《3.1二阶常微分方程的幂级数解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.1二阶常微分方程的幂级数解法（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 特征值问题与特殊函数特征值问题与特殊函数3.1 二阶常微分方程的幂级数解法二阶常微分方程的幂级数解法特征方程为特征方程为特解特解1. 变系数变系数常系数常系数 （不是都可以用）（不是都可以用）2. 幂级数法幂级数法 f(x)Taylor展开展开在收敛区域内在收敛区域内收敛半径收敛半径解析解析：若若 f(x) 在在0点的某个邻域内点的某个邻域内C，且，且Taylor级数收敛，称级数收敛，称 f 在在0点解析。点解析。解析函数由局部性质可推知整体性质解析函数由局部性质可推知整体性质.3.1.1 幂级数解法理论概述幂级数解法理论概述 用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输用球
2、坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标 系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出 现各种各样的现各种各样的特殊函数方程特殊函数方程它们大多是二阶线性常它们大多是二阶线性常 微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二阶微分方程这向我们提出求解带初始
3、条件的线性二阶微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二阶微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常常常常微分方程定解问题。微分方程定解问题。我们讨论复变函数我们讨论复变函数 的的线线性二性二阶阶常微分方程常微分方程（3.1.1）其中其中其中其中Z Z为为为为复变数复变数复变数复变数， 为为选选定的点定的点，为为复常数复常数 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出， 但可用但可用幂级数解法幂级数解法解出所谓幂级数解法，就是在某个任解出所谓幂级数解法，就是在某个任意点意点的的邻邻域上，把待求的解表域上，把待求的解表为为系数待定的系数待定
4、的幂级幂级数，数， 代入方程以逐个确定系数代入方程以逐个确定系数 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于广，可借助于广，可借助于广，可借助于解析函数的理论解析函数的理论进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论 求得的解既然是级数，就有是否求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围收敛以及收敛范围的问题的问题 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中分方程的求解问题中 定义定义定义定义 3.1.1 3
5、.1.1 常点常点常点常点 奇点奇点奇点奇点 如果方程（如果方程（如果方程（如果方程（3.1.13.1.1）的系数函数）的系数函数）的系数函数）的系数函数 和和在在选选定的点定的点的邻域的邻域中是解析的，中是解析的，则则点点方程（方程（3.1.1）的）的常点常点. 如果选定的点如果选定的点 是是或或的的奇点奇点，则则点点 叫作方程（叫作方程（3.1.1）的）的奇点奇点 叫作叫作1方程的常点和奇点概念方程的常点和奇点概念2. 2. 常点邻域上的幂级数解定理常点邻域上的幂级数解定理常点邻域上的幂级数解定理常点邻域上的幂级数解定理定理定理3.1.1 若方程（若方程（若方程（若方程（3.1.13.1.
6、1）的系数）的系数）的系数）的系数 关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有下面的定理下面的定理和和为为点点的的邻邻域域中的中的解析函数解析函数， 则方程在这圆中存在则方程在这圆中存在唯一的解析解唯一的解析解 满足满足初始条件初始条件，其中，其中是是任意任意给给定的复常数定的复常数故可以把故可以把故可以把故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数它表示为此邻域上的泰勒级数它表示为此邻域上的泰勒级数它表示为此邻域上的泰勒级数. . 既然既然线线性二性二阶阶常微分方程在常点常微分方程在常点的的邻邻域域上上存在唯一的解析解存在唯一的解析解， （3.1.2）
7、其中其中为为待定系数待定系数 为了确定级数解（为了确定级数解（为了确定级数解（为了确定级数解（3.1.23.1.2）中的）中的）中的）中的系数系数系数系数，具体的做法是以，具体的做法是以，具体的做法是以，具体的做法是以 （3.1.23.1.2）代入方程（）代入方程（）代入方程（）代入方程（3.1.13.1.1），合并同幂项，令合并后的系数），合并同幂项，令合并后的系数），合并同幂项，令合并后的系数），合并同幂项，令合并后的系数分分别为别为零，找出系数零，找出系数之之间间的的递递推关系推关系， 最后用已最后用已给给的初的初值值，来确定各个系数来确定各个系数 从而求得从而求得确定的级数解确定的级数
