线性系统的综合与设计

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1、第第4 4章章 线性时不变控制系统的综合与设计线性时不变控制系统的综合与设计 综合：在建立数学模型的基础上分析系统的各种性能及其与系统结构、参数和外部作用间的关系。系统响应可控性、可观性、稳定性设计：设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以确保系统的各项性能指标要求都得到满足。综合目标仅是为了使系统性能满足某种笼统指标要求综合目标是要确保系统性能在某种意义下达到最优。第4章 线性时不变控制系统的综合与设计本章主要内容极点配置问题极点配置问题 v 状态反馈v 输出反馈 状态观测器设计状态观测器设计v全维观测器v降维观测器v 利用状态观测器构成状态反馈闭环系统第第4 4章章 线性时不变控制系

2、统的综合与设计线性时不变控制系统的综合与设计本章主要内容利用状态观测器构成状态反馈闭环系统利用状态观测器构成状态反馈闭环系统4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征一、状态反馈1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应 的反馈系数，然后反馈到输入端， 与参考输入相加形成控制律，作为 受控系统的控制输入。给定单输入单输出线性定常被控系统 选取线性反馈控制律为：状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵1n维矩阵4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征 假设u u不受约束，2 2、基本结构、基本结构4.1 4.1 线性反

3、馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能.此时对应的传递函数矩阵为：4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征二、输出反馈1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到输入端与参考输入相加，其和 作为受控系统的控制输入2、基本结构4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征输出量反馈至参考输入的输出反馈系统的状

4、态空间方程为：输出反馈控制律为:输出反馈中的与状态反馈中的K相当输出反馈中的FC 与状态反馈中的K 相当但F 可供选择的自由度远比K 小，输出反馈只能相当于一种部分状态反馈只有当C=I 时，FC=K，才等同于全状态反馈4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征在不增加补偿器的条件下，输出反馈的效果不如状态反馈好；但输出反馈在技术实现上很方便；优点缺点三、从输出到状态矢量微分处1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到状态微分处，与参考输入相加 形成控制律，作为受控系统的控制 输入。2、基本结构：4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性

5、反馈控制系统的基本结构及其特征 假设所有输出量可测，控制系统状态空间方程为：输出反馈至状态微分处的系统状态空间方程为：4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征即：闭环传递函数矩阵为： 通过选择矩阵H 也能改变闭环系统的特征值， 从而影响系统的特性。4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结构及其特征五、闭环系统的可控性与可观性1、定理：状态反馈不改变受控系统的能控 性；但不保证系统的能观性不变。2、定理：输出反馈不改变受控系统的能控 性和能观性。4.1 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特征线性反馈控制系统的基本结

6、构及其特征总结：状态反馈效果佳输出反馈实施方便状态补偿器都不改变系统维数不改变系统的能控性改变系统维数不改变系统的能控性和能观性4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题 本节主要内容 状态反馈与极点配置 v 极点配置v 状态反馈输出反馈与极点配置v 输出反馈v 状态方程把闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题一、状态反馈与极点配置1、状态反馈：将系统的每一个状态变量乘以 相应的反馈系数，然后反馈到 输入端，与参考输入相加形成 控制律，作为受控系统的控制 输入。给定单输入单输出线性定常被控系统 选取线性反馈控制律为：状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵1n

7、维矩阵4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题 假设u u不受约束，4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能.此时对应的传递函数矩阵为：4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题三、极点配置(一)、定义:通过选择反馈增益矩阵K,将闭环 系统的极点恰好配置在根平面上 所期望的位置，以获得所希望的 动态性能。(二)、方法： 1 1、采用状态反馈、采用状态反馈()()定理：定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置

