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1、微微微微 积积积积 分分分分(calculus)数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙. . 培根培根2集集 合合(set)小结小结 思考题思考题 作业作业函函 数数(function)1.1 集合与函数集合与函数第第1 1章章 函函 数数第第第第1 1 1 1章章章章 函函函函 数数数数具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该一、集合一、集合 集合集合元素元素(简称简称元元)(集集)元素元素(element).集合的集合的通常以大写字母通常以大写字母等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等表示集合的元素等表示集合的元
2、素.否则记否则记记作记作或或若若a是是A的元素的元素, 则说则说a属于属于A,1.1 集合与集合与函数函数空集空集. .不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为1. 集合集合(set)的概念的概念34集合分类集合分类有限集有限集无限集无限集只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列举法列举法表示集合方法有两种表示集合方法有两种描述法描述法 把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来, 例例 考察由下列元素考察由下列元素 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9可以用可以用列举法列举法将其表示成将其表示成列举法有很大的局限性列举法有很大的局限
3、性.组成的集合组成的集合A,外加花括号外加花括号.1.1 集合与集合与函数函数1.1 集合与集合与函数函数5如如: :由不超过由不超过1010的奇数组成的集合的奇数组成的集合,其元素有其元素有50亿个亿个, 要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合, 其元素是其元素是很多纸张很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用得用很多时间很多时间,不可数的不可数的, 更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 就是就是 描述法描述法. .花括号中竖线前的花括号中竖线前的x而竖线后而竖线后是是 M 中元素的通用符号中元素的通用符号,则是则是
4、x 所具有的性质所具有的性质. 的办法来表示集合的办法来表示集合,可用可用列举法列举法表示为表示为的根组成的集合的根组成的集合也可用也可用描述法描述法表示为表示为例例 由方程由方程62. 区间区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数区间是指介于某两个实数之间的全体实数.称为称为称为称为这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.开区间开区间, ,闭区间闭区间, ,1.1 集合与集合与函数函数7称为称为有限区间有限区间无限区间无限区间半开半闭区间半开半闭区间. .全体实数的集合全体实数的集合R 也可记作也可记作是无限区间是无限区间.1.1 集合与集合与函数函数83. 邻
5、域邻域(neighborhood) 数集数集即即 邻域邻域, , 记作记作几何表示几何表示1.1 集合与集合与函数函数9 有时简记为有时简记为去心去心( (空心空心) ) 即即点点a的的称为称为a的的称为称为a的的1.1 集合与集合与函数函数104. 逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“ ”表示表示 “任取任取 ”, 或或“任意给定任意给定”.“ ”表示表示 或或“能够找到能够找到”. 如如 实数的阿基米德实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样公理是这样任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自
6、然数n,用逻辑符号用逻辑符号将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写:Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写叙述的叙述的:1.1 集合与集合与函数函数“存在存在 ”, “至少存在一个至少存在一个”,111.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注二、函数二、函数(function)而是相对而是相对“过程过程”而言的而言的.常量常量; ; 变量变量. .在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常
7、量还是变量一个量是常量还是变量, 不是绝对的不是绝对的,常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法:通常用字母通常用字母 a, b, c等表示常量等表示常量, 用字母用字母 x, y, t等表示等表示变变量量.1.1 集合与集合与函数函数12 初等数学初等数学, ,变量的数学变量的数学 “常量的数学常量的数学”, , 从现在开始从现在开始, ,进入进入就其总体来说是就其总体来说是微积分微积分. .1.1 集合与集合与函数函数13 定义定义 设有两个变量设有两个变量x和和y,自变量自变量因变量因变量定义域定义域(domain)记作记作变量变量y的取值的的取值的集合称为函数的集合称为函数的值域值域(
