《常微分方程：3-4常系数齐线性微分方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程：3-4常系数齐线性微分方程组（84页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 目录 上页 下页 返回 结束3.4 常系数齐次线性微分方程组常系数齐次线性微分方程组本节研究常系数齐次线性微分方程组本节研究常系数齐次线性微分方程组解的情况，特别是方程解的情况，特别是方程（1 1）基本解组的情形，）基本解组的情形，（1 1）即寻找即寻找n n个线性无关的解个线性无关的解这这里里为常数矩阵，所以为常数矩阵，所以 在在 上连续，进而，方程组（上连续，进而，方程组（1 1）的解在区间）的解在区间上是存在唯一的上是存在唯一的. . 目录 上页 下页 返回 结束一一 系数矩阵系数矩阵A A有单特征根时的解有单特征根时的解 下面先研究矩阵下面先研究矩阵A A有有n n个不同特征根的情况
2、，个不同特征根的情况，此时，由线性代数知识，一定存在一个非奇异此时，由线性代数知识，一定存在一个非奇异矩阵矩阵，使，使是对角矩阵，即是对角矩阵，即（2 2） 目录 上页 下页 返回 结束这里这里是矩阵是矩阵A A的特征根的特征根. .作线性代换作线性代换并代入方程（并代入方程（1 1）则可得则可得（3 3）写成纯量形式，可得方程组写成纯量形式，可得方程组积分上面各个方程得（积分上面各个方程得（3 3）的解为）的解为 目录 上页 下页 返回 结束因此方程（因此方程（3 3）通解为）通解为（4.4.44.4.4）另外，由（另外，由（2 2）得）得 目录 上页 下页 返回 结束记记，则，则（5 5）
3、 目录 上页 下页 返回 结束对应的特征向量，对应的特征向量，为矩阵为矩阵A A的特征根的特征根把（把（4 4）代入）代入可得方程组（可得方程组（1 1）即即的基解矩阵为的基解矩阵为因此，（因此，（1 1）的通解为）的通解为 因此，求解方程组因此，求解方程组(1)(1)的关键在于求的关键在于求矩矩阵阵A的特征根的特征根及其特征向量及其特征向量 目录 上页 下页 返回 结束例例1 1 求解方程组求解方程组解解 先求矩阵先求矩阵A A的特征根的特征根因此，矩阵因此，矩阵A A的特征根为的特征根为对对可求得其特征向量可求得其特征向量对对也可求也可求 目录 上页 下页 返回 结束得其相应的特征向量为得
4、其相应的特征向量为因此，方程组的通解为因此，方程组的通解为定理定理1 1 设矩阵设矩阵A A有有n n个不同的特征根个不同的特征根 组（组（1 1）的通解为）的通解为且其相对应的特征向量为且其相对应的特征向量为，则方程，则方程 目录 上页 下页 返回 结束例例2 2 求解方程组求解方程组解解 该方程对应的矩阵该方程对应的矩阵A A的特征根满足的特征根满足因此，因此，A A的特征根为的特征根为 目录 上页 下页 返回 结束对特征根对特征根其相对应的特征向量其相对应的特征向量满足满足由此可求得特征向量由此可求得特征向量同理，可同理，可求得特征根求得特征根对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为因此
5、，线性因此，线性齐次方程组的通解为齐次方程组的通解为 目录 上页 下页 返回 结束若矩阵若矩阵A A的特征根具有复特征根的情形，这时方的特征根具有复特征根的情形，这时方程（程（1 1）就会出现实变数复值解）就会出现实变数复值解. .通常希望通常希望求出方程组（求出方程组（1 1）的）的n n个实的线性无关的实值个实的线性无关的实值解，可由下述方法实现解，可由下述方法实现. . 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 2 2 若实系数线性齐次方程组（若实系数线性齐次方程组（1 1）有）有复值解复值解则其实部则其实部 和虚部和虚部都是（都是（1 1）的解）的解. .证明证明 因为因为是方程组（是方程