8、其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全可控。4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题()()方法：方法： 单输入单输出线性定常系统的状态方程为： 若线性反馈控制律为：设计状态反馈增益阵K K的步骤为：( (1)1)：判断系统状态可控性。：判断系统状态可控性。(2)(2)：列写系统矩阵：列写系统矩阵A A的特征多项式的特征多项式 确定出的确定出的 值。值。4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题( (3)3)：寻找变换矩阵：寻找变换矩阵P P 使系统状态方程变换为使系统状态方程变换为 可控标准型。若给定的状态方程已是可可控标准型。若给定的状态方程已是可 控标准型，则控标准型，则: :P =

9、 IP = I。(4)(4)：写出期望的特征多项式：写出期望的特征多项式 并确定出并确定出 的值。的值。(5)(5)：求出状态反馈增益矩阵：求出状态反馈增益矩阵K:K: 4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题例4.1：已知系统状态方程为试设计状态反馈控制器，使闭环极点为。解：（1）判断系统可控性系统状态完全可控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置（2）系统的特征多项式为（3）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题该特征多项式的系数为（4）根据可求得（5）计算变换矩阵其逆因而，所要确定的反馈增益阵4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题例4.

10、2：考虑线性定常系统利用状态反馈控制希望该系统的闭环极点为s=-2j4和s =-10。试确定状态反馈增益矩阵K。解：可控性矩阵为故系统状态完全可控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。方法1：系统的特征方程为4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题期望的特征方程为因为原系统为可控标准型，可得方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题注意：1、选择期望极点是一个确定综合指标的复杂问 题，应注意： (1)、对一个n维系统，必须指定n个实极点或 共轭极点； (2)、极点位置的确定要充分考虑它们对系统 性能的主导影响及其与系统零点分布状 况的关系；同时还要兼顾系统抗

11、干扰性 和对参数漂移低敏感性的要求。2、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状 态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题响原系统零点的分布。但若故意制造零极点对消，则此时闭环系统是不能观的。3、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设计较困难。4、对于低阶系统（n 3），求解状态反馈阵 时，并不一定要进行可控标准型的变换，可 以直接计算特征多项式 （其系数均为的函 数）和特征值，然后与闭环系统希望特征值 相比较，确定出矩阵。4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题2、输出反馈()()定理：定理：用输出至状态微分的反馈任意配置 闭环极点的充要条件是系统可观测。

12、()()方法：方法：能观标准型变换矩阵( (1)1)、取线性变换、取线性变换 。 将系统化为能观标准将系统化为能观标准型型4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题特征多项式为：(2)(2)、引入反馈阵、引入反馈阵 后，后， 闭环系统矩阵为：闭环系统矩阵为：4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题(3)(3)、由期望极点得期望特征多项式为：、由期望极点得期望特征多项式为：(4)(4)、比较、比较 与与 的各系数，可得：的各系数，可得：(5)(5)、将在、将在 下求得的下求得的 变换到变换到 状态下得：状态下得：4.1 4.1 极点配置问题极点配置问题注意：

13、当系统维数较低时，只要系统能观，当系统维数较低时，只要系统能观，亦可不化成能控标准亦可不化成能控标准型，通过直接型，通过直接 比较特征多项式系数来确定比较特征多项式系数来确定G G矩阵。矩阵。 状态观测器存在的条件 全维状态观测器的设计 降维状态观测器的设计 4.2 4.2 状态观测器的设计状态观测器存在的条件状态观测器存在的条件(1) 充分条件：受控完全能够观测。充分条件：受控完全能够观测。(2) 充充分必要条件：受控不能观部分是渐近稳定的。分必要条件：受控不能观部分是渐近稳定的。 4.2 4.2 状态观测器的设计观测器以受控对象的输入观测器以受控对象的输入u和输出和输出y为输入量；为输入量

14、； 观测器的状态观测器的状态 ，应以足够快的速度接近实际受控，应以足够快的速度接近实际受控对象的状态对象的状态 ，即满足，即满足 。 4.2 4.2 状态观测器的设计1）基本原理）基本原理BCAF+BCA+状态观测器+ 设状态观测器的系数阵为设状态观测器的系数阵为 ，若为单输出系统则状态观测器的系数阵为，若为单输出系统则状态观测器的系数阵为 ，受控对象的状态方程为，受控对象的状态方程为 ，输出方程为，输出方程为 状态观测器的状态方程为状态观测器的状态方程为 得：得： 齐次方程齐次方程结论：结论：满足满足 的条件是矩阵的条件是矩阵 的特征值具有负实部，且距的特征值具有负实部，且距虚轴越远则观测器

