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1、第一节函数及其表示总纲目录教材研读1.函数与映射的概念考点突破2.函数的有关概念3.分段函数考点二求函数的定义域考点二求函数的定义域考点一函数的有关概念考点三分段函数考点三分段函数1.函数与映射的概念函数与映射的概念教材研读教材研读函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f:AB按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(
2、x),xA对应f:AB2.函数的有关概念函数的有关概念(1)函数的定义域、值域函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)函数的三要素函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数相等函数:如果两个函数的定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法函数的表示法表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法.3.分段函数分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函
3、数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.1.下列是函数图象的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案B中,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;中,当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;中,每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象,故选B.B2.(2016北京东城期中)下列函数中,定义域与值域相同的是()A.y=B.y=x2C.y=log2xD.y=2x答案答案AA项,函数y=的定义域与值域相同,B,C,D项中的函数定义域与值域均不相同.故选A.A3.(2016北京临川学校期末)函数y=的定义域是()A.(-,2)B.(2,+)C.(2,3)(
4、3,+)D.(2,4)(4,+)答案答案C若函数y=有意义,则解得x2且x3,故选C.C4.已知f=2x-5,且f(a)=6,则a等于()A.-B.C.D.-答案答案B令t=x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,f(a)=4a-1=6,即a=.B5.(2018北京海淀期中)若函数f(x)=的值域为,则实数a的取值范围是()A.(0,e)B.(e,+)C.(0,eD.e,+)D答案答案D当x0时,f(x)=xex,则f(x)=ex(x+1),当x-1时,f(x)0,当-10,x=-1是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,f(x)min=-,若函数f(x)的值域为,则当
5、x0时,f(x)min-.当a=0时,显然不符合题意,当a0时,要满足f(x)min-,只需解得ae,故选D.6.(2015北京西城二模)设函数f(x)=则f(f(2)=,函数f(x)的值域是.答案答案-;-3,+)解析解析f(2)=,则f(f(2)=f=-.当x1时,f(x)(0,1),当x1时,f(x)-3,+),f(x)-3,+).典例典例1(1)设M=x|0x2,N=y|0y2,给出如图所示的四个图象,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)(2017北京四中期中)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=
6、xB.y=lgxC.y=2xD.y=考点一函数的有关概念考点一函数的有关概念考点突破考点突破答案答案(1)B(2)D解析解析(1)中,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,所以不是;中,因为集合M中,当1x2时,在N中无元素与之对应,所以不是;中,当x=2(或x=0)时对应元素y=3N,所以不是.由函数定义知,是.(2)函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.1-1已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数中与f(x)相等的函数是()A.g(x)=B.g(x)=x-1C.g(x)=D.g(x)=D答案答案
7、D选项A中函数的定义域为x|x-1,而函数f(x)的定义域为R,故A选项不正确;选项B中函数的值域为R,而函数f(x)的值域为0,+),故B选项不正确;f(x)=|x-1|可转化为f(x)=这与选项C中函数的对应关系不同,故C选项不正确;选项D中的函数与f(x)的定义域、对应关系和值域均相同,因此选D.典例典例2y=-log2(4-x2)的定义域是()A.(-2,0)(1,2)B.(-2,0(1,2)C.(-2,0)1,2)D.-2,01,2考点二求函数的定义域考点二求函数的定义域命题角度一求给定解析式的函数的定义域命题角度一求给定解析式的函数的定义域C答案答案C解析解析要使函数有意义,必须有
8、x(-2,0)1,2).命题角度二求抽象函数的定义域命题角度二求抽象函数的定义域典例典例3(1)若f(x)的定义域为0,3,求函数y=f(x2-1)的定义域.(2)已知f(x2-1)的定义域为0,3,求函数y=f(x)的定义域.(3)若f(x)的定义域为0,3,求函数y=f(x2-1)+f(2x+1)的定义域.解析解析(1)因为f(x)的定义域为0,3,所以0x2-13,即1x24,解得1x2或-2x-1,故函数y=f(x2-1)的定义域为-2,-11,2.(2)因为函数f(x2-1)的定义域为0,3,所以-1x2-18,故函数y=f(x)的定义域为-1,8.(3)f(x)的定义域为0,3,要
9、使函数y=f(x2-1)+f(2x+1)有意义,则即解得x=1.函数y=f(x2-1)+f(2x+1)的定义域为1.1.简单函数定义域的求法求函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可.方法技巧方法技巧2.抽象函数定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出.(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域.2-1函数f(x)=+的定义域为()A.x|x1B.x|0x1C.x|01答案答案B要使函数有意义,则必须满足0x1
10、,故选B.B2-2(2017北京西城一模)函数f(x)=的定义域为.答案答案x|x0且x1解析解析由题意得解得x0且x1,故f(x)的定义域为x|x0且x1.x|x0且且x1典例典例4(1)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12(2)设f(x)=则f=.(3)(2016北京东城期末)已知函数f(x)=则f(6)=.考点三分段函数考点三分段函数命题角度一求函数值命题角度一求函数值答案答案(1)C(2)(3)1解析解析(1)-21,f(log212)=6.f(-2)+f(log212)=9.(2)-1-0,f=2+2=.而02,f=-=-.-1-0,f=2
11、+2=.因此,f=.(3)f(6)=f(6-1)=f(5)=f(5-1)=f(4)=sin=sin=1.典例典例5(1)已知函数f(x)=则使f(x)-1成立的x的取值范围是.(2)(2015北京朝阳期中)设函数f(x)=若f(m)=1,则实数m的值等于.命题角度二求参数或自变量的取值范围命题角度二求参数或自变量的取值范围答案答案(1)-4,2(2)1解析解析(1)由题意知或解得-4x0或0x2,故x的取值范围是-4,2.(2)由题意得或解得m=1.易错警示易错警示(1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论.(2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应分段的自变量的取值范围.
