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1、 8.2 8.2 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积要点梳理要点梳理1.1.柱、锥、台和球的侧面积和体积：柱、锥、台和球的侧面积和体积： 面积面积 体积体积圆柱圆柱 圆锥圆锥基础知识基础知识 自主学习自主学习 圆台圆台直棱柱直棱柱正棱锥正棱锥正棱台正棱台 球球2.2.几何体的表面积几何体的表面积 （1 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . . （2 2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于；它们的表面积等于 . .各面面积各面面积之和之和矩矩形形扇形扇形扇环形扇环形侧面积侧面积与底面面积之
2、和与底面面积之和基础自测基础自测1.1.母线长为母线长为1 1的圆锥的侧面展开图的圆心角等的圆锥的侧面展开图的圆心角等 于于 , ,则该圆锥的体积为（则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r r，则，则C2.2.（20082008湖北）湖北）用与球心距离为用与球心距离为1 1的平面去截的平面去截 球，所得的截面面积为球，所得的截面面积为，则球的体积为，则球的体积为( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 截面面积为截面面积为，则该小圆的半径为，则该小圆的半径为1 1， 设球的半径为设球的
3、半径为R R，则，则R R2 2=1=12 2+1+12 2=2=2，R R= = ，B3.3.（20092009陕西文，陕西文，1111）若正方体的棱长为若正方体的棱长为 ，则，则 以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的 体积为体积为( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两由题意可知，此几何体是由同底面的两 个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1 1，每，每 一个正四棱锥的高为一个正四棱锥的高为 ，所以，所以B4.4.（20092009海南理，海南理
4、，1111）一个棱锥的三视图如一个棱锥的三视图如 下图，则该棱锥的全面积下图，则该棱锥的全面积( (单位单位:cm:cm2 2) )为为( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D.SE=5，SD=4，AC= ，AB=BC=6解析解析 该几何体是一个底面为直角三角形的三该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥，如图，棱锥，如图，SESE=5=5，SDSD=4=4，ACAC= = ，ABAB= =BCBC=6=6，S S全全= =S SABCABC+2+2S SSABSAB+ +S SASCASC答案答案 A A5.5.（20082008山东理，山东理，6 6）如图是一个几何体的三视
5、如图是一个几何体的三视 图图, ,根据图中数据根据图中数据, ,可得该几何体的表面积是可得该几何体的表面积是 ( )( ) A.9 B.10 C.11 D.12 A.9 B.10 C.11 D.12 解析解析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体几何体为一个球与一个圆柱的组合体, , S=4 S=41 12 2+1 12 22+22+21 13=12.3=12.D题型一题型一 几何体的展开与折叠几何体的展开与折叠 有一根长为有一根长为3 cm3 cm，底面半径为，底面半径为1 cm1 cm的的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 2圈，并圈，并 使铁丝的两个端点
6、落在圆柱的同一母线的两端使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, , 则铁丝的最短长度为多少？则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离化为平面上两点间的最短距离. .题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 把圆柱侧面及缠绕其上把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到的铁丝展开，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如图所示），（如图所示），由题意知由题意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，点，点A A与点与点C C分别是铁丝的起、止位分别是铁丝的起、止位置，故线段置，故线段ACAC的长度即
7、为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度. .故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为5 cm.5 cm. 求立体图形表面上两点的最短距离求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型问题，是立体几何中的一个重要题型. .这类题目的这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上图形的几个平面上或旋转体的侧面上. .为了便于发为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开
8、为平面，使问题得到解决展开为平面，使问题得到解决. .其基本步骤是：展其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长. . 知能迁移知能迁移1 1 如图所示，长方体如图所示，长方体 ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB= =a a， BCBC= =b b，BBBB1 1= =c c，并且，并且a a b b c c0.0. 求沿着长方体的表面自求沿着长方体的表面自A A到到C C1 1的最短线路的长的最短线路
