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1、历史因你而改变历史因你而改变学习因你而精彩学习因你而精彩第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理勾股定理( (一）一） 星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩景区游玩, ,同学们看到山势险峻同学们看到山势险峻, ,查看景区示意查看景区示意图得知图得知: :凌峰山主峰高约为凌峰山主峰高约为900900米米, ,如图如图: :为了方为了方便游人便游人, ,此景区从主峰此景区从主峰A A处向地面处向地面B B处架了一条缆处架了一条缆车线路车线路, ,已知山底端已知山底端C C处与地面处与地面B B处相距处相距12001200米米, ,
2、,请问缆车路线请问缆车路线AB长应为多少？长应为多少？问题情境问题情境1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。（一）、课前准备（一）、课前准备（2 2分钟）分钟）1 1、直角、直角ABCABC的主要性质是：的主要性质是：C=90C=90（用几何（用几何语言表示）语言表示
3、）1）两锐角之间的关系： ；2）若若B=30，则，则B的对边和斜边：的对边和斜边：-看看一一看看相相传传两两千千五五百百年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作作客客，发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察一一下下图图案案，看看看看你你能能发发现现什什么么？ABC你能发现图中的等腰直角三角形有什你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？么性质吗？等腰直角三角形：斜边的平方等于两条直等腰直角三角形：斜边的平方等于两条直角边的平方和。角边的平方和。在等腰直角三角形中斜边
4、的平方等于两条在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条直角边的平方和，其他的直角三角形中也直角边的平方和，其他的直角三角形中也有这个性质吗？有这个性质吗？一般的直角三角形三边关系一般的直角三角形三边关系（二）（二）总结规律，大胆才猜想（律，大胆才猜想（5分分钟）A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C如果直角三角形的两条直角如果直角三角形的两条直角边长分别是边长分别是a、b，斜边长斜边长为为c.猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2结论：结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，直角三角形中
5、，两条直角边的平方和，等于斜边的平方等于斜边的平方. .如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理cab勾勾股股弦弦C C9090 a2+b2=c2读一读读一读我我国国古古代代把把直直角角三三角角形形中中较较短短的的直直角角边边称称为为勾勾，较较长长的的直直角角边边称称为为股股，斜斜边边称称为为弦弦.图图1-1称称为为“弦弦图图”，最最早早是是由由三三国国时时期期的的数数学学家家赵赵爽爽在在为为周周髀髀算算经经作作法法时时给给出
6、出的的.图图1-2是是在在北北京京召召开开的的2002年年国国际际数数学学家家大大会会（TCM2002）的的会会标标，其其图图案案正正是是“弦弦图图”，它标志着中国古代的数学成就，它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-2（三）勾股定理的证明（三）勾股定理的证明ab4+(b-a)=ca+b=cabc2ab+（b-2ab+a）=c【证法【证法1 1】（赵爽证明）】（赵爽证明）abcabcbcabcaabaaabbbccS=1/2ab4+c=1/2ab4+a+ba+b=c【证法证法2】已知：在已知：在ABC中，中，C=90，A、B、C的对边为的对边为a、b、c。求证：求证：a2b2=c2【证法证
7、法3 3】（】（18761876年美国总统年美国总统Garfield证明证明）以以a、b为直角边，以为直角边，以c为斜边作两为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于三角形的面积等于ab.把这两个直把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线三点在一条直线上.bcabcaADCD美国总统证法：美国总统证法：bcabcaADCDS梯形梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)=1/2ab2+1/2ca+b=c分析：已知分析：已知ABC中，中，AC=900米，米，BC=1200米米，求斜边求斜边ABAB的长的长
8、.例：例：星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学们看到山势险峻同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知查看景区示意图得知:凌峰山主峰高凌峰山主峰高约为约为900米米,如图如图:为了方便游人为了方便游人,此景区从主峰此景区从主峰A处向地面处向地面B处架了一条缆车线路处架了一条缆车线路,已知山底端已知山底端C处与地面处与地面B处相距处相距1200米米,请问缆车路线请问缆车路线AB长应为多少长应为多少?三、应用定理三、应用定理巩固新知巩固新知四、随堂练习1、如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；(2)若B=
9、30，则B的对边和斜边：；(3)三边之间的关系：五.课堂检测1、在RtABC中，C=90若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_。2、已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三边，则c=。（已知a、b，求c）a=。（已知b、c，求a）3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。4、.已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14C、7D、7或255、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、32勾股定理的
10、运用勾股定理的运用已知直角三角形的任意两条边长，求第三已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2（三）随堂练习（三）随堂练习1、在、在RtABC中，中，1）如果）如果a=3，b=4，则，则c=_；2）如果）如果a=6，b=8，则，则c=_；3）如果）如果a=5，b=12，则，则c=_；4)如果如果a=15，b=20，则，则c=_.51013252、下列说法正确的是（）、下列说法正确的是（）A.若若a、b、c是是ABC的三边，则的三边，则:B.若若a、b、c是是RtABC的三边，则的三边，则C.若若a、b、c是是RtABC的三边，的三边，则
11、则D.若若a、b、c是是RtABC的三边，的三边，则则D3、一个直角三角形中，两直角边长分别为、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和和4，下，下列说法正确的是（列说法正确的是（）A斜边长为斜边长为25B三角形周长为三角形周长为25C斜边长为斜边长为5D三角形面积为三角形面积为204、如图、如图,三个正方形中三个正方形中,S125，S2144，则另一个，则另一个的面积的面积S3为为_5、一个直角三角形的两边长分别为、一个直角三角形的两边长分别为5cm和和12cm,则第则第三边的长为三边的长为。第4题图S1S2S3C169在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，C=90C=900 0，A A
12、、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c（1 1） 已知已知a=1a=1，b=2b=2，求，求c c（2 2） 已知已知a=10a=10，c=15c=15，求，求b bACBbac例例2：将长为：将长为5米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2米，求梯子上端米，求梯子上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离.CAB解：在解：在RtABC中，中，ABC=90BC=2，AC=5AB2=AC-BC=5-2=21AB=（米）米）(舍去负值）舍去负值）做一做：做一做： P62540026xP的面积的面积 =_X=_225BACAB=_AC=_BC=_25152
13、0求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169X=15Y=5Z=7比比一一比比看看谁谁算算得得又又快快又又准准！求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长x x: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.勾股定理运用二勾股定理运用二: :8 8x x171716162020x x12125 5x xX=15X=12X=131 1、直角、直角 ABCABC的两直角边的两直角边a=5,b=12,c=_a=5,b=12,c=_2、直角直角 ABCABC的一条
14、直角边的一条直角边a=10,a=10,斜边斜边 c=26c=26，则则b= b= ( ).( ).、已知：C90，a=6a=6， a：b3：4，求求b b和和c c.cab13b=8c=1024课堂反馈课堂反馈、本节课我们经历了怎样的过程？、本节课我们经历了怎样的过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还通过本节课的学习我们不但知道了著
15、名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想验证数学结论的数形结合思想.、学了本节课后我们有什么感想？、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育辉煌历史的教育.小结小结分层测试:A组组:1、在、在中，中，AB=7,AC=3,求求BC的长的长. B组组:2、如图，在矩形、如图，在矩形ABCD中，中， DEAC于于E，设，设AE=8，且且AD=10,EC=4,求求DE 和和AB的长的长ACBbac
