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1、1、二重积分的概念二重积分的概念曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.7-1 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第七章第七章 重积分重积分1. 二重积分的概念二重积分的概念7-1 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第七章第七章 重积分重积分这样的一组子区域就称作D的一种分割分割解法解法: 类似定积分解决问题的思想:引例引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“分
2、割，近似代替, 求和, 取 极限” 步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积的直径中的最大值 2. 求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量定义定义 设设 是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 上的函数上的函数,若对若对 的的任意任意分割分割 及
3、及任意任意选择的选择的当当 时时, 和数和数总有极限总有极限, 则称该极限为则称该极限为 在在 上的上的二重积二重积分分.记作记作或或可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值由二重积分的定义可知由二重积分的定义可知若二重积分若二重积分存在存在(2)一个在有界闭区域上连续的二元函数是可积的一个在有界闭区域上
4、连续的二元函数是可积的.则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠紧靠D的边界的小区域的面积的边界的小区域的面积其中其中L为为D的围长的围长则面积元素为则面积元素为D D引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:故二重积分可写为故二重积分可
5、写为（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）(1)（ 为常数）为常数）2. 二重积分的性质二重积分的性质 为D 的面积, 则 (4)对区域具有可加性对区域具有可加性(5)若在若在D上上则有则有特殊地特殊地(6) （二重积分中值定理）（二重积分中值定理）若若 在有界闭区域在有界闭区域 上连续上连续,则在则在 上至少上至少存在一点存在一点 ,使使其中其中S是是D的面积的面积证证D 的面积为S, 设积分积分由连续函数介值定理, 至少有一点使因此3、小结、小结二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体
6、的体积）二重积分的性质二重积分的性质 （与定积分类似）（与定积分类似） 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，它们的相同之处与不同之处是：它们的相同之处与不同之处是：定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数
