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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修1 函数应用函数应用第四章第四章第四章第四章1函数与方程函数与方程1.2利用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解课堂典例讲练课堂典例讲练2易错疑难辨析易错疑难辨析3课时作业课时作业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在800元1200元之间的一款手机，选手开始报价：选手：1000.主持人：低了选手：1100.主持人：高了选手：1050.主持人：祝贺你，答对了问
2、题1：主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？问题2：选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？1.二分法每次取区间的中点，将区间_，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法2函数零点的性质对于图像是连续不间断的函数，其函数零点具有下列性质：(1)当函数图像通过零点(不是二重零点)时，其函数值的符号_(填“改变”或“不改变”)(2)在相邻的两个零点之间所有的函数值保持_(填“同号”或“异号”)一分为二改变同号1.已知函数yf(x)的图像是连续不断的，有如下的对应值表：则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个C4个D5个x123456y123.5621.
3、457.8211.4553.76128.88答案B解析f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，至少有3个零点，分别在2,3，(3,4，(4,5上，故选B.2函数yx2bx1有二重零点，则b的值为()A2B2C2D不存在答案C解析yx2bx1有二重零点，b240，即b2，故选C.3下列函数中能用二分法求零点的是()答案C解析从图像上看，A的函数无零点；B、D中的函数都是不变号零点，不能运用二分法故选C.4用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是_答案2,2.5解析 由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f
4、(2)f(2.5)0，所以下一个有根区间是2,2.55函数f(x)x2axb有零点，但不能用二分法求出，则a、b的关系是_答案a24b0解析二次函数有零点，但不能用二分法求出，则有a241b0，即a24b0.课堂典例讲练课堂典例讲练 判断下列函数是否有变号零点：(1)yx25x14；(2)yx2x1；(3)yx4x310x2x5；(4)yx418x281.函数零点类型的判断 f(5)54531052552500并不一定代表f(x)在a，b上没有零点2若给出函数图像，主要去看图像是否与x轴有交点，图像是否穿过了x轴来判定零点类型下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案A解析
5、A、B、C、D四个选项中只有A的图像没有穿过x轴，此零点属不变号零点，不能用二分法求解.二分法求函数零点的近似值 试判断方程x33x50在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)思路分析可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，然后再利用二分法求出其近似值规范解答设函数f(x)x33x5，由于f(0)50，因此f(0)f(3)0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解由于f(1)10，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间用二分法逐次
6、计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：计算次数左端点右端点112211.5311.2541.1251.2551.1251.187561.1251.1562571.1406251.1562581.14843751.1562591.152343751.15625101.152343751.154296875由上表可知，区间1.15234375,1.154296875中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解规律总结二分法求解步骤(1)确定区间a，b验证f(a)f(b)0，初始区间的选择不宜过大，否则将增加运算的次数；(2)求区间a，b的中点c.
7、(3)计算f(c)：若f(c)0，则c就是函数的零点若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0a，c)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0c，b)(4)判断a，b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度，若是，得零点的近似解；否则，重复(2)(4)步特别注意要运算彻底用二分法求函数yx33的一个正零点(精确到0.01)分析选定区间1,2用二分法逐次计算验证区间两端点值精确到0.01后相等取正零点解析记f(x)yx33，由于f(1)20，因此可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下次数左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值第1次1225第2次121.50.375
8、第3次1.251.04691.50.375因为区间1,44140625,1.443359375内的所有值，若精确到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值.次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第4次1.3750.40041.50.375第5次1.43750.02951.50.375第6次1.43750.02951.468750.1684第7次1.43750.02951.4531250.06838第8次1.43750.02951.44531250.0192第9次1.441406250.00531.44531250.0192第10次1.441406250
9、.00531.4433593750.006931函数零点的综合应用 (1)指出方程x32x10的正根所在的大致区间；(2)求证：方程x33x10的根一个在区间(2，1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)思路分析 解答本题的关键是寻找合适的a、b使得f(a)f(b)0.规范解答(1)方程x32x10，即x32x1，令F(x)x32x1，f(x)x3，g(x)2x1在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)和g(x)的图像如图，显然它们 在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解又F(1)20，方程的正根在区间(1,2)内(2)证明：令G(x)x33x1，它的图像一定
10、是连续的，又G(2)86110，方程x33x10的一根在区间(2，1)内同理可以验证G(0)G(1)1(1)10，G(1)G(2)(1)330，方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内规律总结1.求函数零点所在区间时，若F(x)0对应函数yF(x)比较简单，其图像容易画出，就可以观察图像与x轴相交的点的位置，交点横坐标就是方程F(x)0的解，从而得到F(x)0的根所在大致区间；若函数yF(x)的图像不容易画出，则将F(x)分解为f(x)g(x)的形式，且yf(x)与yg(x)较容易画出图像，它们交点的横坐标就是F(x)0的解，这种方法要求作图要准确，否则得不出正确答案2对于连续函数，可以多次
11、验证某些点处的函数值的符号是否异号若异号，则方程的解在以这两个数为端点的区间内若同号，再需要利用二分法多次尝试将(1)中的方程改为“x5x10”时，求其一个正根所在的大致区间解析f(1)1，f(2)29，f(1)f(2)0，即x5x10的一个正根所在的区间为(1,2)易错疑难辨析易错疑难辨析 用二分法求方程x250的一个非负近似解(精确到0.1)误解令f(x)x25，因为f(2.2)2.2250.160，所以f(2.2)f(2.4)0，因为f(2.2)f(2.3)0，因为f(2.2)f(2.25)0，所以x02.2,2.25，所以原方程的非负近似解为2.2.辨析本题产生错解的原因是对精确度的理
12、解不正确，2.25取近似值为2.3.正解令f(x)x25，因为f(2.2)0.160，所以f(2.2)f(2.4)0，因为f(2.2)f(2.3)0，因为f(2.2)f(2.25)0，所以x02.2,2.25，同理可得x02.225,2.25，x02.225,2.2375，因为2.23752.2250.01250.1，区间2.225，2.2375的左、右端点精确到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所给方程的一个非负近似解规律总结用二分法求函数的零点，首先是大致区间的确定，使区间长度尽量小，否则会增加运算量虽然此类问题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性另外，在计算到第n步时，区间an，bn的长度应小于精确度