9、的长. . 本题可将长方体表面展开，利用平面本题可将长方体表面展开，利用平面 内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答. . 解解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可将长方体相邻两个面展开有下列三种可 能，如图所示能，如图所示. .三个图形甲、乙、丙中三个图形甲、乙、丙中ACAC1 1的长分别为的长分别为题型二题型二 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 如图所示如图所示, ,半径为半径为R R的半圆内的的半圆内的 阴影部分以直径阴影部分以直径ABAB所在直线为轴所在直线为轴, ,旋旋 转一周得到一几何体转一周得到一几何体, ,求该几何体的求该几
10、何体的 表面积表面积( (其中其中BACBAC=30=30) )及其体积及其体积. . 先分析阴影部分旋转后形成几何体的先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状形状, ,再求表面积再求表面积. .解解 如图所示如图所示, ,过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圆中可得在半圆中可得BCABCA=90=90, ,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, , 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，形成的图形的形状
11、，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算然后利用有关公式进行计算. . 知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解解 如图为轴截面如图为轴截面. . 设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r， 侧面积为侧面积为S S，则，则题型三题型三 多面体的表面积及其体积多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长，侧棱长 为为
12、，求这个三棱锥的体积，求这个三棱锥的体积. . 本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题. .已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积和高，再根据体积公式求出其体积. . 解解 如图所示，如图所示， 正三棱锥正三棱锥S SABCABC. . 设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心， 连接连接SHSH， 则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高. .连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC. .ABCABC是边长为是
13、边长为6 6的正三角形，的正三角形， 求锥体的体积，要选择适当的底面和求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式高，然后应用公式 进行计算即可进行计算即可. .常用方常用方法：割补法和等积变换法法：割补法和等积变换法. .（1 1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积体的体积，从而得出几何体的体积. .（2 2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面三棱锥的底面.求体积时，可选择容易
14、计算的方求体积时，可选择容易计算的方式来计算；式来计算；利用利用“等积性等积性”可求可求“点到面的点到面的距离距离”. .知能迁移知能迁移3 3 如图，在多面体如图，在多面体ABCDEFABCDEF 中，已知中，已知ABCDABCD是边长为是边长为1 1的正方形，的正方形， 且且ADEADE、BCFBCF均为正三角形，均为正三角形， EFEFABAB，EFEF=2=2，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 本题中的多面体是一个不规则的几何体本题中的多面体是一个不规则的几何体, , 因此可考虑对其进行分割或补形因此可考虑对其
15、进行分割或补形. .如图所示，分别过如图所示，分别过A A、B B作作EFEF的垂线，的垂线，垂足分别为垂足分别为G G、H H，连接，连接DGDG、CHCH, ,容易求得容易求得答案答案 A题型四题型四 组合体的表面积及其体积组合体的表面积及其体积 (12(12分分) )如图所示如图所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2DCDC=2=2，DABDAB=60=60，E E为为ABAB的中点，的中点， 将将ADEADE与与BECBEC分别沿分别沿EDED、ECEC向上折起，向上折起， 使使A A、B B重合重合, ,求形成的三棱锥的外接球的体积求形成的三棱锥的
16、外接球的体积. . 易知折叠成的几何体是棱长为易知折叠成的几何体是棱长为1 1的正的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可半径即可. . 解解 由已知条件知，平面图形中由已知条件知，平面图形中 AEAE= =EBEB= =BCBC= =CDCD= =DADA= =DEDE= =ECEC=1.=1. 折叠后得到一个正四面体折叠后得到一个正四面体. 2. 2分分 方法一方法一 作作AFAF平面平面DECDEC，垂足为，垂足为F F，F F即为即为DECDEC的中心的中心. .取取ECEC的中点的中点G G，连接，连接DGDG、AGAG，过球心
17、过球心O O作作OHOH平面平面AECAEC. .则垂足则垂足H H为为AECAEC的中心的中心. 4. 4分分外接球半径可利用外接球半径可利用OHAOHAGFAGFA求得求得. .在在AFGAFG和和AHOAHO中，根据三角形相似可知，中，根据三角形相似可知，6 6分分1010分分1212分分方法二方法二 如图所示，把正四面体放在正如图所示，把正四面体放在正方体中方体中. .显然，正四面体的外接球就显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球是正方体的外接球. 3. 3分分正四面体的棱长为正四面体的棱长为1 1，正方体的棱长为正方体的棱长为 ， 6 6分分9 9分分1212分分 （1 1）折叠问
18、题是高考经常考查的内容）折叠问题是高考经常考查的内容之一，解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同之一，解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量的关系的变化，借助立体几何与平面几形及数量的关系的变化，借助立体几何与平面几何知识即可求解何知识即可求解. .（2 2）与球有关的组合体，是近几年高考常考的）与球有关的组合体，是近几年高考常考的题目，主要考查空间想象能力及截面图的应用，题目，主要考查空间想象能力及截面图的应用，因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键. .知能迁移
