自动控制原理：第2章 控制系统的数学模型

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1、1交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理自动控制原理自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 2.1 引言 2.2 控制系统的时域数学模型 复习： 拉普拉斯变换有关知识2交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理自动控制原理课程的任务与体系结构3交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2 控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理时域模型时域模型 微分方程微分方程复域模型复域模型 传递函数传递函数4交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2.1 引言数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式 建模方法 解析

2、法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性5交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2.2 控制系统的数学模型微分方程线性定常系统微分方程的一般形式6交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2.2 控制系统的数学模型微分方程2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程例1 R-L-C 串连电路7交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理控制系统的数学模型基本术语：2024/7/27a.输入量：体现引起运动的原因的物理量。 本例中，U

3、r(t)是输入量b.受控量：体现运动的物理量。 本例中，电流i(t)、uc(t)是受控量。c.输出量：需要重点研究的受控量。d.中间变量：某些受控制量选为输出量后，其余的受控量就视作中间变量。把uc(t)选作输出量，i(t)为中间量。8交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2.2 控制系统的数学模型分析法建模的步骤2024/7/271.建立物理模型。任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。2.列写原始方程。利用适当

4、的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）3.选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。9交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 2.3 线性微分方程的解2024/7/27有两种解法（1）正规解法; （2）拉普拉斯变换法1. 正规解法的解是特解，是齐次线性微分方程的通解。代表对象的自由运动。10交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 2.3 线性微分方程的解2024/7/27例特征方程是特征根是齐次微分方程的解11交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理

5、理 2.3 线性微分方程的解2024/7/27定义：如果微分方程的特征根是其中没有重根，则把函数定义为该微分方程所描述的运动的模态。每一种模态代表一种类型的运动形态。12交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 线性定常微分方程求解微分方程求解方法 13交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（1）1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数复函数 例1 （2）模、相角 （3）复数的共轭 模相角 14交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（2）2 拉氏变换的定义 （1）阶跃函数像函数原函数3 常

6、见函数的拉氏变换（2）指数函数15交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数16交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明：0初条件下有： 17交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2 求解： 例3 求解： 18交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理零初始条件下有：进一步有： 例4 求 Lt=? 解. 例5 求解. 1

7、9交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（7）（4）实位移定理证明：例6解： 令20交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明：令例7例8例921交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：例10由微分定理22交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：例11（终值确实存在时）例12由微分定理23交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 复习

8、拉普拉斯变换有关内容（11）用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换24交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理控制系统的数学模型课程小结课程小结 (1)(1)时域模型 微分方程 元部件及系统微分方程的建立 线性定常系统微分方程的特点 微分方程求解25交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 课程小结 (2)1 拉氏变换的定义 （2）单位阶跃2 常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数26交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理 课程小结 (3)（2）微分定理3 L变换重要定

9、理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理27交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/272.5 传递函数一传递函数定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统微分方程的一般形式为：设R(s) = Lr(t), C(s) = Lc(t), 当初始条件均为当初始条件均为0时时,有有 (sn+a1sn-1 + an-1s+an)C(s) = (b0sm+b1sm-1+bm-1

10、s+bm)R(s) 即传递函数即传递函数: : 28交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27二注意二注意 （1）传递函函数数是是由由微微分分方方程程在在初初始始条条件件为零零时进行行拉拉氏氏变换得到的得到的,是以是以s为自变量的函数，为自变量的函数，s为复频率。为复频率。（2）如果已知系）如果已知系统的的传递函数和函数和输入信号入信号,则可根据式求得初可根据式求得初始条件始条件为零零时输出量的拉氏出量的拉氏变换式式C（S）,再求再求C（S）的拉氏）的拉氏反反变换可得到系可得到系统的响的响应 c(t)。所以。所以传递函数和微分方程、函数和微分方程、传递函数与函数

11、与时域响域响应之之间都具有密切都具有密切联系系 。（3）传递函数的分母多函数的分母多项式即式即为微分方程的特征多微分方程的特征多项式式 。G(s)还可写成还可写成29交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27性质性质1 1 传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mnmn，且，且具有复变量函数的所有性质。具有复变量函数的所有性质。三传递函数的几点性质性质性质2 2 G(s)G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。式（幅度与大小）无关。性质性质3 3 G(s

12、)G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。全相同的传递函数。性质性质4 4 如果如果G(s)G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。作用下的输出响应。30交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27性质性质5 5 传递函数传递函数G(s)G(s)的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应g(t)g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）脉冲响应（脉

