《数学建模与数学实验：3.4层次分析法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模与数学实验：3.4层次分析法（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、作业作业: 国际奥委会2012年5月24日宣布了对申办2020年奥运会城市的第一次筛选结果。日本的东京、西班牙的马德里和土耳其的伊斯坦布尔成功入围，将进入到最后的角逐。国际奥委会将在2013年9月7日进行投票决定主办城市。请选择合适的判别标准，用AHP方法预测哪个城市的成功几率最大？上机实验上机实验1-21.用MATLAB或C+编制程序，分别计算n=330时的n阶 矩阵的随机一致性指标RI2.假设钓鱼岛争端最终解决方案有如下几种：武力解决最终归属、政治谈判决定归属、提交国际法庭并接受判决、无限期搁置或中日共管，作为专家，请用AHP方法为我国政府决策部门提供合理化决策。3.4: 层次分析法层次分
2、析法(AHP)建模建模n n 层次分析法基本简介层次分析法基本简介n n 层次分析法的基本思路与步骤层次分析法的基本思路与步骤n n专业分析软件专业分析软件一一. 层次分析法简介层次分析法简介 层次分析法层次分析法(AHPAHP: Analytic Hierarchy Process: Analytic Hierarchy Process) 是美国著名的运筹学家是美国著名的运筹学家T.L.SaatyT.L.Saaty等人于等人于2020世纪世纪7070年代提出的一年代提出的一种决策方法。其主要特点是种决策方法。其主要特点是按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化，合理地将定性问题定量化处理
3、。AHP方法发展简介v1972年，Saaty为美国科学基金会研究根据工业部门贡献分配电力问题。初步形成了AHP理论的核心，即很多复杂系统可以简化为有序的递阶层次结构，决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排列问题，而这种排序又可以通过简单的两两比较形式导出。v1972年和1975年内部出版用于排序和计划的特征根分配模型和层次和排序特征根分析。v1977年Saaty在第一届国际数学建模会议上发表无结构决策问题的建模层次分析理论。从此AHP开始引起人们的注意。v1980年Saaty出版了AHP的专著，全面系统地论述AHP的原理、应用及数学基础。随后他又陆续写出两本侧重论述AHP应用的著作，即1981
4、年出版的排序的逻辑（与L.G.Vargas合著）和1982年出版的领导者的决策。v近年来，Saaty和近百位学者在发展AHP的理论和推广AHP在各类问题的应用方面完成了许多工作。AHP后被推广为ANP：Analytic Network Process网络分析法v权重思想权重思想v先分解后综合的系统思想先分解后综合的系统思想在决策问题中，通常要把决策变量在决策问题中，通常要把决策变量Z表成指标变量表成指标变量x1,x2, , xn的线性组合的线性组合:其中其中 . 则则 叫各指标对于决策变量叫各指标对于决策变量Z的权重的权重, 称为权向量称为权向量. 二二. 层次分析法的基本思路与步骤层次分析法
5、的基本思路与步骤 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1. 建立层次结构模型建立层次结构模型 深入分析问题，将有关各因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层深入分析问题，将有关各因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层诸因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到诸因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用下层因素的作用.同一层的因素之间应尽量独立。同一层的因素之间应尽量独立。2. 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 从层次结构模型的第从层次结构模型的第2层开始，对
6、于从属于层开始，对于从属于(或影响及或影响及)上一层每个因素的同一层因上一层每个因素的同一层因素，用成对比较法和素，用成对比较法和1-9比较尺度比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。构造成对比较矩阵，直到最下层。3. 计算相对权向量并做一致性检验计算相对权向量并做一致性检验 （层次单排序） 对于每个成对比较阵，计算最大特征根及对应的权向量，并做一致性检验。对于每个成对比较阵，计算最大特征根及对应的权向量，并做一致性检验。若不能通过检验，则重新构造。若不能通过检验，则重新构造。4. 计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 二二二二. . 层次分析法的基本步骤层次分析法的