19、知能迁移4 4 （20092009全国全国理，理，1515）直三棱直三棱 柱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的各顶点都在同一球面上的各顶点都在同一球面上. . 若若ABAB= =ACAC= =AAAA1 1=2=2，BACBAC=120=120，则此球的，则此球的 表面积等于表面积等于 . . 解析解析 在在ABCABC中中, ,由余弦定理知由余弦定理知BCBC2 2= =ABAB2 2+ +ACAC2 2 -2 -2ABABACACcos 120cos 120=4+4-2=4+4-22 22 2 由正弦定理知由正弦定理知ABCABC的外接圆半径的外接圆半径r r满足满足 r
20、 r=2,=2,由题意知球心到平面由题意知球心到平面ABCABC的距离为的距离为1 1， 设球的半径为设球的半径为R R，则，则 S S球球=4=4R R2 2=20.=20.2020方法与技巧方法与技巧1.1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决结构特点与平面几何知识来解决. .2.2.要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题. .3.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法
21、运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时的已知元素彼此离散时, ,我们可采用我们可采用“割割”、 “补补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利便利. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高（1 1）几何体的）几何体的“分割分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求求, ,分割成若干个易求体积的几何体分割成若干个易求体积的几何体, ,进而求之进而求之. .(2)(2)几何体的
22、几何体的“补形补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等成易求体积的几何体，如长方体、正方体等. .另外另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, ,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积补成锥体研究体积. .（3 3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几
23、何元素形、直角梯形求有关的几何元素. .失误与防范失误与防范1.1.将几何体展开为平面图形时将几何体展开为平面图形时, ,要注意在何处剪要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开条母线剪开. .2.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接外接. .解题时要认真分析图形，明确切点和接点解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正
24、 方体各个面的中心方体各个面的中心, ,正方体的棱长等于球的直正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径上，正方体的体对角线长等于球的直径. .球与球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题, , 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或球心，或“切点切点”、“接点接点”作出截面图作出截面图. .一、选择题一、选择题1.1.如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图
25、、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角边长为形的直角边长为1 1，那么这个几何体的体积为，那么这个几何体的体积为( )( ) 定时检测定时检测解析解析 由三视图知该几何体为三由三视图知该几何体为三棱锥，记为棱锥，记为S SABCABC，其中，其中ASAS= =ABAB= =ACAC=1=1且两两互相垂直，且两两互相垂直，答案答案 D2.2.一个正方体的体积是一个正方体的体积是8 8，则这个正方体的内切球的，则这个正方体的内切球的 表面积是表面积是 ( )( ) A.8 B.6 A.8 B.6 C.4 D. C.4 D. 解析解析 设正
26、方体的棱长为设正方体的棱长为a a, ,则则a a3 3=8,=8,a a=2.=2.而此而此 正方体的内切球直径为正方体的内切球直径为2,2,S S表表=4=4r r2 2=4.=4.C3.3.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3 3， 体积为体积为6 6，则这个球的表面积是，则这个球的表面积是 ( )( ) A.16 B.20 A.16 B.20 C.24 D.32 C.24 D.32 解析解析 设正四棱锥高为设正四棱锥高为h h，底面边长为，底面边长为a a， 可利用三角形相可利用三角形相 似计算出球的半径似计算出球的半径r r=2=2，S
27、S球球=4=4r r2 2=16.=16.A4.4.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体 积是积是 ( )( ) A.27 B.30 A.27 B.30 C.33 D.36 C.33 D.36解析解析 由三视图知该几何体为组合体，由一个正由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为长为3 3，正四棱锥高为，正四棱锥高为1 1，底面正方形边长为，底面正方形边长为3,3,V V= =V V柱柱+ +V V锥锥= =答案答案 B B5.5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面