6、组（1 1）的解，所以有的解，所以有由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等， 目录 上页 下页 返回 结束所以有所以有即即和和是方程组（是方程组（1 1）的解）的解. .实矩阵实矩阵A A有复特征根一定共轭成对出现，即如果有复特征根一定共轭成对出现，即如果是特征根，则共轭复数是特征根，则共轭复数也也是特征根，是特征根， 对应的特征向量也与对应的特征向量也与对应的特征对应的特征向量共轭，因此方程组（向量共轭，因此方程组（1 1）出现一对）出现一对共轭共轭的复值解的复值解. . 目录 上页 下页 返回 结束例例3 3 求解方程组求解方程组解解 系数矩
7、阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为故有特征根故有特征根且是共轭的且是共轭的. .对应的特征向量对应的特征向量满足方程满足方程 目录 上页 下页 返回 结束取取则则得得是是对应的特征向量，因此原微分方程组有解对应的特征向量，因此原微分方程组有解 目录 上页 下页 返回 结束故故且且和和是原方程的两个线性无关解，故是原方程的两个线性无关解，故原方程组的通解为原方程组的通解为 目录 上页 下页 返回 结束例例4 4 求解方程组求解方程组解解 该方程组的系数矩阵该方程组的系数矩阵 目录 上页 下页 返回 结束其特征方程为其特征方程为特征根为特征根为对应的特征向量对应的特征向量可可由下面的方程求出
8、由下面的方程求出 目录 上页 下页 返回 结束由此得由此得，取，取及及，得，得. .故有解故有解 目录 上页 下页 返回 结束对对相应的特征向量相应的特征向量满足方程组满足方程组即有即有 目录 上页 下页 返回 结束取取得得故原方程有复值解故原方程有复值解 目录 上页 下页 返回 结束取取的实部和虚部，分别得原方程的两个线的实部和虚部，分别得原方程的两个线性无关解性无关解 目录 上页 下页 返回 结束故原方程组的通解为故原方程组的通解为 目录 上页 下页 返回 结束二二 系数矩阵系数矩阵A A有重特征根时的解有重特征根时的解 现在考虑矩阵现在考虑矩阵A A有重特征根时，方程有重特征根时，方程（
9、1 1）的特征方程的特征方程的通解求法的通解求法. .假设假设矩阵矩阵A A有有即即A A重特征根重特征根（6 6）有一个有一个重特征根重特征根若若重特征根重特征根对应的线性对应的线性无关特征向量有无关特征向量有 个，分别为个，分别为则由前段则由前段讨论知，方程讨论知，方程（1 1）有）有个线性无关的解个线性无关的解 目录 上页 下页 返回 结束若若重特征根重特征根对应对应的线性无关的特征向量个数小于的线性无关的特征向量个数小于，则求解比较，则求解比较困难，本节给出求解此类问题的几个例子困难，本节给出求解此类问题的几个例子. .例例5 5 验证方程验证方程不存在形如不存在形如的基本解组，这里的
10、基本解组，这里（7 7）是（是（7 7）的系数矩阵）的系数矩阵A A的特征根的特征根. . 目录 上页 下页 返回 结束解解 矩阵矩阵A A对应的特征多项式为对应的特征多项式为因此因此是矩阵是矩阵A A仅有的特征根，对仅有的特征根，对相应相应的特征向量的特征向量满足方程满足方程因此因此这里这里是任意的是任意的. .这样矩阵这样矩阵A A线性线性无关的特征向量仅有无关的特征向量仅有即矩阵即矩阵A A不存在不存在 目录 上页 下页 返回 结束两个线性无关的特征向量两个线性无关的特征向量从例从例5 5可以看出，利用特征向量，只能找到方可以看出，利用特征向量，只能找到方程（程（7 7）的一个解）的一个