8、range), ,即即变量变量x的变域为的变域为D,如果对于如果对于D中的每一个中的每一个x值值, 按照一定的法则按照一定的法则, 变变量量y总有唯一的数值与之对应总有唯一的数值与之对应, 则称变量则称变量y为变量为变量x的的函数函数(function), ,2. 函数概念函数概念1.1 集合与集合与函数函数14注注(1) 函数的记号函数的记号: 除常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如如相应地相应地, 函数可记作函数可记作:等等,等等,也可记作也可记作:在同一个问题中在同一个问题中, 讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数则必须用不同的记号
9、分别表示这些函数, 以示区别以示区别.1.1 集合与集合与函数函数15(2) 对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:单值函数单值函数, ,多值函数多值函数. .约定约定:今后今后无特别说明无特别说明时时, 函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(3) 构成函数的构成函数的是是两个不同的函数两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如定义域定义域Df与对应法则与对应法则 f .两个要素两个要素:1.1 集合与集合与函数函数16 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定
10、义域和对应法则有关,即即简称函数表示法的简称函数表示法的(4)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,无关特性无关特性. .1.1 集合与集合与函数函数17定义域定义域一般有两种一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切自变量所能取的使算式有意义的一切定义区间定义区间. .由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定.(2)函数的定义域常用区间来表示函数的定义域常用区间来表示,又可称为又可称为:实际问题实际问题(几何或物理问题几何或物理问题);在纯数学的研究中在纯数学的研究中 (函数由一个公式函数由一个公式实数组成的集合实数组成的集合, 这种定义域称为这种定义域称为 自然定义域自然定义域
11、. .表示的表示的).1.1 集合与集合与函数函数18例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:解解定义域是定义域是定义域是定义域是1.1 集合与集合与函数函数19常用的函数关系表示法是多种多样的常用的函数关系表示法是多种多样的. 公式法公式法(解析法解析法);主要有主要有三种形式三种形式表格法表格法.各种表示法各种表示法, 都有其都有其优点和不足优点和不足. 图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法表格法表格法今后以公式法为主今后以公式法为主, 便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观, 富有启发性富有启发性, 便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函
12、数值, 但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法. 需特别指出的是需特别指出的是, 公式法不一定仅用一个公式表示公式法不一定仅用一个公式表示函数函数. 1.1 集合与集合与函数函数20例例 某商店对一种商品的售价规定如下某商店对一种商品的售价规定如下: 购买量购买量有些函数有些函数分段函数分段函数. .称为称为函数关系也不同函数关系也不同,除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,随着自变量取不同的值随着自变量取不同的值,这种函数这种函数不超过不超过5千克时千克时, 每千克每千克0.8元元; 购买量大于
13、购买量大于5千克而不千克而不超过超过10千克时千克时, 若购买若购买 x 千克的费用记为千克的费用记为 f (x), 则则购买量大于购买量大于10千克时千克时, 超过超过10千克部分每千克千克部分每千克0.4元元,元元;在自然科学、工程技术和经济学中在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形经常会遇到分段函数的情形.其中超过其中超过5千克部分优惠价每千克千克部分优惠价每千克0.61.1 集合与集合与函数函数21 用分段函数表示函数用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案:即即注注而不是几个函数而不是几个函数!13.并画出并画
14、出其图形其图形.1.1 集合与集合与函数函数22几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数绝对值函数绝对值函数例例 定义域定义域值域值域1.1 集合与集合与函数函数23符号函数符号函数(克罗内克函数克罗内克函数) 定义域定义域值域值域对对例例有有或或克罗内克克罗内克Kronecker L. 1823 1891, 德国数学家德国数学家1.1 集合与集合与函数函数24 取整函数取整函数如如例例阶阶梯梯曲曲线线 定义域定义域值域值域表示表示不超过不超过 x 的最大整数的最大整数W = 整数整数.1.1 集合与集合与函数函数25例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数狄利克雷狄利克雷(德德)
