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1、 第四章第四章 连续信号与系统的复频域分析连续信号与系统的复频域分析拉普拉斯变换是分析连续信号与系统的一种拉普拉斯变换是分析连续信号与系统的一种好方法。好方法。线性时不变系统方法的线性时不变系统方法的回顾回顾：时域分析法：卷积积分时域分析法：卷积积分 只能求解零状态响应只能求解零状态响应变换域分析法：变换域分析法：1.傅氏变换分析法：傅氏变换分析法：思想方法是把时间变量函数变换到变换域中的思想方法是把时间变量函数变换到变换域中的某一变量的函数。某一变量的函数。信号系统最新它们之间的桥梁是傅氏变换的时域卷积定理。它们之间的桥梁是傅氏变换的时域卷积定理。分析的实质：分析的实质：(1)是将激励信号分
2、解成某种基本的单元信号；是将激励信号分解成某种基本的单元信号；(2)求基本单元信号通过系统的响应；求基本单元信号通过系统的响应；(3)最后叠加起来求得总的响应。最后叠加起来求得总的响应。卷积分析法的单元信号是冲激函数；卷积分析法的单元信号是冲激函数；傅氏变换分析法的单元信号是虚指函数。傅氏变换分析法的单元信号是虚指函数。信号系统最新傅氏变换的不足：傅氏变换的不足：(2)求傅氏反变换有时比较麻烦；求傅氏反变换有时比较麻烦；傅氏变换分析法的优点：傅氏变换分析法的优点：物理意义明确，也是信号分析的有效工具。物理意义明确，也是信号分析的有效工具。(1)要求信号满足狄里赫利条件要求信号满足狄里赫利条件(
3、满足绝对可积满足绝对可积条件条件)。使一般周期信号，阶跃函数等只能虽借。使一般周期信号，阶跃函数等只能虽借助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中出现助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中出现冲激函数，使计算带来困难；冲激函数，使计算带来困难；(3)只能求解零状态响应。只能求解零状态响应。信号系统最新下面引出下面引出 2.拉普拉斯变换（简称拉氏变换）拉普拉斯变换（简称拉氏变换）它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理意义，可以看作一种广义的傅氏变换。将频域意义，可以看作一种广义的傅氏变换。将频域扩展为复频域。扩展为复频域。4-1 拉普拉氏变换拉普拉氏变换4-1
4、-1 从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换信号不满足绝对可积条件的原因是信号不满足绝对可积条件的原因是信号系统最新解决的方法：一解决的方法：一.引进广义函数引进广义函数(傅氏变换傅氏变换) 二二.拉氏变换拉氏变换(无需引进广义函数无需引进广义函数)若若 不满足狄里赫利条件，我们为了能获不满足狄里赫利条件，我们为了能获得变换域中的函数，得变换域中的函数，人为地人为地用一个用一个实指实指函数函数去乘去乘 。只要只要 取得合适，很多函数取得合适，很多函数(几乎所有常用的几乎所有常用的函数函数)都可以满足绝对可积的条件。都可以满足绝对可积的条件。称称 为为衰减因子衰减因子；称；称 为为收敛因子收敛
5、因子。信号系统最新一一. 求求 的傅氏变换：的傅氏变换：显然，可表示成显然，可表示成记为记为信号系统最新上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换，反变换上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换，反变换其反变换，为其反变换，为信号系统最新拉氏变换扩大了信号的变换范围。拉氏变换扩大了信号的变换范围。变换域的内在联系变换域的内在联系时域函数时域函数频域频域函数函数时域函数时域函数复频域复频域函数函数二二. 单边拉氏变换单边拉氏变换信号系统最新由于由于1.实际信号都是有始信号，即实际信号都是有始信号，即或者只需考虑或者只需考虑 的部分；的部分；2.我们观察问题总我们观察问题总有一个起点。此时有一个起点。此时积分下
6、限用积分下限用 目的是把目的是把 时出现的冲激包含时出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态可以直接引用已知的初始状态 ，但，但反变换反变换的积分限并不改变的积分限并不改变。以后只讨论单边拉氏变换以后只讨论单边拉氏变换信号系统最新由于我们重点讨论单边拉氏变换，所以有由于我们重点讨论单边拉氏变换，所以有和和的拉氏正变换的拉氏正变换 是一样的。是一样的。反之，已知反之，已知 求拉氏反变换式，也无法求得求拉氏反变换式，也无法求得到到 时的时的 表达式。表达式。如如 1 和和 的拉氏变换是一样的。的拉氏变换是一样的。单边拉
7、氏变换的优点：单边拉氏变换的优点：(1)不仅可以求解零状态响应，而且可以求解不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应或全响应。零输入响应或全响应。信号系统最新(2)单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中了；单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中了；而且，只需要了解而且，只需要了解 时的情况就可以了。时的情况就可以了。(3)时间变量时间变量 的取值范围为的取值范围为 ,复频域变量复频域变量 的取值范围为复频面的取值范围为复频面( 平面平面)的一部分。的一部分。 平面平面当当时，时，绝对收敛。绝对收敛。的信号，其拉氏变换的信号，其拉氏变换 中中一定没有一定没有冲激函数。冲激函数。 (4)任何可以