11、解然而，由齐次然而，由齐次线性微分方程解的定理，要求它的通解，必须寻线性微分方程解的定理，要求它的通解，必须寻找与找与线性无关的另外一个解线性无关的另外一个解. .为此，考虑方程为此，考虑方程（7 7）的扰动系统）的扰动系统（8 8） 目录 上页 下页 返回 结束矩阵矩阵的特征多项式是的特征多项式是因此因此是矩阵是矩阵和和的两个特的两个特征根，相应的特征向量分别为征根，相应的特征向量分别为所以，扰动方程（所以，扰动方程（8 8）有两个线性无关的解）有两个线性无关的解 目录 上页 下页 返回 结束由线性齐次方程组的基本理论可知，当由线性齐次方程组的基本理论可知，当时时 目录 上页 下页 返回 结
12、束对上式两边求极限得对上式两边求极限得容易验证容易验证是方程（是方程（7 7）的解，且该解与（的解，且该解与（7 7）的另一个解）的另一个解线线 目录 上页 下页 返回 结束性无关性无关. .因此，方程（因此，方程（7 7）的通解为）的通解为从上面讨论可以看出，寻找方程（从上面讨论可以看出，寻找方程（1 1）的第）的第二个线性无关的解，可以通过求极限的方法二个线性无关的解，可以通过求极限的方法. .若若是方程（是方程（1 1）系数矩阵）系数矩阵A A两个不同特两个不同特征根，征根，是相应的两个特征向量，则是相应的两个特征向量，则 目录 上页 下页 返回 结束是方程（是方程（1 1）的解，取极限
13、得）的解，取极限得因为因为且且时，有时，有. .因此因此上面极限变为上面极限变为其中向量其中向量满足满足 目录 上页 下页 返回 结束（9 9）事实上，因为事实上，因为是是对应的特征向量，因对应的特征向量，因而成立而成立上式两边对上式两边对 求导得求导得这样当这样当 是是A A的重特征根时，且的重特征根时，且 是仅有的一个是仅有的一个 对应的非零特征向量，则通过（对应的非零特征向量，则通过（9 9）可以）可以 目录 上页 下页 返回 结束找到找到 ，进而利用极限的方法求出方程，进而利用极限的方法求出方程（1 1）的另一个与）的另一个与 线性无关的向量线性无关的向量. .且且 对应的特征子空间维
14、数为对应的特征子空间维数为1,1,设设是是 对应的特征子空间的一个基对应的特征子空间的一个基. .则存在则存在 定理定理 3 3 设设矩阵矩阵A A有一个重特征根有一个重特征根, ,重数重数的向量的向量 使得使得 和和 是方程组（是方程组（1 1）两个线性无关的解）两个线性无关的解. . 目录 上页 下页 返回 结束把把代入方程代入方程证明证明 由前面的讨论，现只需证明由前面的讨论，现只需证明无关无关. .是方程组（是方程组（1 1）的解，且）的解，且 与与 线性线性因为因为对应的特征向量，且对应的特征向量，且是矩阵是矩阵A A的特征根的特征根 目录 上页 下页 返回 结束（1111），所以，
15、所以满足满足这说明这说明是方程（是方程（1 1）的解）的解. .下面证明下面证明和和线性无关线性无关. .事实上，若存在常数事实上，若存在常数和和满足满足（1010）对（对（1010）两边乘以）两边乘以对（对（1111）两边对）两边对求导得求导得 目录 上页 下页 返回 结束因为因为因而必有因而必有代入（代入（1111）得）得即有即有即说明即说明和和线性线性无关无关. .定理定理3 3给出了求解方程给出了求解方程 的通解的一种方法的通解的一种方法. .例例6 6 求解方程组求解方程组解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为（1212） 目录 上页 下页 返回 结束因此矩阵因此矩阵A
