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1、解法(ji f): 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例(ynl)1.曲顶柱体的体积(tj) 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第一页，共28页。1)“大化(d hu)小”用任意(rny)曲线网分D为 n 个区域以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第二页，共28页。4)“取极限(jxin)
2、”令机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第3页/共27页第三页，共28页。2.平面薄片平面薄片(bopin)的质量的质量有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有(zhnyu)区域 D ,计算该薄片(bo pin)的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第四页，共28页。2)“常代变”中任取一点(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取极限(jxin)”则第 k 小块的质量机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第五页，共28页。两个(lin )问题的共性：(1) 解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第六页，共28页。二、二重积分的定义二、二重积分的定义(dngy)及可积性及可积性定义(dngy):将区域(qy) D 任意分成 n 个小区域(qy)任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束 第7页/共27页第七页，共28页。引例(yn l)1中曲顶柱体体积:引例2中平面(pngmin)薄板的质量:如果(rgu) 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。二重积分存在二重积分存在(cnzi)定理定理:若函数(hnsh)定理(dngl)2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 机动 目录 上页
5、下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。三、二重积分的性质三、二重积分的性质(xngzh)( k 为常数(chngsh) 为D 的面积(min j), 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。特别(tbi), 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积(min j)为 ,则有机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理)证: 由性质(xngzh)6 可知,由连续函数介值定理(dngl), 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上
6、页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。例例1.比较比较(bjio)下列积下列积分的大小分的大小:其中(qzhng)解: 积分域 D 的边界(binji)为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。例例2.判断判断(pndun)积分积分的正负号.解: 分积分(jfn)域为则原式 =猜想结果为负 但不好(b ho)估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。例例3.估计估计(gj)下列下列积分之值积分之值解: D 的
7、面积(min j)为由于(yuy)积分性质5即: 1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十五页，共28页。8.设函设函数数(hnsh)D 位于(wiy) x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数(hnsh)关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十六页，共28页。四、曲顶柱体体积四、曲顶柱体体积(tj)的计算的计算设曲顶柱的底为任取平面(pngmin)故曲顶柱体体积(tj)为截面积为截柱体的机动 目录 上页 下
8、页 返回 结束 第17页/共27页第十七页，共28页。同样(tngyng), 曲顶柱的底为则其体积可按如下(rxi)两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。例例4.求两个求两个(lin)底圆半径为底圆半径为R的直角圆柱面的直角圆柱面所围的体积所围的体积.解: 设两个直圆柱(yunzh)方程为利用对称性, 考虑(kol)第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第十九页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 二重积分的定义(dngy)2. 二重积分的性质(xngzh)(与定积分
9、性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十页，共28页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, 思考思考(sko)与练习与练习解: 由它们的积分域范围(fnwi)可知1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。2.设设D是第二象限是第二象限(xingxin)的一个有界闭域的一个有界闭域,且且0y1,则则的大小(dxio)顺序为 ( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。3.计算计算(j
10、sun)解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。4.证明证明(zhngmng):其中(qzhng)D 为解: 利用(lyng)题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页。备用备用(biyng)题题1. 估计(gj) 的值, 其中(qzhng) D 为解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页第二十五页，共28页。2.判断判断(pndun)的正负(zhn f).解：当时，故又当时，于是(
11、ysh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结解法: 类似定积分解决问题的思想:。用任意曲线网分D为 n 个区域。以它们为底把曲顶柱体分为 n 个。计算该薄片的质量 M .。设D 的面积为 ,。则第 k 小块的质量。是定义(dngy)在有界区域 D上的有界函数 ,。在有界闭区域 D 上除去有。D 的面积为 ,。证: 由性质6 可知,。例1. 比较下列积分的大小:。域D 关于x 轴对称,。利用对称性, 考虑第一卦限部分,。被积函数相同, 且非负,。第26页/共27页第二十八页，共28页。