28、和两个底面已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 相切，若这个球的体积是相切，若这个球的体积是 则这个三棱柱的体则这个三棱柱的体 积是积是( )( ) A. B. A. B. C. C. D. D. 解析解析 由由 得得R R=2.=2.正三棱柱的高正三棱柱的高 h h=4.=4. 设其底面边长为设其底面边长为a a，则，则D6.6.某师傅需用合板制作一个工作台，某师傅需用合板制作一个工作台， 工作台由主体和附属两部分组成，工作台由主体和附属两部分组成， 主体部分全封闭，附属部分是主体部分全封闭，附属部分是 为了防止工件滑出台面而设置的为了防止工件滑出台面而设置的 护墙，其大致形状的三视
29、图如图护墙，其大致形状的三视图如图 所示（长度单位：所示（长度单位：cmcm），则按图中尺寸，做成的），则按图中尺寸，做成的 工作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗工作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗 和合板厚度忽略不计）和合板厚度忽略不计）( )( ) A.40 000 cm A.40 000 cm2 2 B.40 800 cmB.40 800 cm2 2 C.1 600(22+ ) cm C.1 600(22+ ) cm2 2 D.41 600 cmD.41 600 cm2 2解析解析 由三视图知该工作台是棱长为由三视图知该工作台是棱长为80 cm80 cm的正方的正方体上面围上
30、一块矩形和两块直角三角形的合板，体上面围上一块矩形和两块直角三角形的合板，如图所示，则用去的合板的面积如图所示，则用去的合板的面积S S=6=680802 2+80+8020202=41 600 cm2=41 600 cm2 2. .答案答案 D D二、填空题二、填空题7.7.（20092009辽宁理，辽宁理，1515）设某几何体的三视图如设某几何体的三视图如 下（尺寸的长度单位：下（尺寸的长度单位：m m）. . 则该几何体的体积为则该几何体的体积为 m m3 3. .解析解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥由三视图可知，该几何体为三棱锥（如图），（如图），ACAC=4=4，SOSO=2=2
31、，BDBD=3,=3,答案答案 4 48.8.正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2 ，则四面体，则四面体 A AB B1 1CDCD1 1的外接球的体积为的外接球的体积为 . . 解析解析 四面体四面体A AB B1 1CDCD1 1的外接球即为正方体的外的外接球即为正方体的外 接球，所以接球，所以36369.9.如图所示，已知一个多面体的平面如图所示，已知一个多面体的平面 展开图由一个边长为展开图由一个边长为1 1的正方形和的正方形和4 4 个边长为个边长为1 1的正三角形组成，则该多的正三角形组成，则该多 面体的体积是面体的体积
32、是 . . 解析解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长由题知该多面体为正四棱锥，底面边长 为为1 1，侧棱长为，侧棱长为1 1，斜高为，斜高为 ，连结顶点和底面，连结顶点和底面 中心即为高，可求高为中心即为高，可求高为 ，所以体积，所以体积 三、解答题三、解答题10.10.直三棱柱高为直三棱柱高为6 cm6 cm，底面三角形的边长分别为，底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm3 cm,4 cm，5 cm5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部，将棱柱削成圆柱，求削去部 分体积的最小值分体积的最小值. . 解解 如图所示，只有当圆柱的底面圆如图所示，只有当圆柱的底面圆 为直三棱柱的底面三角形的内
33、切圆时，为直三棱柱的底面三角形的内切圆时， 圆柱的体积最大，削去部分体积才能圆柱的体积最大，削去部分体积才能 最小，设此时圆柱的底面半径为最小，设此时圆柱的底面半径为R R， 圆柱的高即为直三棱柱的高圆柱的高即为直三棱柱的高. .在在ABCABC中，中，ABAB=3=3，BCBC=4=4，ACAC=5=5，ABCABC为直角三角形为直角三角形. .根据直角三角形内切圆的性质可得根据直角三角形内切圆的性质可得7-27-2R R=5=5，R R=1.=1.V V圆柱圆柱=R R2 2h h=6.=6.而三棱柱的体积为而三棱柱的体积为削去部分体积为削去部分体积为36-6=636-6=6（6-6-）
34、（cmcm3 3）. . 即削去部分体积的最小值为即削去部分体积的最小值为6 6（6-6-） cmcm3 3. .11.11.如图所示，一个直三棱柱形容器如图所示，一个直三棱柱形容器 中盛有水，且侧棱中盛有水，且侧棱AAAA1 1=8.=8.若侧面若侧面 AAAA1 1B B1 1B B水平放置时，液面恰好过水平放置时，液面恰好过 ACAC、BCBC、A A1 1C C1 1、B B1 1C C1 1的中点，当底面的中点，当底面ABCABC水平放置水平放置 时，液面高为多少？时，液面高为多少？ 解解 当侧面当侧面AAAA1 1B B1 1B B水平放置时，水的形状为四水平放置时，水的形状为四
35、棱柱形，底面棱柱形，底面ABFEABFE为梯形为梯形. . 设设ABCABC的面积为的面积为S S，则，则S S梯形梯形ABFEABFE= = 当底面当底面ABCABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，水平放置时，水的形状为三棱柱形， 设水面高为设水面高为h h，则有，则有V V水水= =ShSh,6,6S S= =ShSh，h h=6.=6. 故当底面故当底面ABCABC水平放置时，液面高为水平放置时，液面高为6.6.12.12.一几何体按比例绘制的三视图如图所示一几何体按比例绘制的三视图如图所示 （单位：（单位：m m）: : （1 1）试画出它的直观图；）试画出它的直观图； （2 2）求它
36、的表面积和体积）求它的表面积和体积. .解解 （1 1）直观图如图所示：）直观图如图所示：（2 2）方法一方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角去一个角, ,且该几何体的体积是以且该几何体的体积是以A A1 1A A, ,A A1 1D D1 1, ,A A1 1B B1 1为棱的长方体的体积的为棱的长方体的体积的 ，在直角梯形在直角梯形AAAA1 1B B1 1B B中，中，作作BEBEA A1 1B B1 1于于E E，则则AAAA1 1EBEB是正方形是正方形, ,AAAA1 1= =BEBE=1.=1.在在RtRtBEBBEB1 1中，中，BEBE=1=1，EBEB1 1=1=1，BBBB1 1= .= .几何体的表面积几何体的表面积方法二方法二 几何体也可以看作是以几何体也可以看作是以AAAA1 1B B1 1B B为底面的为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，直四棱柱，其表面积求法同方法一， 返回返回
