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1、学习必备 欢迎下载 六年级 第 8 讲 数论综合（一） 【兴趣篇】 4. 一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除, 将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数( 例如, 按此方法由 247 将得到 47、27、24) 。已知这些两位数中一个是 5 的倍数，另一个是 6 的倍数，还有一个是 7 的倍数，原来的三位数是多少？ 【分析与解】一个是 5 的倍数, 各 4 位数字均不为 0，所以三位数中一定有一个是 5。 能被 7 整除有 14、21、28、35、42、49、56、63。被 5 整除有 15、25、35、45、55、65、75、85、95，能被 6 整除有 1
2、2、18、24、36、42、48、54、66。经试得满足条件的三位数是 656。 6一个自然数 N共有 9 个约数，而 N1 共有 8 个约数。满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？ 【分析与解】N要约数为 9。N分解质因数指数必定是 2 与 2，N1 要约数为 8，N1分解质因数指数必定是 1、1 与 1，N要最小，所以从 2 的 2 次乘 3 的 3 次，可是，N1 不符合，经试，只有 196 才符合，用同样的方法，得到第二小的是 256。 10信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译密文的密码, 这样就达到了保密的作用. 有一天我军截获了敌军
3、的一串密文:A37|8B4|21C, 字母表示还没有被破译出来的数字. 如果知道密码满足如下条件: 密文由三个三位数连在一起组成, 每个三位数的三个数字互不相同; 三个三位数除以 12 所得到的余数是三个互不相同的质数; 三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数. 你能破解此密文吗? 【分析与解】由得，A不能为 3、7，B 不能为 4、8，C 不能为 2、1，21C12，当 C为 5 时，余数是 11，当 C为 8 时，余数是 2，当 C为 9 时，余数是 3，其它的不符合。 8B412，当 B为 5 时，余数是 2，其它的不符合，所 B只能是 5， C 只能是 9。B、C是奇数，所以 A只能是
4、是偶数，A3712，有且只当 A是 4 时，余数是 5。 密文:A37|8B4|21C 为 437 854 219 。 【拓展篇】 8. 一个合数, 其最大的两个约数之和为 1164. 求所有满足要求的合数. 【分析与解】 一个合数, 其最大的两个约数之和为 1164， 这两个数之间可以是两倍、 三倍、 或 11 倍的关系，这样 1164 除去 3 乘 2 得第一个合数 776，1164 除去 4 乘 3 得第二个合数873，1164 除去 12 乘 11 得第三个合数 1067。所有满足要求的合数是 776、873、1067。 学习必备 欢迎下载 9. 已知 a 与 b 是两个正整数, 且
5、AB.请问: 如果它们的最小公倍数是 36, 那么这两个正整数有多少种情况? 如果它们的最小公倍数是 120, 那么这两个正整数有多少种情况? 【分析与解】36 分解质因数，ab，当 a=36 时，b 有 8 种情况，当 a=18 时，b 有 2种情况，当 a=12 时，b 有 1 种情况，当 a=9 时，b 有 1 种情况，所以最小公倍数是 36, 那么这两个正整数有 12 种情况。 120 分解质因数，用中的方法能解得最小公倍数是 120, 这两个正整数有 31 种情况。 12. 如图 15-l, 在一个圆圈上有几十个孔( 少于 100 个). 小明像玩跳棋那样从 A孔出发沿着逆时针方向，
6、每隔几个孔跳一步, 希望一圈以后能跳回到 A孔. 他先试着每隔 2 孔跳一步, 结果只能跳到 B孔. 他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B孔. 最后他每隔 6 孔跳一步, 正好回到 4 孔. 问这个圆圈上共有多少个孔? 【分析与解】 设这个圆圈有n个孔, 那么有n除以3余1,n 除以5余1.n 能被7整除 则将 n-1 是 3、5 的倍数, 即是 15 的倍数, 所以 n=15t+1, 又因为凡是 7 的倍数, 即 15t+1=7A, 将系数与常数对 7 取模, 有 t+10(mod7), 所以 t 取 6 或 6 与 7 的倍数和. 对应孔数为 156+l=91 或 91 与 105
7、的倍数和，满足题意的孔数只有 91即这个圆圈上共有 91 个孔 【超越篇】 1 有 6 个互不相同且不为 0 的自然数，其中任意 5 个数的和都是 7 的倍数，任意 4 个数的和都是 6 的倍数。请问：这 6 个数的和最小是多少？ 【分析与解】我们由题可以想到，这 6 个数能被 7 整除，被 6 除余 3, 可以得出这 6 个数分别是:21 、63、105、147、189、231。这 6 个数的和最小是 756。 2 设 N=30130220052006，请问： (1) N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？ (2) 用 N不断除以 12，直到结果不能被 12 整除为止，一共可以除以多少
8、次 12？ 【分析与解】(1) 要求 N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0” ，我们只要计算 N有多少个 2 乘 5，在 N中 5 的因数比 2 少, 所以就只要求出多少个因数 5 就可以了.305-2005有 341 个 5 的倍数,325-2000 有 68 个 25 的倍数,375-2000 有 14 个 125 的倍数,625-1925有 3 个 125 的倍数, 所以一共有 341+68+14+3=426个. N的末尾一共会出现426个连续的数字“0”. 和个位数字分别划去后可以得到三个两位数例如按此方法由将得到已知这些两位数中一个是的倍数另一个是的倍数还有一个是的倍数原来的三位数
