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1、Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺1.3函数极限函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势1Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限2Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺通过上
2、面通过上面图形图形的观察的观察:问题问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数如何用精确的数学数学语言刻划函数“无无限接近限接近”.3Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺4Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺2.另两种情形另两种情形:5Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺3.几何解释几何解释:6Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺例例1 证明证明证证故故不妨设不妨设|x|1，而当而当|x|1时时7Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺8Advanced Mathemat
3、ics 内蒙古工业大学贾永旺二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时， f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo49Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺10Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺11Advanced Mathematics 内蒙古工业大学
4、贾永旺注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数正数，30。不等式不等式定义中定义中所以所以x x0时时，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的处的状状态态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在在x0附近附近的变化趋势，即的变化趋势，即 x x0时时f(x) 变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x) 在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定约定x x0但但 xx012Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺0反映了反映了x充分靠近充分靠
5、近x0的的程度，它依赖于程度，它依赖于，对一对一固定的固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) A| 来来选定，选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小2.几何解释几何解释:13Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺例例2 证明证明证证于是于是恒有恒有例例3 设设x00 证明证明14Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺证证恒有恒有例例4 证明证明证证（不妨设（不妨设1）15Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺16Advanced Mathematics 内
6、蒙古工业大学贾永旺例例5 证明证明证证不妨设不妨设17Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺注注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x) A|进行放大，放大的原则与数列时的情形进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近的附近考察问题的，对于考察问题的，对于“附近附近”应如何理解，请揣摩应如何理解，请揣摩一下。一下。18Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺3.单侧极限单侧极限:例如例如,19Advanced Mathematics 内
7、蒙古工业大学贾永旺左极限左极限右极限右极限20Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺例例6证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,21Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性3.不等式性质（局部）不等式性质（局部）定理定理( (保序性保序性) )22Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺推论推论定理定理( (保号性保号性) )推论推论23Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的
8、关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理24Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺证证25Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .Heine定理，又称定理，又称归并原则归并原则26Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺即即证明证明设设即即恒有恒有再由再由则对则对上述上述有有又又故故27Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永
9、旺设对设对都有都有要证要证用用反证法反证法若若即即但但现取现取有有满足满足即即但但此与此与矛盾矛盾28Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺例例7证证二者不相等二者不相等,29Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)30Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 31Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺思考题思考题32Advanced Mathem
10、atics 内蒙古工业大学贾永旺思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.33Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺练练 习习 题题一、填空题一、填空题:34Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺35Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺练习题答案练习题答案36Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺37Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺38Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺39Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺40Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺41Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺42Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺43Advanced Mathematics 内蒙古工业大学贾永旺返回返回44