15、1805-1859(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数) 定义域定义域值域值域由于有理数和无理数在实数集中稠密由于有理数和无理数在实数集中稠密,因此只能画出它的象征性的图像因此只能画出它的象征性的图像.有理数点有理数点无理数点无理数点1.1 集合与集合与函数函数26有界性有界性 (bounded)设函数设函数y = f (x)在区间在区间I上有定义上有定义,则说则说 f (x) 在区间在区间I上上有上有上 界界.(下下)使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有(B),3. 函数的几种特性函数的几种特性1.1 集合与集合与函数函数27 若存在常数若存在常数使得对所有使得对
16、所有则称则称 f (x) 在在I上上有界有界. 在在 I上上无界无界;都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在, 则称则称 f (x)即为对于任何即为对于任何 总总存在存在使使则称则称 f (x) 在在 I上上无界无界.有界有界无界无界1.1 集合与集合与函数函数28在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例是有界函数是有界函数;是无界函数是无界函数, 但它在区间但它在区间 在区间在区间 注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数, 就是无界函数就是无界函数.显然显然,(bounded function)有界函数有界函数. .有界等同于既有上界又有下界
17、有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界. 若若f (x) 在在I上上有界有界,不是唯一的不是唯一的.则它在则它在I上的上上的上界和界和下下界界均均1.1 集合与集合与函数函数29A. 有上界无下界有上界无下界B. 有下界无上界有下界无上界C. 有界有界, D. 有界且有界且解解C解题提示解题提示 将函数取绝对值将函数取绝对值, 然后用不等式然后用不等式放缩法放缩法.1.1 集合与集合与函数函数30单调性单调性(monotonicity)单调增加单调增加;如果对如果对恒有恒有 monotone increasing 设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D, 区间区间则称函数则
18、称函数 f (x)在区间在区间I上是上是1.1 集合与集合与函数函数31 注注 应指明单调区间应指明单调区间, 否则会产生错误否则会产生错误. 单调减少单调减少.如果对如果对恒有恒有monotone decreasing 设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D, 区间区间则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是1.1 集合与集合与函数函数32奇偶性奇偶性偶函数的图形偶函数的图形称称 f (x)为为偶函数偶函数 (even function); 设设D关于原点对称关于原点对称,1.1 集合与集合与函数函数33奇函数的图形奇函数的图形称称f (x)为为奇函数奇函数 (odd fu
19、nction). 设设D关于原点对称关于原点对称,1.1 集合与集合与函数函数34周期性周期性(periodicity)的的周期周期.周期函数周期函数(period function).如果存在一个如果存在一个正数正数l,且总有且总有l 称为称为f (x)通常称周期函数的通常称周期函数的周期周期是指是指最小正周期最小正周期. .周期为周期为 l 的周期函数的周期函数设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D,则称则称f (x)是是1.1 集合与集合与函数函数354. 生成新函数的几种运算生成新函数的几种运算设函数设函数 f (x), g(x)的定义域分别为的定义域分别为D1, D2,则可定
20、义这两个函数的下列运算则可定义这两个函数的下列运算和和( (差差) )积积商商且且线性组合线性组合为实数为实数,1.1 集合与集合与函数函数而生成新的函数而生成新的函数:365. 反函数与复合函数反函数与复合函数设函数设函数 y = f (x)的值域为的值域为W,则称变量则称变量x为变量为变量y的函数的函数,记为记为(1)定义定义反函数反函数(inverse function)如果对于如果对于W中任一中任一 y值值, 从关系式从关系式 y = f (x)中可确定唯一的一个中可确定唯一的一个称为函数称为函数y =f (x)的的反函数反函数, ,习惯上习惯上 y = f (x) 的的反函数记为反函
21、数记为x值值,1.1 集合与集合与函数函数37求反函数的步骤求反函数的步骤求函数的反函数求函数的反函数 y = f -1-1(x).(1) 把把x从方程从方程 y = f (x)中解出中解出;(2) 把刚才所得的表达式中的把刚才所得的表达式中的x与与y对换对换, 即得所即得所注意注意(1) y = f (x)的的图形与其反函数图形与其反函数 x = f -1-1(y)的的图形图形y = f (x)的的图形与其反函数图形与其反函数 y = f -1-1(x)的的图形图形关关直线直线对称对称.(2) 只有只有一一对应的一一对应的函数函数才有才有反函数反函数.重合重合;于于存在反函数吗存在反函数吗?