8、解 下面以下面以阶阶勒勒让让德方程德方程为为例例，具体，具体说说明明级级数解法的步数解法的步骤骤 3.1.2 3.1.2 常点邻域上的幂级数解法常点邻域上的幂级数解法常点邻域上的幂级数解法常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解勒让德方程的求解勒让德方程的求解勒让德方程的求解注明注明： 推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论.由分离变量法得到了勒让德方程由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在，下面讨论在 邻邻域上求解域上求解阶阶勒勒让让德方程德方程 即为即为即为即为 故方程的系数故方程的系数故方程的系数故方程的系数 在在 ，单
9、值函数，单值函数 ，均均为为有限有限值值，它，它们们必然在必然在解析解析 点点点点 故可设勒让德方程具有故可设勒让德方程具有故可设勒让德方程具有故可设勒让德方程具有是方程的常点根据常点邻域上解的定理，是方程的常点根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式解具有泰勒级数形式. （3.1.3） 泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系递推关系 （3.1.4）因此，由任意常数因此，由任意常数因此，由任意常数因此，由任意常数 可计算出任一系数可计算出任一系数可计算出任一系数可计算出任一系数 首先在（首先在（3.1.4）中令）中令 可得可得偶次
10、项的系数偶次项的系数 (3.1.5 )令令，则可得，则可得奇次项的系数奇次项的系数 将它们代入解的表达式中，得到将它们代入解的表达式中，得到将它们代入解的表达式中，得到将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式勒让德方程解的形式勒让德方程解的形式勒让德方程解的形式 (3.1.7) (3.1.7)(3.1.6)其中其中其中其中 分别是偶次项和奇次项组成的级数，分别是偶次项和奇次项组成的级数，分别是偶次项和奇次项组成的级数，分别是偶次项和奇次项组成的级数， 不是整数时不是整数时 ，无穷级数无穷级数，容易求，容易求得其得其收敛半径均为收敛半径均为1 时，时， 发散于无穷发散于无穷 是非是非负负整
11、数整数 递推公式（递推公式（3.1.4） 是是偶数偶数时，时， 是一个是一个次次多多项项式式，但函数，但函数 为在为在 处发散至无穷的处发散至无穷的无穷级数无穷级数 是是奇数奇数时时， 是是次次多多项项式式，而，而仍然是在仍然是在处处无界的无界的无无穷级穷级数数 是负整数时是负整数时是负整数时是负整数时 一个是一个是多项式多项式，另一个，另一个是无界的是无界的无穷级数无穷级数 所以不妨设所以不妨设所以不妨设所以不妨设 导出这个多项式的表达式导出这个多项式的表达式导出这个多项式的表达式导出这个多项式的表达式 , ,是非是非负负整数整数（因在（因在实际问题实际问题中一般中一般总总要求有界解）要求有
12、界解） 把系数把系数递推公式（递推公式（3.1.4）改写成改写成 (3.1.8)于是可由多于是可由多项项式的式的最高次最高次项项系数系数来表示其它各来表示其它各低低阶项阶项系数系数取多项式取多项式取多项式取多项式最高次项系数为最高次项系数为最高次项系数为最高次项系数为 (3.1.9)这样取主要是为了使所得多项式在这样取主要是为了使所得多项式在 处取值为处取值为1，即，即实现归一化实现归一化. 可得系数的一般式为可得系数的一般式为 (3.1.10)因此，我们得出结论：因此，我们得出结论：是非负偶数时，是非负偶数时，勒让德方程有解勒让德方程有解 （3.1.11）是正奇数时，是正奇数时，勒让德方程有
13、解勒让德方程有解 (3.1.12)对上述讨论进行综合，若用对上述讨论进行综合，若用 表示不大于表示不大于 的的整数部分，整数部分，用大写字母用大写字母写成写成统统一形式解一形式解（3.1.13） 我们已经指出，在我们已经指出，在 是非负整数时，勒让德方程的是非负整数时，勒让德方程的基本解组基本解组 中只有一个多项式，这个多项式中只有一个多项式，这个多项式勒让德多项式勒让德多项式 ，也称为，也称为第一类勒让德函数；第一类勒让德函数； 另一个是无穷级数，这个无穷级数称为另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数第二类勒让德函数， 记为大写的记为大写的 可以得出它们的关系可以得出它们的关系（
14、3.1.14）经过计算后，经过计算后， 可以通过对数函数及勒让德多项式可以通过对数函数及勒让德多项式 表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为 (3.1.15)特别地特别地(3.1.16) 可以证明这样定义的可以证明这样定义的 ，其，其递推公式递推公式和和 的的递推公式递推公式具有相同的形式而且在一般情况下勒让德方程具有相同的形式而且在一般情况下勒让德方程的的通解通解为为两个独立解的线性叠加两个独立解的线性叠加（3.1.17）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，它在端点的形式