9、是多少分析与解一个是的倍数各位数字均不为所以三位数中一定有一个是能被整除有和第二小的分别是多少分析与解要约数为分解质因数指数必定是与要约数为分解质因数指数必定是与要最小所以从的次乘的次可是不符合经试只有才符合用同样的方法得到第二小的是信息在战争中是非常重要的它常以密文的方式传没有被破译出来的数字如果知道密码满足如下条件密文由三个三位数连在一起组成每个三位数的三个数字互不相同三个三位数除以所得到的余数是三个互不相同的质数三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数你能破解此密文吗分学习必备 欢迎下载 (2) 12=223, 要求 N一共可以除以多少次12, 只要求 N含有多少个 223 因式就可以了,
10、 用(1) 的方法算出有多个 2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024 的倍数的数, 一共算得有 1700 个，3 的倍数的有 1526，22 的因式有 850 个，3 的因式有 1526，所以一共可以除以 850 次 12。 3 老师告诉贝贝和晶晶一个小于 5000 的四位数。这个四位数是 5 的倍数。贝贝计算出它与 5！的最小公倍数，晶晶计算出它与 10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的 5 倍。请问：这个四位数是多少？ 【分析与解】贝贝的计算结果恰好是晶晶的 5 倍，这个四位数与 5！的最小公倍数是贝贝的计算结果，显然这个数为 4！的倍数，所知又为
11、5！的倍数，因为这个数与 5！最小公倍数就是它本身，它与 10！的最大公约数最小也是 120，它本身必须包含 600 这个约数，而600 也是 10！的约数，所以这个四位数就是 3000。 4 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被120 整除。这个正整数最小是多少？ 【分析与解】设这个正整数为 A,则(75+A) (48+A)=3600+A(75+48+A) 是 120 的倍数, 则A(75+48+A)= A(123+A), A(123+A)是 120 的倍数, 则 A是 120 的倍数或(123+A) 是 120 的倍数, 是要使正整数最
12、小, 我们只要使(123+A) 是120的倍数, 得A是240-123=117. 这个正整数最小是 117. 5 a 、b、c 是三个非零自然数。a 和 b 的最小公倍数是 300，c 和 a，c 和 b 的最大公约数都是 20，且 abc。请问：满足条件的 a、b、c 共有多少组？ 【分析与解】 300=20 35，是 a 、b 的最小公倍数，而 20 是 a 和 c、b 和 c 的最大公约数，所以 a、b、c 有 7 种可能，即 a 205 2035 2035 205 2035 2035 2035 b 203 20 3 20 5 203 20 3 20 5 20 5 C 20 20 20
13、40 40 40 80 abc，满足条件的a、b、c 共有7 组。 6 有一类三位数，它们除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含 0） 。这样的三位数中最小的三个是多少？ 【分析与解】除以 2、3、4、5、6 所得到的余数互不相同（可以含 0） ，要求找到一个数能整除 2、3、4、5、6 后有余数的数，所以先求最小公倍数，23456=60，又因为是最小三位数，所以是 120。当 120 减 1 得 119，让 119 除以 2、3、4、5、6，所得的余数分别为：1、2、3、4、5；当 120 减 2 得 118，让 118 除以 2、3、4、5、6，所得的余数分别为：0、1、2
14、、3、4，当 120 减 3 得 117，让 117 除以 2、3、4、5、6，所得的余数分别为：1、0、1、2、3，不符合，所以余数 0 不是除以 4、6，而除以 2、3 都有了，所以只有除以 5 得 0 了，个位不能是 0，因为是 0 的话能被动整除，所以个位只能是 5 了。经算只有155 符合，所以第三小的是 155，这样的三位数中最小的三个是 118、119、155。 7 有一个自然数除以 15、17、19 所得到的商与余数之和都相等并且商和余数都大于 1，和个位数字分别划去后可以得到三个两位数例如按此方法由将得到已知这些两位数中一个是的倍数另一个是的倍数还有一个是的倍数原来的三位数是
15、多少分析与解一个是的倍数各位数字均不为所以三位数中一定有一个是能被整除有和第二小的分别是多少分析与解要约数为分解质因数指数必定是与要约数为分解质因数指数必定是与要最小所以从的次乘的次可是不符合经试只有才符合用同样的方法得到第二小的是信息在战争中是非常重要的它常以密文的方式传没有被破译出来的数字如果知道密码满足如下条件密文由三个三位数连在一起组成每个三位数的三个数字互不相同三个三位数除以所得到的余数是三个互不相同的质数三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数你能破解此密文吗分学习必备 欢迎下载 那么这个自然数是多少？ 【分析与解】没有详细过程, 这个自然数是 1082. 8 有 4 个互不相同的三
16、位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的 3 个数整除。请写出这 4 个数。 【分析与解】没有详细过程, 这 4 个数是 108、117、135、180。 和个位数字分别划去后可以得到三个两位数例如按此方法由将得到已知这些两位数中一个是的倍数另一个是的倍数还有一个是的倍数原来的三位数是多少分析与解一个是的倍数各位数字均不为所以三位数中一定有一个是能被整除有和第二小的分别是多少分析与解要约数为分解质因数指数必定是与要约数为分解质因数指数必定是与要最小所以从的次乘的次可是不符合经试只有才符合用同样的方法得到第二小的是信息在战争中是非常重要的它常以密文的方式传没有被破译出来的数字如果知道密码满足如下条件密文由三个三位数连在一起组成每个三位数的三个数字互不相同三个三位数除以所得到的余数是三个互不相同的质数三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数你能破解此密文吗分