13、冲过渡函数）g(t)g(t)是系统在单位脉冲输入是系统在单位脉冲输入时的输出响应。时的输出响应。 例例 求求课本中的例课本中的例2.2.22.2.2中的传递函数中的传递函数系统的微分方程为零初始条件下，对两端求拉氏变换得零初始条件下，对两端求拉氏变换得31交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27系统的传递函数为：若输入为 单位阶跃函数,初始时刻电容电压为0,则所以32交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27四、 脉冲响应与阶跃响应1、单位脉冲函数特别地，当 时，2、脉冲响应零初值条件下，令对象的输入量为 ，则对象的响应为脉冲响

14、应33交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/273、阶跃响应零初值条件下，若对象的输入量是单位阶跃函数 1(t) ,则对象的响应称为阶跃响应。34交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27五、传递函数的极点和零点对输出的影响五、传递函数的极点和零点对输出的影响 极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统输入量为零时自由运动的模态。为传递函数的零点为传递函数的极点设对象的传递函数是显然，极点分别是-1，-2，自由运动的模态是e-t,e-2t设输入量是 35交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27

15、是实常数在零初始条件下，得到系统的输出可求得36交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 零点作用：影响各模态在响应中所占的比重，因而影响响应曲线的形状。从工程角度看，决不能认为系统的动态性质唯一或主要地由传递函数的极点决定，必须注意到零点的作用。极点作用：传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态37交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理控制系统的数学模型38交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理结构图的组成及绘制39交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/271 1方

16、框图的基本概念方框图的基本概念 控制系统的方框图是系统各元件特性、系统结构和信号控制系统的方框图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。流向的图解表示法。六六. . 控制系统的方框图控制系统的方框图( (结构图）结构图）40交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27（1）方框（）方框（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间表示输入到输出单向传输间 的函数关系。方框中写入元部件或系统的传递函数。的函数关系。方框中写入元部件或系统的传递函数。G( s )R ( s )C ( s ) 图图2-122-12 方框图中的方框方框图中的方框信号线信

17、号线方框方框r(t)c(t)2. 方框图元素（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。直线旁标记信号的时间函数或象函数。41交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27表示对两个或两个以上的输入信号进行加减运算。表示对两个或两个以上的输入信号进行加减运算。 “+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写。号可省略不写。 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。+11+22+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sR11-2+32-3图 2-13

18、（3）比较点（合成点、综合点）比较点（合成点、综合点）42交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27表示信号测量或引出的位置。从同一位置引出的信号在数表示信号测量或引出的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。值和性质方面完全相同。 (4)分支点（引出点、测量点）分支点（引出点、测量点）43交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27（1 1）分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它）分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示。们用方框表示。（2 2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块

19、连接）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。起来，便可得到系统的方块图。系统方框图系统方框图- -也是系统数学模型的一种。也是系统数学模型的一种。 4方框图的绘制44交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27RCi（a）iuou图2-18 一阶RC网络 解：由图解：由图2-18，利用基尔霍夫电压定律，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：及电容元件特性可得：对其进行拉氏变换得： 例：画出下列例：画出下列RC电路的方块图。电路的方块图。45交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27将图（将图（

20、b b）和）和(c)(c)组合起来即得到图组合起来即得到图(d)(d)一阶一阶RCRC网络的方块图。网络的方块图。（b）I (s)(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo图 2-19（d）I (s )(sUo)(sUo)(sUi图 2-2046交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27(1)前向通路传递函数前向通路传递函数-假设假设N(s)=0 ,打开反馈后，输出打开反馈后，输出C(s)与与R(s)之比。等价于之比。等价于C(s)与误差与误差E(s)之比之比 +H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打打开开反反馈馈)(1sG)(2sGC(s)图2-15

21、反馈控制系统方块图2.7 闭环系统的传递函数一.闭环系统47交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27(3)(3)开环传递函数：开环传递函数： 假设假设N(s)=0N(s)=0，主反馈信号，主反馈信号B(s)B(s)与误差与误差信号信号E(s)E(s)之比。之比。(2)反馈回路传递函数：假设反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号，主反馈信号B(s)与与输出信号输出信号C(s)之比。之比。48交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27(4)(4)闭环传递函数闭环传递函数 Closed-loop Transfer Functi

