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1、第2课时 函数奇偶性的应用 1.1.函数函数f(xf(x)=x)=x2 2，xx-1-1，2 2是是( )( )A.A.奇函数奇函数 B.B.偶函数偶函数C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.D.既奇又偶函数既奇又偶函数【提示提示】xx-1,2-1,2，不关于原点对称，不关于原点对称. .C C2.2.（20132013 山东高考）已知函数山东高考）已知函数f f（x x）为奇函数，）为奇函数，且当且当x x0 0时，时，f f（x x）= x= x2+ + ，则，则f f（-1-1）= =（ ）A A2 2 B B1 1 C C0 0 D D-2-2解题提示：解题提示：由条件利用函数的奇偶性
2、可得由条件利用函数的奇偶性可得f f（-1-1）= =-f-f（1 1），运算求得结果），运算求得结果D D3.3.如果定义在区间如果定义在区间3-a3-a，5 5上的函数上的函数f(xf(x) )是偶是偶函数，则函数，则a=_.a=_.【解析解析】f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，函数函数f(xf(x) )的定义域关于的定义域关于原点对称，原点对称，3-a+5=03-a+5=0，a=8a=88 84.4.已知已知f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，g(xg(x) )是奇函数，试将下图是奇函数，试将下图补充完整。补充完整。解：解：例例1.1.画出下列函数的图象画出下列函数的图象（1 1）
3、（2 2）分析分析：（1 1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在是偶函数，这样只要画出了在x0x0时的函数图象就时的函数图象就可以根据对称性画出函数在可以根据对称性画出函数在x0x0时的图象时的图象. .（2 2）函数是奇函数，同样根据对称性解决）函数是奇函数，同样根据对称性解决. .解解：（1 1）当）当 时，时，其图象是以点其图象是以点(1,-1)(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，为顶点，开口向上的抛物线，与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(0,0)(2,0).(0,0)(2,0).此时函数图象在此时函数图象在y y轴右
4、轴右半部分半部分如图如图所示：所示：根据函数图象的对称根据函数图象的对称性得到整个函数的图性得到整个函数的图象，如图象，如图. .（2 2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0 0，11上上单调递减，在区间（单调递减，在区间（1 1，+）上单调递增，且在（）上单调递增，且在（0 0，+）上函数值都是正值，函数在（）上函数值都是正值，函数在（0 0，+）上的最小值为）上的最小值为2.2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函数在（根据函数在（0 0，+）上的性）上的性质，作出函数质，作出函数的的图象，
5、如图第图象，如图第一象限内部分一象限内部分. .根据奇函数图象关于坐标原根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图点对称画出这整个函数的图象，如图。象，如图。探究点探究点2 2 根据函数的奇偶性求函数解析式根据函数的奇偶性求函数解析式例例2.2.已知函数已知函数f(xf(x) )在（在（0,+0,+）上的解析式是）上的解析式是f(xf(x)=2x+1)=2x+1，根据下列条件求函数在（，根据下列条件求函数在（-，0 0）上）上的解析式的解析式. .（1 1）f(xf(x) )是偶函数；是偶函数；（2 2）f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .探究点探究点3 3 利用函数的奇偶性研究函数
6、的单调性利用函数的奇偶性研究函数的单调性函数的单调性与奇偶性的关系函数的单调性与奇偶性的关系(1)(1)若若f(xf(x) )是是奇函数奇函数, ,则则f(xf(x) )在定义域关于原点对称的在定义域关于原点对称的区间上区间上单调性一致单调性一致; ;若若f(xf(x) )是是偶函数偶函数, ,则则f(xf(x) )在定义域在定义域关于原点对称的区间上关于原点对称的区间上单调性相反单调性相反. .(2)(2)奇函数奇函数在定义域关于原点对称的区间上的在定义域关于原点对称的区间上的最值相反最值相反, ,且互为相反数且互为相反数; ;偶函数偶函数在定义域关于原点对称的区间上在定义域关于原点对称的区
7、间上的的最值相等最值相等. .【提升总结提升总结】例例3.3.已知函数已知函数f(xf(x) )是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，+）上是减）上是减函数，证明函数在（函数，证明函数在（-，0 0）上也是减函数）上也是减函数. .所以所以-f(x-f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)0 )0.)0.证明：证明：在（在（-，0 0）上任取）上任取x x1 1x-x-x2 200因为函数在（因为函数在（0 0，+）上是减函数，所以）上是减函数，所以由于函数由于函数f(xf(x) )是奇函数，所以是奇函数，所以根据减函数的定义，函数根据减函数的定义，函数f(xf(x) )在（在（-，0 0）
8、上是减）上是减函数函数. .例例4 4：若：若f(xf(x) )是偶函数，其定义域为是偶函数，其定义域为(-,+)(-,+)，且，且在在0,+)0,+)上是减函数，则上是减函数，则 与与 的的大小关系是大小关系是_._.【分析分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小大小. .【解解】又又f(xf(x) )在在0,+)0,+)上是减函数上是减函数, ,又又f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，【答案答案】1.1.设偶函数设偶函数f(xf(x) )满足满足f(x
9、f(x)=x)=x3 3-8(x0)-8(x0)，则，则x|f(x-2)0x|f(x-2)0=( )=( )A.x|xA.x|x-24 x4 B.x|xB.x|x04x4C.x|xC.x|x06 x6 D.x|xD.x|x-22x2【解析解析】因为函数因为函数f(xf(x) )在（在（0,+0,+）上为增函数，且）上为增函数，且f(2)=0,f(2)=0,由偶函数的性质可知，若由偶函数的性质可知，若f(x-2)0,f(x-2)0,需满足需满足|x-2|2,|x-2|2,得得x4x4或或x0,x0,故选故选B.B.B B【提示提示】由函数由函数y=fy=f（x+6x+6）为偶函数，图象关于）为偶
10、函数，图象关于y y轴轴对称可得函数对称可得函数y=fy=f（x x）的图象关于）的图象关于x=6x=6对称，由函数对称，由函数f f（x x）在（）在（6 6，+）上上为减函数，可得在（为减函数，可得在（-，6 6）上为上为增函数，从而可判断增函数，从而可判断. .2.2.定义域为定义域为R R的函数的函数f f（x x）在（）在（6 6，+）上为减函数）上为减函数且函数且函数y=fy=f（x+6x+6）为偶函数，则（）为偶函数，则（）A Af f（4 4）f f（5 5）B Bf f（4 4）f f（7 7）C Cf f（5 5）f f（8 8）D Df f（5 5）f f（7 7）C C
11、4.4.已知奇函数已知奇函数f(xf(x) )，在（，在（-，00上的解析式是上的解析式是f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x，则这个函数在（，则这个函数在（0 0，+）上的解析式）上的解析式为为_._.5.5.已知函数已知函数f f（x x）是定义在）是定义在-4-4，44上奇函数，且上奇函数，且在在-4-4，44上单调递增若上单调递增若f f（a+1a+1）+f+f（a-3a-3）0 0，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围【解析解析】因为函数因为函数f f（x x）是定义在）是定义在-4-4，44上的奇上的奇函数，且在函数，且在-4-4，44上单调递增若上单调递增若f f（a+
12、1a+1）+ +f f（a-3a-3）0 0，则，则f f（a+1a+1）f f（3-a3-a），），解得解得-1-1a a1.1.两个性质：两个性质：1.1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；2.2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称一种题型：一种题型：具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函数具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函数在其关于原点对称的区间上的解析式在其关于原点对称的区间上的解析式但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。凡尔纳
