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1、曲线积分曲线积分 习题课习题课曲线积分习题一、主要内容一、主要内容曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义性质性质计算公式计算公式两者关系两者关系曲线积分习题曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功性质 线性、可加、无方向 可加、有方向计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限联系曲线积分习题与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题曲线积分习题（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系曲线积分曲线积分定积分定积分计算计算重
2、积分重积分Green公式计算计算曲面积分曲面积分Guass公式公式计算计算Stokes公式公式曲线积分习题积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分曲线积分习题曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分曲线积分习题计算上的联系计算上的联系曲线积分习题其中其中曲线积分习题理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式曲线积分习题3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲
3、线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式曲线积分习题（三）（三）场论初步场论初步梯度梯度通量通量散度散度环流量环流量旋度旋度曲线积分习题关于对称性关于对称性对弧长的曲线积分与方向无关，对弧长的曲线积分与方向无关，可以利用对称性可以利用对称性简化计算简化计算设设L 关于关于 x ( y ) 轴对称轴对称若若 f( x ,y ) 关于关于 y ( x ) 是奇函数是奇函数即即则则若若 f( x ,y ) 关于关于 y ( x ) 是偶函数是偶函数即即曲线积分习题则则 对坐标的曲线积分与方向有关，所以对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线
4、的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性。的曲线积分，然后再考虑使用对称性。其中其中L1 是位于对称轴一侧的部分是位于对称轴一侧的部分曲线积分习题关于第二类曲线积分的计算关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用若曲线封闭，首先考虑使用Green公式公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用然后再使用Green公式公式此时应注意两点：此时应注意两点：辅助线上的积分应容易辅助线上的积分应容易计算，计算
5、，辅助线的方向与曲线的方向相容，辅助线的方向与曲线的方向相容，化成第一类曲线积分计算化成第一类曲线积分计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算曲线积分习题二、二、典型例题典型例题例例1 计算计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界所围成的在第三象限的扇形的整个边界解解如图如图L1 L1L2 L2L3L3L=L1+L2+L3曲线积分习题曲线积分习题解解曲线积分习题解解( (如下图如下图) )曲线积分习题曲线积分习题其中其中L为为不包围也不通过原点的任意闭曲线不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线包围
6、原点的任意正向闭曲线解解 若若则由则由Green公式公式例例4 计算计算曲线积分习题若若则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1 ，由，由Green公式公式曲线积分习题L在原点不连续，在原点不连续，记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1 ，由，由Green公式公式以原点为心，作一半径充分小的正向圆周以原点为心，作一半径充分小的正向圆周由于由于 L 所围区域包含原点所围区域包含原点曲线积分习题解解令令得得由由使得在不经过使得在不经过的值的值的区域上的区域上与路径无关与路径无关并求当并求当L为从为从A （1，1）到）到B（0，2）时的值。）时的值。例例5 确定参数确定参数 曲线积分习题A(1,1)B(0,2)ACB如选路径如选路径C(1,2)则则积分结果不易求出积分结果不易求出DB但如选路径但如选路径A D(0,1)则则曲线积分习题