22、on Closed-loop Transfer Function 假设假设N(s)=0N(s)=0 输出信号输出信号C(s)C(s)与输入信号与输入信号R(s)R(s)之比。之比。推导：因为推导：因为 右边移过来整理得右边移过来整理得 即 *49交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27-N(s)C(s)H(s)(2sG)(1sG图图2-16 2-16 输出对扰动的结构输出对扰动的结构(5)(5)输出对扰动的传递函数输出对扰动的传递函数 假设假设R(s)=0R(s)=0利用公式利用公式*，直接可得：，直接可得：*+-R(s）B(s)N(s)(2sGC(s)(1s

23、GH(s)50交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 方方框框图的的等等效效变换相相当当于于在在方方框框图上上进行行数数学学方方程程的的运运算算。常常用用的的方方框框图等等效效变换方方法法可可归纳为两两类。环节的的合合并并; 信号分支点或相加点的等效移信号分支点或相加点的等效移动。 方框方框图变换必必须遵循的原遵循的原则是：是：变换前、后的数学关系保前、后的数学关系保持不持不变，因此方框，因此方框图变换是一种等效是一种等效变换，同，同时由于由于传递函函数和数和变量的方程是代数方程，所以方框量的方程是代数方程，所以方框图变换是一些是一些简单的的代数运算。代数运

24、算。（）（）环节的合并的合并 环节之间互相连接有环节之间互相连接有三种基本形式：三种基本形式：串串联、并并联和和反反馈连接连接。 2.2.方框图的等效变换方框图的等效变换51交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/271 1环节的串联环节的串联 特点特点: 前一个前一个环节的的输出信号就是后一出信号就是后一环节的的输入信号入信号。下下图所示所示为三个三个环节串串联的例子。的例子。图中，每个中，每个环节的方框的方框图为：52交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 上上式式表表明明，三三个个环节的的串串联可可以以用用一一个个等等效效

25、环节来来代代替替。这种种情情况况可可以以推推广广到到有有限限个个环节串串联（各各环节之之间无无负载效效应）的的情情况况，等等效效环节的的传递函函数数等等于于各各个个串串联环节的的传递函数的函数的乘乘积，如有，如有n个个环节串串联则等效等效传递函数可表示函数可表示为：53交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/272. 2. 环节的并联环节的并联 环节并并联的的特特点点是是各各环节的的输入入信信号号相相同同，输出出信信号号相相加加（或相减）（或相减）。等效等效传递函数函数为 ：下下图所示所示为三个三个环节的并的并联，图中含有信号相加点。中含有信号相加点。 从从图中可

26、中可见:54交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 以以上上结论可可推推广广到到一一般般情情况况，当当有有n个个环节并并联时，其，其输出信号相加出信号相加则有等效有等效传递函数函数55交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/273反反馈连接接 将系将系统或或环节的的输出信号反出信号反馈到到输入端，并与原入端，并与原输入信号入信号进行比行比较后再作后再作为输入信号，即入信号，即为反反馈连接，如接，如下下图所示。所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。 正反馈：反馈信号与给定

27、输入信号符号相同的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。56交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 上述三种基本上述三种基本变换是是进行方框行方框图等效等效变换的基的基础。对于于较复复杂杂的系的系统,例如当系例如当系统具有信号交叉或反具有信号交叉或反馈环交叉交叉时,仅靠靠这三种方法是不三种方法是不够的。的。 （二）信号相加点和信号分支点的等效（二）信号相加点和信号分支点的等效变换 对于于一一般般系系统的的方方框框图，系系统中中常常常常出出现信信号号或或反反馈环相相互互交交叉叉的的现象象，此此时可可将将信信号号相相加加点点（汇合合点点）或或信信号

28、号分分支支点点（引引出出点点）作作适适当当的的等等效效移移动，先先消消除除各各种种形形式式的的交叉，再交叉，再进行等效行等效变换即可。即可。57交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 信信号号相相加加点点的的移移动分分两两种种情情况况：相相对对于于某某个个环环节节前前移移和和后移后移。 信信号号分分支支点点（取取出出点点）的的移移动也也分分两两种种情情况况：相相对对于于某某个环节个环节前移和后移前移和后移。58交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。下表列出了信号相加点和信

29、号分支点等效变换的各种方法。 59交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 此此外外，两两个个相相邻的的信信号号相相加加点点或或两两个个相相邻的的信信号号分分支支点点可可以以互互换位位置置。但但必必须注注意意，相相邻的的相相加加点点与与分分支支点的位置不能点的位置不能简单互互换。 60交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27例例：求传递函数求传递函数R1C2S+-EiEoEiEEo+R1C2s+图2-27（a)图2-27（b)61交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27+EoR1C2S-Ei图