22、 yx1.1 集合与集合与函数函数38 直接函数与反函数的图形直接函数与反函数的图形直线直线对称对称.关于关于1.1 集合与集合与函数函数39如如其反函数为其反函数为指数函数指数函数定义域为定义域为值域为值域为写成写成注注并不是所有函数都存在反函数并不是所有函数都存在反函数.如如 函数函数定义域为定义域为值域为值域为但对但对都有两个都有两个和和与之对应与之对应, x不是不是y 的函数的函数,不存在反函数不存在反函数.并称为对数函数并称为对数函数.1.1 集合与集合与函数函数404. 反函数与复合函数反函数与复合函数(2)复合函数复合函数 (compound function )设某企业经营者每
23、年收入设某企业经营者每年收入S 与该年利润与该年利润L有关有关,得到得到把把构成的构成的复合函数复合函数. .例例其函数关系为其函数关系为而而利润利润L则与该企业产品的产量则与该企业产品的产量Q有关有关, 其关系为其关系为称为由称为由1.1 集合与集合与函数函数41 定义定义 设函数设函数 y =f (u) 的定义域为的定义域为Df , 而函数而函数若若则称函数则称函数u = g(x)的值域为的值域为Wg , y =f g(x)为为 x 的的复合函数复合函数. . x为自变量为自变量, u为中间变量为中间变量, y为因变量为因变量.1.1 集合与集合与函数函数 也可记作也可记作:1.1 集合与
24、集合与函数函数42(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合注注因为因为不能构成复合函数不能构成复合函数.的定义域的定义域Df 是是(3) 反过来反过来, 一个复杂的函数根据需要也可以一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合分解为若干简单函数的复合.的值域的值域Wg是是构成构成.设函数设函数 y =f (u) 的定义域为的定义域为Df ,而函数而函数u = g(x)则称函数则称函数y = f g(x)的值域为的值域为Wg ,为为 x 的的复合函数复合函数. .43
25、 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最由函数的最外层运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.如如u,v 都是中间变量都是中间变量. 复合函数的定义域是复合函数的定义域是即即而不是而不是的定义域的定义域剥皮法剥皮法1.1 集合与集合与函数函数441) 幂函数幂函数(power function) 定义域与定义域与 的取值有关的取值有关.5. 初等函数初等函数(elementary function)(basic elementary function)(1) 基本初等函数基本初等函数1.1 集合与集合与函数函
26、数452) 指数函数指数函数(exponential function)定义域为定义域为值域为值域为1.1 集合与集合与函数函数463) 对数函数对数函数(logarithm function)定义域为定义域为值域为值域为1.1 集合与集合与函数函数474) 三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数定义域为定义域为值域为值域为1.1 集合与集合与函数函数48余弦函数余弦函数定义域为定义域为值域为值域为1.1 集合与集合与函数函数49正切函数正切函数余切函数余切函数定义域定义域值域值域定义域定义域值域值域1.1 集合与集合与函数函数505) 反三角函数反三
27、角函数(inverse trigonometric function)定义域定义域值域值域 主值主值反正弦函数反正弦函数反三角函数都是多值函数反三角函数都是多值函数.但是但是,可以选取这些函数的可以选取这些函数的单值支单值支.1.1 集合与集合与函数函数51定义域定义域值域值域 主值主值反余弦函数反余弦函数1.1 集合与集合与函数函数52 主值主值定义域定义域值域值域反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数 主值主值定义域定义域值域值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.1.1 集合与集合与函数
28、函数53(2) 初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数. .如如都是初等函数都是初等函数.不是初等函数不是初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数, 称为称为1.1 集合与集合与函数函数54注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数, 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答:故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!由于
29、由于它不是用它不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为因为1.1 集合与集合与函数函数55奇函数奇函数.偶函数偶函数.1) 双曲函数双曲函数 叠叠加加法法(3) 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦1.1 集合与集合与函数函数56奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲正切双曲正切双曲余切双曲余切1.1 集合与集合与函数函数57双曲函数常用公式双曲函数常用公式1.1 集合与集合与函数函数582) 反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,可得可得 反双曲正弦反双曲正弦的反函数的反函数,单调增加单调增加.1.1 集合与集合与函数函数59 反双曲余弦反双曲余弦单调增
30、加单调增加.1.1 集合与集合与函数函数60奇函数奇函数, 反双曲正切反双曲正切单调增加单调增加.1.1 集合与集合与函数函数61三、小结三、小结复合函数复合函数, 初等函数初等函数.函数函数函数的几种特性函数的几种特性反函数反函数,有界性有界性, 单调性单调性, 奇偶性奇偶性, 周期性周期性. .集合集合集合概念集合概念, 区间区间, 邻域邻域.函数的函数的定义定义,定义域定义域对应法则对应法则函数的两要素函数的两要素1.1 集合与集合与函数函数62思考题思考题考研数学一考研数学一, 5分分及其定义域及其定义域. 解题思路解题思路此题是复合函数问题此题是复合函数问题,可设可设从题目条件分析从题目条件分析u和和x的关系的关系.解解 令令则则于是于是,1.1 集合与集合与函数函数63作作 业业习题习题1.1(111.1(11页页) )1.1 集合与集合与函数函数
