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1、1一、问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加234567二二. 三角级数及三角函数系的正交性三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅振幅, 复杂的周期运动 :(谐波迭加)令则得函数项级数称上述级数为三角级数三角级数 .为角频率角频率, 为初相初相 )8定理定理 1 组成三角级数的函数系在 上正交正交 ,即其中任意两个不同的函数之积在上的积分等于 0 .证证:同理可证 :9但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于 0 . 且有 10三三. 周期为周期为 2 的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立
2、叶级数定理定理 2 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证证: 由定理条件, 在 逐项积分, 得11类似地, 用 sin k x 乘式两边, 再逐项积分可得利用正交性利用正交性 12由公式 确定的以的傅立叶的傅立叶级数傅立叶级数 ，记作称为函数的傅立叶系数傅立叶系数 ;系数为系数的三角级数 称为 法国法国1768-183013定理定理3 (收敛定理，展开定理收敛定理，展开定理)设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点有限个第一类间断点 ;2) 在一个
3、周期内只有有限个极值点有限个极值点 ; 则 f (x) 的傅立叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅立叶系数 . 注意注意: 函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多 x 为连续点德国1805-185914例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解解: 先求傅立叶系数将 f (x) 展成傅立叶级数. (P298 例例1 )15当当16说明说明: 1) 根据收敛定理可知,当时, 级数收敛于2) 傅氏级数的部分和近似 f (x) 的情况17例例2.设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为将 f
4、 (x) 展成傅立叶级数. 解解: 18说明说明: 当时, 级数收敛于19周期延拓傅立叶展开在上的傅立叶级数四四. 定义在 ,上的函数 f (x) 的傅氏级数展开法其它20例例3. 将函数展成傅立叶级数 . 解解: 将 f (x)延拓成周期为2 的周期函数 F(x) , 则21利用此展式可求出几个特殊的级数的和 .当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明说明: :22其傅立叶级数为是以为周期的周期函数 ,1.为 奇 (偶) 周期函数，其傅立叶系数与傅立叶级数有何特点？思考与练习思考与练习其傅立叶系数为232. 设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅立叶级数在处收敛于在处收敛于;.
5、提示提示:24x 为连续点x 为间断点五、五、 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数251. 周期为周期为 2 的的奇、偶函数的傅立叶级数奇、偶函数的傅立叶级数 定理定理 对周期为2的奇奇函数 f (x) , 其傅立叶级数为正弦级数正弦级数 ,它的傅立叶系数为 周期为2的偶偶函数 f (x) 其傅立叶级数为余弦级数余弦级数 , 它的傅立叶系数为26例例1. 设的表达式为将是周期为 2 的周期函数, 它在解解: 若不计则是周期为 2 的奇函数, 因此展成傅立叶级数 . 上27根据收敛定理可得的正弦级数:28例例2. 将周期函数展成傅立叶级数 , 其中E为正常数 .解解:是周期为2 的周期偶函数
6、, 因此29302. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓在上展成周期延拓在余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数上展成31例例3. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 将则有作奇周期延拓,32注意注意: 在端点 x = 0 , , 级数的和为0 ,与原函数的值不同 . 33再求余弦级数再求余弦级数. 将则有作偶周期延拓 ,34说明说明: 令 x = 0 可得即35内容小结内容小结1、周期为 2 的函数的傅立叶级数及收敛定理 .间断点)其中注意注意: 若为间断点 , 则级数收敛于36 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3、 在 0 , 上函数的傅立叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数思考与练习思考与练习在 0 , 上的函数的傅立叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .2、周期为 2 的奇、偶函数的傅立叶级数37作业作业11-7: P250 1(1) , (3) ; 2 (1) ，3，5，7 38