15、容易看出，它在端点 处是无界的，处是无界的，故必须取常数故必须取常数 从而勒让德方程的解就只有从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式：第一类勒让德函数即勒让德多项式： 注：法国数学家勒让德（注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 17251833）最早专）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类类特殊函数由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为函数为勒让德函数勒让德函数.综合可得如下结论：综合可得如下结论：（1）当）当 不是整数不是整数时时，勒
16、，勒让让德方程在区德方程在区间间上无有界的解上无有界的解 （2）当）当 为整数时，勒让德方程的为整数时，勒让德方程的通解通解为为 ，其中，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， 称为第二类勒让德函数称为第二类勒让德函数. 为整数，且要求在自然边界条件下为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在即要求在 有界解的情况下有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解求解，则勒让德方程的解只有第一只有第一 类类勒勒让让德函数即勒德函数即勒让让德多德多项项式式因因为为第二第二类类勒让德函数勒让德函数 在闭区间在闭区间 上是无界的上是无界的13.1.3 奇点邻域的级
17、数解法：贝塞尔方程的求解奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以 表示自变量，以表示自变量，以 表示未知函数，则表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为阶贝塞尔方程为 (3.1.18)其中，其中， 为任意实数或复数（这里特用为任意实数或复数（这里特用 而不是而不是 ，表示可以取任意数）但在本书中，表示可以取任意数）但在本书中 由于方程的系数中出现由于方程的系数中出现 只限于取实数，只限于取实数，项，所以在讨论时，不妨暂先假定项，
18、所以在讨论时，不妨暂先假定 注意在注意在贝塞尔方程贝塞尔方程中，因为中，因为 故故 为为 的的奇点奇点 下面介绍下面介绍奇点邻域的幂级数解法奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解设方程（设方程（13.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式：）的一个特解具有下列幂级数形式： (3.1.19）其中，常数其中，常数 和和 可以通过把可以通过把 和它的导数和它的导数 代入（代入（3.1.18）来确定）来确定 将（将（3.1.19）及其导数代入（）及其导数代入（3.1.18）后，得）后，得化简后写成化简后写成要使上式恒成立，必须使得各个要使上式恒成立，必须使得各个 次幂的次幂的系数为零系
19、数为零， 从而得下列各式：从而得下列各式： (3.1.20) (3.1.21)(3.1.22)由（由（3.1.20） 得得 ；代入（；代入（3.1.21），得），得 现暂取现暂取 ，代入（，代入（3.1.22）得）得 (3.1.23)因为因为 ，由（，由（3.1.23）知：）知： 都可以用都可以用 表示，即表示，即由此知（由此知（3.1.19）的一般项为）的一般项为是一个是一个任意常数任意常数，令，令 取一个取一个确定的值确定的值，就得（，就得（3.1.18） 的一个的一个特解特解我们把我们把 取作取作 这样选取这样选取 与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关
20、 运用下列恒等式运用下列恒等式 使使分母简化分母简化，从而，使（，从而，使（3.1.19）中一般项的）中一般项的系数变成系数变成 （3.1.24） 以（以（3.1.24）代入（）代入（3.1.19）得到贝塞尔方）得到贝塞尔方程（程（3.1.18）的一个）的一个特解特解用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数 所确定的函数，称为所确定的函数，称为 阶第一类贝塞尔函数，记作阶第一类贝塞尔函数，记作 (3.1.25）至此，就求出了至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解贝塞尔方
