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1、第第14章章 误差处理与数误差处理与数据处理据处理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制x 测量误差测量误差 x 测量结果测量结果 x0 真值真值定义：测量结果与其真值的差异定义：测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值真值：被测量的客观真实值理论真值：理论上存在、计算推导出来理论真值：理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180约定真值：国际上公认的最高基准值约定真值：国际上公认的最高基准值如：基准米如：基准米 1m=1 650 763.73 (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测利用高一
2、等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值量结果作为近似真值标准仪器的测量标准差标准仪器的测量标准差 1/3 测量系统标准差测量系统标准差 检定检定定性概念，定量表示定性概念，定量表示14.1.1 测量误差的定义测量误差的定义北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 绝对误差是示值与被测量真值之间的差值。设被绝对误差是示值与被测量真值之间的差值。设被测量的真值为测量的真值为A A0 0，器具的标称值或示值为，器具的标称值或示值为x x，则绝对误，则绝对误差为差为14.1.2 测量误差的表示测量误差的表示绝对误差绝对误差 由于一般无法求得真值由于一般无法求
3、得真值A A0 0，在实际应用时常用精，在实际应用时常用精度高一级的标准器具的示值，即实际值度高一级的标准器具的示值，即实际值A代替真值代替真值A0 。x与与A之差称为测量器具的示值误差，记为之差称为测量器具的示值误差，记为通常以此值来代表绝对误差。通常以此值来代表绝对误差。北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 相相对对误误差差是是绝绝对对误误差差与与被被测测量量的的约约定定值值之之比比。相相对对误差有以下表现形式：误差有以下表现形式：相对误差相对误差 实际相对误差：实际相对误差：绝对误差绝对误差x x与被测量的实际值与被测量的实际值A A的百分比。
4、的百分比。 示值相对误差：示值相对误差：绝对误差绝对误差xx与测量器具的示值与测量器具的示值x x的的百分比。百分比。 满度（引用）相对误差：满度（引用）相对误差：绝对误差绝对误差x x与器具满度与器具满度值值x xm m之比之比 , , 是应用最多的误差表示方法。是应用最多的误差表示方法。14.1.2 测量误差的表示测量误差的表示北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制14.1.3 测量误差的来源测量误差的来源电路：电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声电源波动、元件老化、漂移、电气噪声（1）原理误差：原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差测量原
5、理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：近似：理论分析与实际情况差异。如：非线性比较理论分析与实际情况差异。如：非线性比较小时可以近似为线性小时可以近似为线性 假设：假设：理论上成立、实际中不成立。如：误差因素理论上成立、实际中不成立。如：误差因素互不相关互不相关 方法：方法：测量方法存在错误或不足。如：采样频率低、测量方法存在错误或不足。如：采样频率低、测量基准错误测量基准错误（2）装置误差：装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程化、蠕变、空程北京工业
6、大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制（3 3）环境误差：）环境误差：测量环境、条件引起的测量误差测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动气流扰动(4) (4) 使用误差：使用误差：读数误差、违规操作读数误差、违规操作14.1.3 测量误差的来源测量误差的来源北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制14.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类(1) 随机误差随机误差 ( random error )正正态态分分布布性质性质：原
7、因原因：装置误差、环境误差、使用误差：装置误差、环境误差、使用误差处理：处理：统计分析、计算处理统计分析、计算处理 减小减小对称性对称性单峰性单峰性有界性有界性抵偿性抵偿性次数统计绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于0北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制随机事例的例子随机事例的例子 彩票摇奖彩票
8、摇奖(1) 随机误差随机误差 ( random error )14.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制性质性质：有规律，可再现，可以预测：有规律，可再现，可以预测原因原因：原理误差、方法误差、环境误：原理误差、方法误差、环境误 差、使用误差差、使用误差处理处理：理论分析、实验验证：理论分析、实验验证 修正修正夏天摆钟变慢的原因是什么？夏天摆钟变慢的原因是什么？(2) 系统误差系统误差 ( system error )14.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类北京工业大学机电学院北京工业大学
9、机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制性质性质：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在 一起一起原因原因：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强 大的干扰所引起大的干扰所引起处理处理：判断、剔除：判断、剔除(3) 粗大误差粗大误差 ( abnormal error )14.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制精密度精密度( precision )： 概念：概念：重复测量时，测量结果的分散性重复测
10、量时，测量结果的分散性 表述：表述：随机误差的标准差随机误差的标准差 ( standard deviation )准确度准确度( accuracy) ： 性质：性质：测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响 程度程度 表述：表述：平均值与真值的偏差平均值与真值的偏差 ( deviation )精确度精确度 ( 正确度正确度) ： 性质：性质：系统误差和随机误差综合影响程度系统误差和随机误差综合影响程度 表述：表述：不确定度不确定度 ( uncertainty )工程表示：工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范引用误差，最大允许误差相对于仪表测量