30、2-27（c)R1C2S+-EiEo图2-27（d)EiEo图2-27（e)62交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/272.6 典型环节及其传递函数传递函数可表示成函数可表示成零、极点零、极点表示形式：表示形式：传递函数可表示成函数可表示成复复变量量s的有理分式的有理分式:63交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有设传递函数中有 个个零值极点零值极点, ,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况, ,则传则传递函数表示的一般形式为递函数表示的一

31、般形式为：64交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27从从传递函数的表示式中可以看到，函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子函数的基本因子对应的典型的典型环节有比例有比例环节、积分分环节、微分、微分环节、惯性性环节、振、振荡环节和延和延迟环节等。等。 l l比例环节比例环节 比比例例环环节节又又称称为为放放大大环环节节，其其输输出出量量与与输输入入量量之之间间的的关关系系为为固固定定的的比比例例关关系系，即即它它的的输输出出量量能能够够无无失失真真、无无延延迟迟地地按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为

32、c(t)=Kr(t) t0 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 ：式中式中K为比例系数或比例系数或传递系数，有系数，有时也称也称为放大系数放大系数65交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/272 2惯性环节惯性环节 惯性性环节又又称称为非非周周期期环节，其其输入入量量和和输出出量量之之间的的关系可用下列微分方程来描述关系可用下列微分方程来描述：式中式中 T惯性性环节的的时间常数常数 K比例系数。比例系数。66交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/273 3积分环节积分环节K为比例系数。为比例系数。积分分环节的的动态方程方程为

33、：积分分环节具有一个零具有一个零值极点，即极点位于极点，即极点位于S平面上的坐平面上的坐标原点原点处。T称称为积分分时间常数。从常数。从传递函数表达式易求得在函数表达式易求得在单位位阶跃输入入时的的输出出为：C（t）=K t 上式上式说明，只要有一个恒定的明，只要有一个恒定的输入量作用于入量作用于积分分环节，其其输出量就与出量就与时间成比例地无限增加。成比例地无限增加。 积分分环节的的传递函数函数为：67交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/274 4振荡环节振荡环节 振荡环节的微分方程是：振荡环节的微分方程是：相相应的的传递函数函数为： T时间常数时间常数；

34、阻尼系阻尼系 数（阻尼比），且数（阻尼比），且0 1。 传递函数具有一对共轭复数极点传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面在复平面S上的位置见上的位置见右右图图。 n=1/T无阻尼自然振无阻尼自然振荡频率。共率。共轭复数极点复数极点为： 传递函数可改写函数可改写为：68交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/275微分环节微分环节 微分是积分的逆运算微分是积分的逆运算,按传递函数的不同按传递函数的不同,微分环节可微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为加微

35、分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ：相相应的的传递函数函数为： 69交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/276 6延迟环节延迟环节延延迟环节又称又称为纯滞后滞后环节、时滞滞环节。延延迟环节的的输出是出是一个延一个延迟时间 后，完全复后，完全复现输入信号，即：入信号，即：式中式中 纯延延迟时间。根据拉氏根据拉氏变换的的实位移定理，可得延位移定理，可得延迟环节的的传递函数函数为：单位位阶跃输入入时，延，延迟环节的的输出出响响应如右如右图示示。70交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27前述几种典型前述几种典型环节的方框的方

36、框图如如下下图所示所示 ：71交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/272.7 信号流图与梅逊公式 信信号号流流图和和方方框框图类似似，都都可可用用来来表表示示系系统结构构和和信信号号传送送过程程中中的的数数学学关关系系。因因而而信信号号流流图也也是是一一种种数学模型。数学模型。 方方框框图及及其其等等效效变换虽然然对分分析析系系统很很有有效效，但但是是对于于比比较复复杂的的系系统，方方框框图的的变换和和化化简过程程往往往往显得得繁繁琐、费时，并并易易于于出出错。如如采采用用信信号号流流图，则可可利利用用梅梅逊公公式式，不不需需作作变换而而直直接接得得出出系系统

37、中中任任何何两个两个变量之量之间的数学关系。的数学关系。一一. . 信号流图及其等效变换信号流图及其等效变换72交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 信号流信号流图中，用小中，用小圆圈圈“O”表示表示变量，并称其量，并称其为节点点。 节点之点之间用加用加权的有向的有向线段段连接，称接，称为支路支路。 通常在支路上通常在支路上标明前后两个明前后两个变量之量之间的数学关系，因此支的数学关系，因此支路的路的权又称又称为增益（增益（传输）。e1abcdfghC(s)R(s)1. 基本概念基本概念 73交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024