16、 A有单特征根有单特征根和二重根和二重根对对，有特征向量，有特征向量满足满足 目录 上页 下页 返回 结束因此因此是是对应的特征向量对应的特征向量. .对应的特征向量对应的特征向量满满组方程组组方程组由上面方程组得由上面方程组得是任意是任意常数，选取常数，选取，得，得 目录 上页 下页 返回 结束进而知进而知是方程组（是方程组（1212）一个解）一个解因为因为对应的特征子空间是一维的，所以必对应的特征子空间是一维的，所以必须根据定理须根据定理1 1来寻找方程组（来寻找方程组（1212）第三个解）第三个解 目录 上页 下页 返回 结束这里这里且满足方程且满足方程即即满足方程组满足方程组解该方程组
17、得解该方程组得这里这里是是 目录 上页 下页 返回 结束任意常数任意常数. .选取选取得得因此因此方程（方程（1212）有解）有解因为因为在在处的朗斯基行列式处的朗斯基行列式为为 目录 上页 下页 返回 结束因此因此线性无关，故方程组线性无关，故方程组（1212）的通解为）的通解为 目录 上页 下页 返回 结束（1313）定理定理 4 4 设设矩阵矩阵A A有一有一 重特征根重特征根, ,重数重数且其相应的特征子空间是一维的，且其相应的特征子空间是一维的，是该是该特征子空间的一个基，则一定存在向量特征子空间的一个基，则一定存在向量 满足满足而且对（而且对（1313）中的）中的 也一定存在也一定
18、存在 满足满足 目录 上页 下页 返回 结束（1414）进一步，若进一步，若 满足（满足（13)13) , , 满足（满足（1414）是方程（是方程（1 1）三个线性无关的解）三个线性无关的解. . 目录 上页 下页 返回 结束（1515）例例7 7 求解方程组求解方程组解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为可以看出可以看出 是是A A的一个三重特征根的一个三重特征根. . 目录 上页 下页 返回 结束对应的特征向量对应的特征向量满足满足方程组方程组因此因此故可取故可取方程方程（1515）有解）有解 目录 上页 下页 返回 结束由定理由定理4 4知，方程（知，方程（1515）有第
19、二个解）有第二个解这里这里 满足方程（满足方程（1313），即满足方程组），即满足方程组 目录 上页 下页 返回 结束解该方程组得解该方程组得选取选取则得则得因此因此故有故有 目录 上页 下页 返回 结束另外，方程（另外，方程（1515）第三个解有如下形式：）第三个解有如下形式： 目录 上页 下页 返回 结束这里这里 满足方程（满足方程（1414）设）设 目录 上页 下页 返回 结束选取选取 设设 因此因此 目录 上页 下页 返回 结束故有故有由定理由定理4 4知，所得三个解知，所得三个解 线性线性无关无关. .故方程（故方程（1515）的通解为）的通解为 目录 上页 下页 返回 结束 目录
20、上页 下页 返回 结束（1616）存在不全为零常数存在不全为零常数 和和 以及向量以及向量 满足满足定理定理 5 5 设设矩阵矩阵A A有一有一 重特征根重特征根, ,重数重数且其对应的特征子空间的维数为且其对应的特征子空间的维数为2 2，即对，即对由两个线性无关的特征向量由两个线性无关的特征向量 和和 ，则一定，则一定使得使得是方程（是方程（1 1）的三个线性无关的解）的三个线性无关的解. . 目录 上页 下页 返回 结束（1717）例例8 8 利用定理利用定理5 5求解方程组求解方程组解解 系数矩阵系数矩阵A A的特征方程为的特征方程为可以看出可以看出 是是A A的一个三重特征根的一个三重
21、特征根. . 目录 上页 下页 返回 结束对应的特征向量对应的特征向量满足满足方程组方程组因此因此是任意的，因此有两个特征向量是任意的，因此有两个特征向量 目录 上页 下页 返回 结束和和 可作为可作为 的特征子空间的基，方程的特征子空间的基，方程（1717）有两个线性无关的解）有两个线性无关的解下面寻找方程（下面寻找方程（1717）第三个线性无关的解）第三个线性无关的解，由定理，由定理5 5知，必存在两个不全为零的常知，必存在两个不全为零的常数数 和和 及向量及向量 满足满足 目录 上页 下页 返回 结束这里这里是是 的分量，方程组（的分量，方程组（1818）即有即有（1818）有解的充要条