11、范围地百分数围地百分数0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级七级14.1.5 测量精度测量精度北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制精度精度：测量结果与真值吻合程度：测量结果与真值吻合程度定性概念定性概念测测量量精精度度举举例例准准确确不不精精密密不不精精密密不不准准确确精精密密不不准准确确精精密密准准确确14.1.5 测量精度测量精度北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制算术平均值法算术平均值法异常数据剔除异常数据剔除最小二乘法最小二乘法函数误差函数误差14.2 数据处理一般
12、方法数据处理一般方法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制表述：表述：式中式中x1, x2, xn 测量数据测量数据原理：原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平多次重复测量时，取全部测量数据的算术平 均值为测量结果均值为测量结果性质：性质：(1) 残余误差的代数和等于零，即残余误差的代数和等于零，即 算术平均值法可以滤除或减小偶然误差算术平均值法可以滤除或减小偶然误差(2) 残余误差的平方和为最小残余误差的平方和为最小 最小二乘法基础最小二乘法基础残余误差残余误差随机误差随机误差14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大
13、学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制随机误差的评定（关键求出随机误差的评定（关键求出的大小）的大小）求标准偏差求标准偏差的理论公式的理论公式关键关键: L未知未知1、标准偏差、标准偏差14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制估算估算Bessel公式：公式：实测数据的标准偏差实测数据的标准偏差S（标准不确定度）（标准不确定度）1、标准偏差、标准偏差14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2、随机误差的极限误差、随机误差的极限误差
14、3、求算术平均值的实验标准偏差、求算术平均值的实验标准偏差14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4、随机误差服从正态分布、随机误差服从正态分布随机误差随机误差测量值测量值 ：标准偏差，反映测量结果的分散性：标准偏差，反映测量结果的分散性 L ：真值：真值14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制5、系统误差的消除、系统误差的
15、消除定值系统误差：定值系统误差： 用用“修正表修正表”方法消除方法消除 用用“抵消法抵消法”方法消除方法消除变值系统误差：变值系统误差： 线性变化系统误差线性变化系统误差对称法消除对称法消除 周期性变化误差周期性变化误差半周期法消除半周期法消除14.2.1 算术平均值法算术平均值法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制说明：说明：(1)测量误差为随机变量，且符合正态分布测量误差为随机变量，且符合正态分布(2) 真值必然处于一个有限的范围真值必然处于一个有限的范围原理：原理：当测量结果超出正常范围时，给予剔除当测量结果超出正常范围时，给予剔除准则：准则：
16、测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的3 倍倍(3) 此法只适合于测量数据大于此法只适合于测量数据大于10个的情况个的情况概率概率 95.4%概率概率 99.73%，即，即3以外的概以外的概率为率为0.27%3准则准则(莱以特准则莱以特准则)14.2.2 异常数据剔除异常数据剔除北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制数据处理过程数据处理过程 发现和消除系统误差发现和消除系统误差 求算术平均值求算术平均值 求求“残差残差”及标准偏差及标准偏差 判别和消除粗大误差判别和消除粗大误差 求算术平均值的标准偏差求算术平均值的
17、标准偏差 写出测量结果写出测量结果14.2.2 异常数据剔除异常数据剔除北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制计算举例计算举例14.2.2 异常数据剔除异常数据剔除北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制算术平均值的算术平均值的标准误差：标准误差：分分组组重重复复多多次次测测量量，以以每每组组算算术术平平均均值值作作为为处处理理数数据据算术平均值法算术平均值法14.2.2 异常数据剔除异常数据剔除北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 直线拟合直线拟合 一元线性回归方程一
18、元线性回归方程 曲线拟合曲线拟合 一元非线性回归方程一元非线性回归方程 多项式回归多项式回归 多元线性回归多元线性回归 14.2.3 最小二乘法最小二乘法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制一元线性回归方程一元线性回归方程拟合直线形式：拟合直线形式：实际测量值实际测量值 与回归值与回归值 之差：之差： 与与 偏差平方和：偏差平方和：因因正规方程正规方程14.2.3 最小二乘法最小二乘法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制解正规方程得：解正规方程得：其中：其中：一元线性回归方程一元线性回归方程14.2.3 最
19、小二乘法最小二乘法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 曲线问题曲线问题 直线问题（变量代换）直线问题（变量代换） 回归曲线回归曲线 回归多项式回归多项式n步骤：步骤：(1) 确定函数的类型确定函数的类型 （如双曲线、指数曲线、对数曲线等（如双曲线、指数曲线、对数曲线等）(2) 求解相关函数中的未知参数求解相关函数中的未知参数n举例举例: 指数曲线指数曲线一元线性回归方程一元线性回归方程14.2.3 最小二乘法最小二乘法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制酚含量酚含量x0.0050.0100.0200.03
20、00.0400.050吸光度吸光度y0.0200.0460.1000.1200.1400.180例题例题14.2.3 最小二乘法最小二乘法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 某位移传感器在校准时测得的数据如下表，若该某位移传感器在校准时测得的数据如下表，若该传感器的线性表达式为传感器的线性表达式为 ，试用最小二乘法，试用最小二乘法 ，计算，计算 和和 。脉冲数脉冲数ni1020304050位移值位移值xi0.10.20.30.40.5一元线性回归方程一元线性回归方程14.2.3 最小二乘法最小二乘法北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 (1) 基本公式基本公式函数误差函数误差其中其中：各直接测量值的误差各直接测量值的误差各个误差的传递函数各个误差的传递函数14.2.4 函数误差计算函数误差计算北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 (2) 计算计算系统误差系统误差偶然误差偶然误差14.2.4 函数误差计算函数误差计算