21、程的一个特解 另外，当另外，当 即取即取负值负值时，用同样方法可时，用同样方法可得得贝塞尔方程（贝塞尔方程（3.1.18）的另一特解）的另一特解 （3.1.26）比较（比较（3.1.25）与（）与（3.1.26）可见，只需在（）可见，只需在（3.1.25）的右）的右端把端把 换成换成 ，即可得到（，即可得到（3.1.26）故不论）故不论 是正是正 数还是负数，总可以用（数还是负数，总可以用（3.1.25）统一地表达第一类贝）统一地表达第一类贝塞尔函数塞尔函数讨论：讨论：(1)当当 不为整数时不为整数时，例如，例如 为分数阶贝塞尔函数：为分数阶贝塞尔函数： 等等, 当当 时，时， 故这两个特解故
22、这两个特解 与与 是是线性无关线性无关的，由齐次线的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，（性常微分方程的通解构成法知道，（3.1.18）的）的通解通解为为 （3.1.28）其中，其中， 为两个任意常数为两个任意常数 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法根据系数关系，且由达朗贝尔比值法故级数故级数 和和 的的收敛范围收敛范围为为 (2)当当 为正整数或零时（注为正整数或零时（注:以下推导凡以下推导凡用 即表整数），即表整数）， 故有故有（3.1.27）称称 为为整数阶贝塞尔函数整数阶贝塞尔函数易得易得 需注意在取需注意在取整数的情况整数的情况下，下， 和和 线性相关线性相关，这是因为这是因为:
23、由于由于 是是零或正整数零或正整数，只要，只要 ，则，则 是零或负整数，而对于零或负整数的是零或负整数，而对于零或负整数的 函数为函数为无穷大无穷大，所以上面的级数实际上只从，所以上面的级数实际上只从 开始若令开始若令 ，则，则 从零开始，故从零开始，故 可见正、负可见正、负 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 这时贝塞尔方程的这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解通解需要求出与之线性无关的另一个特解 我们定义我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为为 是一个是一个特解特解，它既满足贝塞尔方程，又与，它既满足贝塞
24、尔方程，又与 线性无关线性无关 这样我们可以得到这样我们可以得到其中，其中， 为为欧拉常数欧拉常数可以证明这个函数，确实是可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解贝塞尔方程的一个特解， 而且是与而且是与 线性无关的（因为当线性无关的（因为当 时，时， 为有限值，而为有限值，而 为无穷大）为无穷大） 综述综述：（：（1）当）当 ，即不取整数时，其贝塞尔方程的，即不取整数时，其贝塞尔方程的通解可表示为通解可表示为（2）不论）不论 是否为整数，贝塞尔方程的是否为整数，贝塞尔方程的通解都通解都可可表示为表示为其中其中 为任意常数，为任意常数， 为任意实数为任意实数 32 施图姆刘维尔特征值问题施图
25、姆刘维尔特征值问题 从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值这些特定值叫做程的参数取某些特定值这些特定值叫做本征值本征值（或特征值、或固有值），（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做相应的非零解叫做本本征函数征函数（特征函数、固有函数求本征值和本征（特征函数、固有函数求本征值和本征函数的问
26、题叫做函数的问题叫做本征值问题本征值问题. 常见的本征值问题都可以归结为施图姆常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)刘维尔刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的意义的施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题321施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题定义定义 3.2.1 施图姆刘维尔型方程施图姆刘维尔型方程 通常把具有形式通常把具有形式 （3.2.1）的二阶常微分方程叫作施图姆刘维尔型方程，简称的二阶常微分方程叫作施图姆刘维尔型方程，简称施刘型方程施刘型方程 研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般
27、的研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程二阶常微分方程 通常乘以适当的函数通常乘以适当的函数 ，就可以化成，就可以化成施图姆刘维尔型方程施图姆刘维尔型方程 (3.2.2) 施图姆刘维尔型方程（施图姆刘维尔型方程（13.2.1）附加以齐次的第一类、）附加以齐次的第一类、第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题 .讨论讨论 (1) 或或 再加上自然边界条件：再加上自然边界条件： 有界有界.就构成了就构成了勒让德勒让德方程本征值问题方程本征值问题或或 （3.2.3）(2) 或或 再加上自然边界条件：再加上自然边界条件： 有界有界. 即构成即构成连带勒让德方程本征值问题连带勒让德方程本征值问题（3.2.）