15、的状态跟踪实际状态就越快。虚轴越远则观测器的状态跟踪实际状态就越快。所以，状态观测器的设计所以，状态观测器的设计过程是：人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过来确定状态观测过程是：人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过来确定状态观测器的系数阵器的系数阵 的取值。的取值。 4.2 4.2 状态观测器的设计(4) 全维状态观测器设计步骤：全维状态观测器设计步骤：确定系统的能观性，即能观判别矩阵满秩确定系统的能观性，即能观判别矩阵满秩 ；方法之一：方法之一：方法之二：方法之二：若受控对象是能观标准型，则由状态观测器的设计极点确定观测器的若受控对象是能观标准型，则由状态观测器的设计极点确定观测

16、器的希望特征多项式：希望特征多项式：受控对象的特征多项式为：受控对象的特征多项式为：观测器的系数矩阵为：观测器的系数矩阵为： 4.2 4.2 状态观测器的设计4.2 4.2 状态观测器的设计例4.3已知系统设计状态观测器使其极点为解：（1）检验可观性满秩，系统可观，可构造观测器。（2）将系统化为可观标准型系统特征多项式为4.2 4.2 状态观测器的设计（3）引入反馈增益阵得观测器特征多项式（4）根据期望极点得期望特征多项式（5）比较特征多项式（6）反变换到x（7）观测器方程为4.2 4.2 状态观测器的设计例4.4设受控对象传递函数为试设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10。解：该单输入

17、单输出系统传递函数无零极点对消，故系统可控可观。若写出其可控标准型实现，则有输出反馈H为维。全维观测器的系统矩阵为观测器的特征方程为4.2 4.2 状态观测器的设计期望特征方程为由特征方程同幂系数相等可得例4.5考虑如下的线性定常系统设系统结构与图4.4所示相同，试设计一个全维状态观测器。又设观测器的期望特征值为4. 降维状态观测器的设计降维状态观测器的设计（1）问题的提出问题的提出（2）降维状态观测器的设计思路）降维状态观测器的设计思路（3 3）降维状态观测器的设计步骤）降维状态观测器的设计步骤（4 4）降维状态观测器设计的应用举例降维状态观测器设计的应用举例4.2 4.2 状态观测器的设计

18、（1）问题的提出：问题的提出： 实实际际系系统统中中部部分分状状态态可可能能直直接接是是系系统统的的输输出出信信号号，或或通通过过线线性性变变换换后后为为系系统统的的输输出出信信号号，这这一一部部分分可可以以直直接接从从输输出出信信号号中中提提取取，而而不不可可测测量量的的部部分分通通过过状状态态观观测测器器重重构构，这这样样既既能能提提高高反反馈馈信信号号的的准准确确性性，又又能能减减少少状状态态观观测测器器的的维维数数，以以降降低低其其造造价价。一一般般情情况况下下需需要要重重构构的的状状态态维维数数为为（n-mn-m），M M维状态变量由输出获取。维状态变量由输出获取。 返回返回4.2

19、4.2 状态观测器的设计 （2）降维状态观测器的设计思路）降维状态观测器的设计思路已知受控对象的状态方程为已知受控对象的状态方程为 ，输出方程为，输出方程为 ； 选择变换阵选择变换阵T对原受控对象的状态方程进行线性变换，取对原受控对象的状态方程进行线性变换，取 ，变换的目的使受控对象的状态空间表达式变为：变换的目的使受控对象的状态空间表达式变为： 此此时时，m维维状状态态 由由m m维维输输出出y y对对应应一一一一确确定定，而而需需要要重重构构n-mn-m维状态维状态 。4.2 4.2 状态观测器的设计对需要重新构造的状态写出独立的状态空间表达式：对需要重新构造的状态写出独立的状态空间表达式