38、/7/27信号流信号流图中除有中除有节点和支路外，点和支路外，还常用到下述常用到下述术语。 （1）出支路：出支路：离开离开节点的支路。点的支路。 （2）入支路：入支路：进入入节点的支路。点的支路。 （3）源源节点点（输输入入节节点点）：只只有有出出支支路路的的节点点，对应于于自自变量或外部量或外部输入，因此也称入，因此也称为输入入节点。点。 （4）汇节点点（输输出出节节点点）：只只有有入入支支路路的的节点点，对应于于因因变量，有量，有时也称也称为输出出节点。点。 （5）混合混合节点：点：既有入支路，又有出支路的既有入支路，又有出支路的节点。点。 74交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控

39、制制原原理理2024/7/27（8）回回路路：如如果果通通道道的的终点点就就是是通通道道的的起起始始点点，并并且且通通道道中中每每个个节点点只只经过一一次次，则该通通道道称称为回回路路、回回环等等。如如果果一一个个通通道道从从一一个个节点点开开始始，只只经过一一个个支支路路又又回回到到该节点点，则称称这样的通道的通道为自回自回环。 （9）前前向向通通道道：从从源源节点点出出发到到汇节点点终止止，而而且且每每个个节点只通点只通过一次的通道称一次的通道称为前向通道。前向通道。（10）互互不不接接触触回回环：如如果果一一些些回回路路没没有有任任何何公公共共节点点和和回回路，就称它路，就称它们为互不接

40、触回互不接触回环。（11）通道通道传输：指沿通道各支路指沿通道各支路传输的乘的乘积，也称，也称为通道通道增益。增益。 （12）回回环传输：又称又称为回回环增益，指回增益，指回环通道中各支路通道中各支路传输的乘的乘积。 75交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/27 例如例如下下图中，中，X0为源源节点，点，X6为汇节点。点。 X1、X2、X3、X4和和X5为混合混合节点。通道点。通道abcdej是一条前向通道，而是一条前向通道，而abcde和和fghi是普通的通道，是普通的通道，bi是一个回是一个回环，bchi不是一个回不是一个回环，因，因为有两次有两次经过节点

41、点x2。图中共有四个回中共有四个回环，即，即bi,ch,dg和和ef。两。两个互不接触的回个互不接触的回环有三种有三种组合，即合，即bi和和ef，bi和和dg，ch和和ef。本系本系统没有三个及三个以上互不接触的回没有三个及三个以上互不接触的回环。76交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/272. 信号流图的基本性质信号流图的基本性质 （1）用）用节点节点表示表示变量变量，源节点源节点代表代表输入量，汇节点输入量，汇节点代表代表输输出量出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点混合节点处，所处，所有有出支路出支路的信号（

42、即混合节点对应的变量）等于各的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信支路引入信号的代数和。号的代数和。 （2）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。 （3）对于同一系于同一系统，信号流，信号流图的形式不是唯一的。的形式不是唯一的。77交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理2024/7/273 例题 试将将下下图所示的系所示的系统方

43、框方框图化化为信号流信号流图。解解 （a）所示）所示的方框的方框图可化可化为图图(b)所示的所示的信号流信号流图，注，注意：方框意：方框图中中比比较环节的正的正负号在信号流号在信号流图中表中表现在支在支路路传输的符号的符号上。上。Pk从从R(s)到到C(s)的第的第k条前向通路传递函数条前向通路传递函数梅逊公式介绍梅逊公式介绍 R-CC(s)R(s)=Pkk:称为系统特征式称为系统特征式=1- La+ LbLc-LdLeLf+其中其中:所有单独所有单独回路增益回路增益回路增益回路增益之和之和LaLbLc所有两两互不接触回路增益乘积之和所有两两互不接触回路增益乘积之和LdLeLf所有三个互不接触

44、回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和k称为第称为第k条前向通路的余子式条前向通路的余子式求法求法: 去掉第去掉第k条前向通路后所求的条前向通路后所求的梅逊公式例梅逊公式例R-CR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G

45、2(s) G3(s)G4(s)G3(s)P2= G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )L1= G1H1L2= G2H2L3= G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)E(S)C(s)=1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2G3G2+G1G2R(s) 梅逊公式求梅逊公式求C(s)(1-G1H1)81交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理控制系统的数学模型82交通运输学院首页上页下页末页结束自自动动控控制制原原理理本章作业2024/7/27