均，而平均，而(4.45)(4.45)表明表明证证券券组组合的方差合的方差( (风险风险) )与与单单个个证证券券类类似，仍由两部分构成，似，仍由两部分构成， 第一第一项项是由市是由市场场投投资组资组合方差反映的系合方差反映的系统统性性风风险险， 第二第二项项反映的是反映的是组组合中各合中各证证券非系券非系统风险统风险的加的加权权平均平均( (以以 为权为权重重) )。8888第四第四节节 单单指数模型指数模型 通通过过以上以上讨论讨论，在，在单单指数模型下，指数模型下，马马柯柯维维茨茨组组合合投投资资模型模型为为：8989第四第四节 单指数模型指数模型 与与马马柯柯维维茨茨组组

47、合投合投资资模型相比，模型相比，该该模型所需要估模型所需要估计计的数的数值值大大为为减少，它只需估减少，它只需估计计各各证证券的券的 值值、预预期收益率、期收益率、 值值、残差方差及市、残差方差及市场场投投资组资组合的合的预预期收益率和方差，期收益率和方差，这这比估比估计计各各证证券之券之间协间协方差的方差的工作量少一个数量工作量少一个数量级级。但但该该模型的精确程度不如模型的精确程度不如马马柯柯维维茨茨组组合投合投资资模型，模型，它依它依赖赖于各于各证证券收益率的券收益率的单单指数指数结结构假构假设设的合理的合理性。性。9090第五第五节节 多指数模型多指数模型 在更多的情况下，在更多的情况

48、下，证证券的收益率要受到包括市券的收益率要受到包括市场场因素在内因素在内的多种因素共同作用的影响，使得影响的多种因素共同作用的影响，使得影响协协方差的因素有多方差的因素有多个。个。这这些因素，可能是一系列些因素，可能是一系列经济经济指数，如通指数，如通货货膨膨胀胀率、率、失失业业率、利率、工率、利率、工业业增增长长率等。率等。 设设有个影响因素，把有个影响因素，把这这些因素作些因素作为为指数，它指数，它们们的收益率分的收益率分别别用用表示。表示。 显显然，如果各指数收益率之然，如果各指数收益率之间间不存在相关关系，不存在相关关系， 那么它那么它们们就可以直接用于就可以直接用于证证券分析。但是券

49、分析。但是现现在在经济经济活活动动中各种指数中各种指数之之间间，往往存在某种程度的相关性，往往存在某种程度的相关性，这这些需要我些需要我们们剔除它剔除它们们之之间间的相关性。在斯密特正交化手的相关性。在斯密特正交化手续续中，当我中，当我们们把内把内积积用用协协方差代替方差代替时时，就可以作到，就可以作到这这点。正因如此，在下面的点。正因如此，在下面的讨论讨论中，我中，我们们假定各指数收益率之假定各指数收益率之间间不存在相关性。不存在相关性。 9191第五第五节节 多指数模型多指数模型 设设任一任一证证券的收益率可以表示成如下的多指数模券的收益率可以表示成如下的多指数模型：型：其中其中 是影响是

50、影响证证券收益率的第券收益率的第i i个指数的收益率个指数的收益率( (), ), 是度量第是度量第i i个指数收益率个指数收益率变变化化对证对证券券J J收益率影响的因子，收益率影响的因子， 是是证证券券J J与各指与各指数无关的平均收益率，数无关的平均收益率， 是是证证券券J J收益率与各指数收益率与各指数无关的残差。无关的残差。9292第五第五节节 多指数模型多指数模型 在多指数模型中，假在多指数模型中，假设设在上述假在上述假设设下，下，类类似似单单指数模型，我指数模型，我们们可以得到可以得到9393第五第五节节 多指数模型多指数模型 同同单单指数模型一指数模型一样样，对对于于证证券券组

51、组合合 ，有，有9494第五第五节节 多指数模型多指数模型 其中其中从而在多指数模型下，从而在多指数模型下，证证券券组组合收益率的方差合收益率的方差为为 9595第五第五节节 多指数模型多指数模型 这时这时， 马马柯柯维维茨茨组组合投合投资资模型模型为为9696第五第五节节 多指数模型多指数模型 在多指数模型中，使用在多指数模型中，使用较较广泛的情形是广泛的情形是证证券收益券收益率依率依赖赖于一个市于一个市场场指数指数M M和一个行和一个行业业指数指数G G的模型。的模型。即即N=2N=2的情形，此的情形，此时时其中其中 9797目前来看，能目前来看，能够够用来解用来解释证释证券收益率之券收益

52、率之间间相关因相关因素的指数有个，素的指数有个，这时这时构造的多指数模型效构造的多指数模型效果果较较好。好。在使用多指数模型在使用多指数模型时时，所需要估，所需要估计计的数据的数据为为：n n个个证证券的券的预预期收益率期收益率n n个个证证券的残差方差券的残差方差n n个市个市场场指数的指数的 - -因子因子n n个指数的个指数的预预期收益率期收益率n n个指数收益率的方差个指数收益率的方差第五第五节节 多指数模型多指数模型 9898第五第五节节 多指数模型多指数模型 这样这样，在，在给给定目定目标预标预期收益率下，我期收益率下，我们们就可以构就可以构造造优优化模型，可以求出投化模型，可以求出投资组资组合的合的权权重，使其具重，使其具有最小的有最小的证证券券组组合方差。合方差。9999第六第六节节 风险风险分解分解100100101101102102103103104104105105106106107107108108109109论论文：文：110110本章本章结束束111111