22、件是有解的充要条件是这里这里 是任意的，若是任意的，若选取选取则方程（则方程（1818）隐含）隐含 目录 上页 下页 返回 结束其中其中是任意常数，选取是任意常数，选取则有则有因此获得方程组（因此获得方程组（1717）的第）的第三个解三个解 目录 上页 下页 返回 结束因为上面所得因为上面所得是线性无关的，因此是线性无关的，因此方程组（方程组（1717）的通解为）的通解为 目录 上页 下页 返回 结束三三 矩阵指数函数的定义和性质矩阵指数函数的定义和性质 设设A A是是常数矩阵，定义矩阵指数函数常数矩阵，定义矩阵指数函数为为（1919）其中其中E E为为n n阶单位矩阵，阶单位矩阵，是矩阵是矩
23、阵A A的的k k次幂，为使次幂，为使有意义，必须证明（有意义，必须证明（1919）的右端的矩）的右端的矩阵级数是收敛的阵级数是收敛的. .事实上，对一切正整数事实上，对一切正整数k k，有，有 目录 上页 下页 返回 结束而数项级数而数项级数是收敛的，由前面所学，（是收敛的，由前面所学，（1919）定义的矩阵）定义的矩阵级数是收敛的级数是收敛的. .为为进一步，定义进一步，定义矩阵指数函数矩阵指数函数 目录 上页 下页 返回 结束（2020）而且类似可以证明（而且类似可以证明（2020）的右端在任何有限）的右端在任何有限区间上都是一致收敛的区间上都是一致收敛的. .矩阵指数函数有下面的性质：
24、矩阵指数函数有下面的性质：1 1 若矩阵若矩阵A A和和B B是可交换的，即是可交换的，即AB=BAAB=BA，则，则事实上，由于矩阵级数事实上，由于矩阵级数和和 目录 上页 下页 返回 结束是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数项级数运算是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数项级数运算的一些定理，如任意改变项的顺序及级数的乘法的一些定理，如任意改变项的顺序及级数的乘法定理等结果，都可用于矩阵级数定理等结果，都可用于矩阵级数. .由绝对收敛级由绝对收敛级数的乘法定理得数的乘法定理得另一方面，由二项式定理及另一方面，由二项式定理及AB=BAAB=BA得得 目录 上页 下页 返回 结束2 2 对任何矩阵对任何
25、矩阵存在，且存在，且事实上，事实上，A A与与-A-A是可交换的，故由性质是可交换的，故由性质1 1有有故故3 3 若若T T是非奇异矩阵，则是非奇异矩阵，则比较两式得比较两式得 目录 上页 下页 返回 结束事实上，由于事实上，由于有了矩阵函数的基本概念及其性质，就可以利用有了矩阵函数的基本概念及其性质，就可以利用它来研究方程组（它来研究方程组（1 1）的基解矩阵，进而给）的基解矩阵，进而给出其通解出其通解. . 目录 上页 下页 返回 结束定理定理 6 6 矩阵矩阵（2121）是方程组（是方程组（1 1）的基解矩阵，且）的基解矩阵，且证明证明 当当t=0t=0时，由定义知时，由定义知，又因为
26、，又因为这表明，这表明，是（是（1 1）的解矩阵，又因为）的解矩阵，又因为 目录 上页 下页 返回 结束（2222）所以所以是方程组（是方程组（1 1）的基解矩阵）的基解矩阵. .由定理由定理6 6可知，方程组（可知，方程组（1 1）的通解为）的通解为这里这里c c是一个常数向量是一个常数向量. .若若是方程组（是方程组（1 1）满足初始条件）满足初始条件的解，则由（的解，则由（2222）知）知即有即有 目录 上页 下页 返回 结束把上式代入（把上式代入（2222）得方程组（）得方程组（1 1）满足）满足初始条件初始条件的解为的解为（2323）另外，若另外，若是方程组（是方程组（1 1）的另外