20、： 状态方程状态方程输出方程4.2 4.2 状态观测器的设计 对上述对上述n-m维状态空间表达式进行状态重构（依据全维观测器的设计）维状态空间表达式进行状态重构（依据全维观测器的设计） 为消除导数项，作变量代换，取为消除导数项，作变量代换，取 得得 代入上式代入上式返回原受控对象的状态空间，得对应于原状态空间的降维状态观测器返回原受控对象的状态空间，得对应于原状态空间的降维状态观测器 理论上可以证明取理论上可以证明取 ，其中分解，其中分解 ，分解条件，分解条件是是c1的逆存在。的逆存在。4.2 4.2 状态观测器的设计4.2 4.2 状态观测器的设计 已知受控对象的状态方程为已知受控对象的状态

21、方程为，输出方程为，输出方程为 ，且状态完全能观。且状态完全能观。分解分解，使，使c c1 1为为m m维方阵，且逆存在。维方阵，且逆存在。取可逆变换阵取可逆变换阵使使对受控对象做线性变换得：对受控对象做线性变换得：降降维维后后的的n-mn-m维维状状态态变变量量由由观观测测器器构构置置，其其状状态态空空间间表表达达式式为为：根据状态观测器的希望极点确定根据状态观测器的希望极点确定：令令求得求得。还原到原状态空间的观测器的状态为：还原到原状态空间的观测器的状态为：绘制降维观测器的模拟结构图。绘制降维观测器的模拟结构图。4.2 4.2 状态观测器的设计（4）降维状态观测器设计的应用举例降维状态观

22、测器设计的应用举例解题过程可以简化，因为原状态空间表达式本身满足降维观解题过程可以简化，因为原状态空间表达式本身满足降维观测器的构置的基本结构条件，不必选择变换阵测器的构置的基本结构条件，不必选择变换阵T。判系统的能观性：判系统的能观性：满满秩。秩。系统状态系统状态n=3，输出，输出m=2，所以，所以n-m=1，只需设计一个一维，只需设计一个一维状态观测器；状态观测器；由输出方程由输出方程可以看出系统不需变换由状态方程直接得到可以看出系统不需变换由状态方程直接得到4.2 4.2 状态观测器的设计计算状态反馈矩阵计算状态反馈矩阵（两个输出一个状态所以为一行两列）（两个输出一个状态所以为一行两列）

23、求降维后的求降维后的n-m维观测器状态空间表达式为：维观测器状态空间表达式为：模拟结构图见书模拟结构图见书P215。返回返回4.2 4.2 状态观测器的设计带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统1.系统的结构和状态空间表达式系统的结构和状态空间表达式-4.2 4.2 状态观测器的设计FBCAG+BCA+状态观测器基本特性基本特性(1)闭环极点设计的分离性：状态反馈的极点配置和状闭环极点设计的分离性：状态反馈的极点配置和状态态观测器的极点配置可以单独进行。观测器的极点配置可以单独进行。(2)传递函数的不变性：直接状态反馈和由观测器实现状传递函数的不变性：直接状态反馈和由观测器实现状态反馈的闭环传递函数矩阵等价。态反馈的闭环传递函数矩阵等价。(3)观测器反馈与直接状态反馈的等效关系：状态反馈的观测器反馈与直接状态反馈的等效关系：状态反馈的极点确定了系统的动态性能，而观测器的极点则确定极点确定了系统的动态性能，而观测器的极点则确定了状态观测器的状态跟踪系统实际状态的速度，只有了状态观测器的状态跟踪系统实际状态的速度，只有在系统进入稳态时，观测器反馈和直接状态反馈才完在系统进入稳态时，观测器反馈和直接状态反馈才完全等价。全等价。4.2 4.2 状态观测器的设计