7、基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤一一般般的的思思维维过过程程首先首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大确定这些准则在你心目中各占的比重多大;最后最后,将这两个层次的比较判断进行综合将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择作出选择.其次其次,就每一准则将三个地点进行两两对比就每一准则将三个地点进行两两对比;例例1:(假日旅游假日旅游) 有有P1,P2,P3三个旅游地供选择三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据有假如选择的标准和依据有:景色景色,费用费用,饮食饮食, 居住和旅途居住和旅途.层次分析法的步骤层次分析法的步骤层次分析法的步骤层次分析法的步骤建立层次结构模型（图）建
8、立层次结构模型（图）建立层次结构模型（图）建立层次结构模型（图）1 1景景色色居居住住旅旅途途饮饮食食费费用用准准 则则(C)层层 为实现总目标而为实现总目标而采取的各种措施采取的各种措施和方案和方案P1P2P3方方 案案(P) 层层 用于解决问题的用于解决问题的各种措施和方案各种措施和方案选择旅游景点选择旅游景点目目 标标(O)层层 解决问题的目的解决问题的目的(也叫总目标也叫总目标)2 4 6 8假设假设wi表示第表示第i个指标的相对重要性个指标的相对重要性1 3 5 7 9 成对比较结果成对比较结果 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵构造
9、成对比较矩阵构造成对比较矩阵( (判断矩阵判断矩阵判断矩阵判断矩阵) )2 2 根据层次分析模型示意图所示，决策者可以依据个人对上一层某个评价指标的主观评价，对下一层关联各指标之间进行两两比较，然后按19 尺度尺度排定各评价指标的相对重要性顺序，依次构造出判断矩阵。成对比较结果成对比较结果 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强关于选择19尺度的原因：1.心理学证据：Magic seven2.实例验证 某人用上述方法得到了某人用上述方法得到了”假日旅游假日旅游”中景色，费用，居住，中景色，费用，居住，饮食，旅途饮食，旅途5个因素对于目标个因素对于目标Z的比较矩阵如下的比较矩阵如下
10、:得到矩阵得到矩阵:A=(aij), aij0,aji=1/aij，aii=1正互反矩阵正互反矩阵 其中，其中，a12=1/2表示景色表示景色x1与费用与费用x2对选择旅游地这个目对选择旅游地这个目标的重要性之比为标的重要性之比为1:2。即认为费用比景色略微更重要。即认为费用比景色略微更重要。 如果一个正互反矩阵如果一个正互反矩阵A满足满足aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, , n，则称则称A为为一致矩阵一致矩阵.一致矩阵的性质一致矩阵的性质:1.A的秩为的秩为1,A的的唯一非零特征值为唯一非零特征值为n;2.A的任一列向量都是对应于特征根的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量的
11、特征向量.层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验3 3理想的判断矩阵理想的判断矩阵理想的判断矩阵理想的判断矩阵层次单排序：层次单排序：用权向量确定下层各因素对上层某因素影响程度用权向量确定下层各因素对上层某因素影响程度 的过程。的过程。n n 对于一般的判断矩阵对于一般的判断矩阵(即即A不一定一致不一定一致)，近似计算权重，近似计算权重(权系数权系数) 若若A为一致矩阵为一致矩阵,则对应于特征根则对应于特征根n的的归一化归一化的特征向量的特征向量(即分量之和为即分量之和为1)即表示即表示各因素对上一层因素的权向量各因素对上一层因素的权向量,各分
12、量即为各因素对于上一层因素的权重各分量即为各因素对于上一层因素的权重!最大特征值的近似值最大特征值的近似值主特征向量主特征向量最大特征值的近似值最大特征值的近似值n n 判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验 判断矩阵通常是不一致的判断矩阵通常是不一致的,因此必须对判断矩阵做因此必须对判断矩阵做一致性检验一致性检验，当判断矩阵和，当判断矩阵和一致矩阵误差较小时，称为能一致矩阵误差较小时，称为能通过一致性检验通过一致性检验，可以用它的对应于最大特征根，可以用它的对应于最大特征根 的特征向量作为被比较因素的权向量。的特征向量作为被比较因素的权向量。一致性指
13、标一致性指标一致性比率一致性比率n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51随机一致性指标随机一致性指标当当CR0.1时时,A通过一致性检验通过一致性检验! 对于多个层次对于多个层次(假设共假设共N层层)的决策问题的决策问题, 若第若第k1层有层有m个因素，第个因素，第k层有层有n个因素个因素,记记第第k层层对对第第k-1层层中中第第j个
14、因素个因素的权向量为的权向量为:定义矩阵定义矩阵假设假设 是第是第k层对最上层层对最上层(目标层目标层)的的组合权向量组合权向量，则，则:层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验4 4n n计算组合权向量计算组合权向量计算组合权向量计算组合权向量 选择旅游地选择旅游地选择旅游地选择旅游地景景景景色色色色P1P2P3费费费费用用用用P1P2P3居居居居住住住住P1P2P3饮饮饮饮食食食食P1P2P3旅旅旅旅途途途途P1P2P3W(2)W1(3)W2(3)W3(3)W4(3)W5(3)0.26360.47580.05380.09810.10870.5