8、拉氏变换任何可以拉氏变换信号系统最新(三三) 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域是否一定满足，还要看是否一定满足，还要看 的性质与的性质与 的相对关系的相对关系通常把使通常把使 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范值的范围称为拉氏变换的收敛域围称为拉氏变换的收敛域 (只讲单边拉氏变换的情况只讲单边拉氏变换的情况)信号信号 乘以收敛乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。因子后，有可能满足绝对可积的条件。信号系统最新如：有始有终的能量信号如：有始有终的能量信号按指数规律增长的信号，如按指数规律增长的信号，如比指数信号增长的更快比指数信号增长的更快的信号，如的信号，如找不到找不到，则此信号
9、不存在拉氏变换。，则此信号不存在拉氏变换。 满足上述条件的最低限度的满足上述条件的最低限度的 值，称为值，称为 。 (绝对收敛横坐标绝对收敛横坐标)。 周期信号是功率信号周期信号是功率信号信号系统最新单边拉氏变换的收敛域是单边拉氏变换的收敛域是复平面复平面(s)内，内，Re(s)= 区域区域 单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的条件，且总存在收敛域，一般非特别说明，不条件，且总存在收敛域，一般非特别说明，不再标注收敛域。再标注收敛域。凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉氏凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉氏变换。我们称这类函数为指数阶函数。即指数变换。
10、我们称这类函数为指数阶函数。即指数阶函数均可以用乘以一个阶函数均可以用乘以一个 的方法将其分的方法将其分散性压下去。散性压下去。 凡指数阶函数都有拉氏变换。凡指数阶函数都有拉氏变换。信号系统最新(四四)变换域的内在联系变换域的内在联系1.傅氏级数：傅氏级数：复振幅复振幅单元信号单元信号:表现在复平面虚轴上的表现在复平面虚轴上的离散频谱离散频谱。 分量之分量之和，由欧拉公式为一个余弦函数。和，由欧拉公式为一个余弦函数。(等幅振荡等幅振荡)信号系统最新2.傅氏变换：傅氏变换：频谱密度频谱密度单元信号单元信号:表现在复平面虚轴上的表现在复平面虚轴上的连续频谱连续频谱。 分量之分量之和，由欧拉公式为一
11、个余弦等幅振荡。和，由欧拉公式为一个余弦等幅振荡。幅度为幅度为为无限小量。为无限小量。信号系统最新3.拉氏变换：拉氏变换：复频谱密度复频谱密度单元信号单元信号:表现在复平面上是一个区域的表现在复平面上是一个区域的面谱面谱。 分量分量之和，由欧拉公式为一个之和，由欧拉公式为一个变幅变幅余弦振荡。余弦振荡。幅度为幅度为为无限小量。为无限小量。由由信号系统最新当当 取值不同，一个信号可以分解为可能是取值不同，一个信号可以分解为可能是增幅的、减幅的或等幅的余弦振荡。增幅的、减幅的或等幅的余弦振荡。拉氏变换唯一的缺点就在于其物理意义不明拉氏变换唯一的缺点就在于其物理意义不明确。确。(很难想象很难想象)信
12、号系统最新4-2.典型信号的拉普拉斯变换典型信号的拉普拉斯变换1.指数信号指数信号由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换(这里这里 无任何限止无任何限止)信号系统最新(b) 单边正弦信单边正弦信号号信号系统最新(c)单边余弦信号单边余弦信号信号系统最新(d)单边衰减或增长的正弦信号单边衰减或增长的正弦信号即即信号系统最新(e)单边衰减或增长的余弦信单边衰减或增长的余弦信号号(f)单边双曲正弦信号单边双曲正弦信号 单边双曲余弦信号单边双曲余弦信号信号系统最新信号系统最新 2. t的正幂信号的正幂信号 (n为正整数为正整数)由定义：由定义：对上式进行分部积分，令对
13、上式进行分部积分，令信号系统最新可见：可见：依次类推：依次类推：信号系统最新特别是特别是n=1时，有时，有3.冲激函数冲激函数根据冲激函数作为广义函数的定义根据冲激函数作为广义函数的定义故故即即信号系统最新小结：小结：(拉氏变换有三类情况拉氏变换有三类情况)第一类：增长的指数信号第一类：增长的指数信号(如双曲函数等如双曲函数等)只有拉氏变换而无付氏变换只有拉氏变换而无付氏变换第二类：第二类：拉氏变换、付氏变换都存在，且拉氏变换、付氏变换都存在，且信号系统最新如衰减的指数信号：如衰减的指数信号：第三类：第三类：拉氏变换拉氏变换,付氏变换都存在，但不满足第二类。付氏变换都存在，但不满足第二类。如如 的傅氏变换的傅氏变换拉氏变换拉氏变换信号系统最新作业：作业：4-1(3) 4-2(a) 4-3(3)信号系统最新