27、一个与）的另外一个与不同的基解矩阵，则由定理知，存在非不同的基解矩阵，则由定理知，存在非奇异常数矩阵奇异常数矩阵C C满足满足在上式中，令在上式中，令t=0t=0时，得时，得从而有从而有（2424） 目录 上页 下页 返回 结束利用代数学中的哈密顿利用代数学中的哈密顿- -凯莱（凯莱（Hamilton-CayleyHamilton-Cayley）公式（公式（2424）表明，矩阵指数）表明，矩阵指数可由可由（1 1）的任一个基解矩阵直接给出）的任一个基解矩阵直接给出. .定理定理6 6从理论上确定了方程组（从理论上确定了方程组（1 1）的一个基）的一个基解矩阵解矩阵，公式（，公式（2424）也给
28、出了利用）也给出了利用方程组（方程组（1 1）的其他基解矩阵）的其他基解矩阵确定确定的方法，但如何从方程组（的方法，但如何从方程组（1 1）的）的系数矩阵系数矩阵A A直接计算矩阵指数直接计算矩阵指数呢？下面呢？下面定理给出：当定理给出：当A A是任意矩阵时，是任意矩阵时，的计算方法的计算方法. . 目录 上页 下页 返回 结束（2525）设设A A是方程组（是方程组（1 1）的）的实系数矩阵，实系数矩阵，是是A A的特征多项式的特征多项式A A的特征方程为的特征方程为方程（方程（2525）的根）的根是矩阵是矩阵A A的特征的特征根，且有根，且有 目录 上页 下页 返回 结束哈密顿哈密顿- -
29、凯莱定理凯莱定理 设设是矩阵是矩阵A A的特征多项式的特征多项式则则亦即亦即定理定理 7 7 设设是矩阵是矩阵A A的的n n个特征根（它个特征根（它们不一定相等），则们不一定相等），则（2626） 目录 上页 下页 返回 结束其中其中这里这里而而是方程组是方程组（2727） 目录 上页 下页 返回 结束满足初始条件满足初始条件的解的解. .证明证明: 记记下面证明下面证明是方程是方程 (1) 的解矩阵的解矩阵.因为因为 目录 上页 下页 返回 结束由哈密顿由哈密顿-凯莱定理知凯莱定理知因此因此 目录 上页 下页 返回 结束由于由于满足方程组满足方程组 (27), 于是得于是得即即是方程组是方
30、程组 (1) 的解矩阵的解矩阵. 又因为又因为因此得因此得 目录 上页 下页 返回 结束方程组方程组 (27) 满足初始条件的解的问题满足初始条件的解的问题. 由于方程由于方程组组 (27) 是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程 推论推论: 若若只有一个特征根只有一个特征根则则上述定理上述定理 7 将计算将计算的问题转化为求的问题转化为求求出方程组求出方程组 (1) 的基解矩阵的基解矩阵组组, 容易直接求解容易直接求解. 因而由公式因而由公式 (26) 就可以直接就可以直接且这样且这样求出的基解矩阵是实的求出的基解矩阵是实的. 目录 上页 下页 返回 结束例例
31、12 求解微分方程组求解微分方程组有特征根有特征根解解: 易知易知求解初值问题求解初值问题 目录 上页 下页 返回 结束初始条件为初始条件为解上述方程组得解上述方程组得又因为又因为因此因此, 由公式由公式 (26) 得得 目录 上页 下页 返回 结束由此可得方程组的通解为由此可得方程组的通解为 目录 上页 下页 返回 结束例例 13 求解微分方程组求解微分方程组解解: 易知易知故故是是的三重特征根的三重特征根.又因又因 目录 上页 下页 返回 结束则由公式则由公式 (28) 得得 目录 上页 下页 返回 结束因而因而, 方程组的通解为方程组的通解为其中其中为列向量为列向量.注注: 关于矩阵指数的计算关于矩阵指数的计算, 还可以采用矩阵的若当还可以采用矩阵的若当标准型以及标准型以及n维欧几里得空间直接和等有关代数维欧几里得空间直接和等有关代数知识进行计算知识进行计算.