15、9540.27640.12830.08190.23630.68170.42860.42860.14290.63370.19190.17440.16670.16670.6667ww(3)(3)=(0.2993,0.2453,0.4554)=(0.2993,0.2453,0.4554)T T说明应以说明应以P3作为首选地点作为首选地点一致性检验结果如下表一致性检验结果如下表: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0.5954 0.0819 0.4286 0.6337 0.1667 0.5954 0.0819 0.4286 0.6337 0.1667 3.0055 3.0015 3.0000 3
16、.0092 3 3.0055 3.0015 3.0000 3.0092 3 0.0048 0.0013 0 0.0079 0 0.0048 0.0013 0 0.0079 0 0.2764 0.2363 0.4286 0.1919 0.1667 0.2764 0.2363 0.4286 0.1919 0.1667 0.1283 0.6817 0.1429 0.1744 0.6667 0.1283 0.6817 0.1429 0.1744 0.6667由上表知由上表知A以及各以及各Bk均通过一致性检验均通过一致性检验!注意注意:若以上有没通过一致性检验者若以上有没通过一致性检验者,则必须返回重新
17、构造判断矩阵则必须返回重新构造判断矩阵(叫一致性改进叫一致性改进)!在在“旅游问题旅游问题”中计算得到第中计算得到第2层层(准则层准则层)对于第对于第1层层(目标层目标层)的权向量的权向量,记为记为 n n 组合一致性检验组合一致性检验组合一致性检验组合一致性检验( ( ( (层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验) ) ) )进行组合一致性检验进行组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.组合一致性检验可逐层进行组合一致性检验可逐层进行.若第若第k层的一致性指标为层的一致性指标为(m
18、是第是第k-1层因素的数目层因素的数目),随机一致性指标为随机一致性指标为 ,定义定义则第则第k层的一致性比率为层的一致性比率为第第k层通过组合一致性检验的条件为层通过组合一致性检验的条件为定义最下层定义最下层(第第N层层)对第对第1层的组合一致性比率为层的组合一致性比率为对于重大项目对于重大项目,仅当仅当CR适当地小时适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验才认为整个层次的比较判断通过一致性检验.旅游问题中旅游问题中旅游问题中旅游问题中: :CICI(3)(3)=0.00176,=0.00176,RIRI(3)(3)=0.58,=0.58,CRCR(3)(3)=0.003=0.00
19、3已有已有已有已有CRCR(2)(2)=0.016=0.016于是于是于是于是CR=0.019CR=0.019通过一致性检验通过一致性检验通过一致性检验通过一致性检验! !专业分析软件专业分析软件vSuper DecisionsANP(网络层次分析法)应用软件,利用该软件对项目方案进行评价.用同一组数据分别对ANP和AHP模型进行计算,出现了倒序现象时，应用该软件的ANP方法作为一种决策方法可以用于工程实际vyaahp新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-08例例例例2. 2. 干部选拔干部选拔干部选拔干部选拔有三个干部候选人有三个干部候选人Y1, Y2, Y3, 选拔的标准有选拔的标准
20、有5个个:品德品德,才能才能,资力资力,年龄年龄,群众关系群众关系.如何选择三人之一如何选择三人之一?选拔干部选拔干部品品德德资资力力群群众众关关系系年年龄龄才才能能Y1Y2Y3三三三三. . 不完全层次结构模型不完全层次结构模型不完全层次结构模型不完全层次结构模型n n 出现在准则层中的情形出现在准则层中的情形(准则层与准则层之间准则层与准则层之间)完全层次结构完全层次结构:上一层的每个因素都支配着下一层的所有因素上一层的每个因素都支配着下一层的所有因素,或被下一层所有或被下一层所有因素影响因素影响.不完全层次结构不完全层次结构:准则层中的一个因素准则层中的一个因素,只支配下一准则层的部分因
21、素只支配下一准则层的部分因素.系统系统系统系统D1D1系统系统系统系统D2D2系统系统系统系统DnDn MISMIS综合评价综合评价综合评价综合评价A A系统建设系统建设系统建设系统建设B1B1科科科科学学学学性性性性C C1111实实实实现现现现程程程程度度度度C C1212先先先先进进进进性性性性C C1313经经经经济济济济性性性性C C1414资资资资源源源源利利利利用用用用率率率率C C1616规规规规范范范范性性性性C C1515系统性能系统性能系统性能系统性能B2B2可可可可靠靠靠靠性性性性C C2121系系系系统统统统效效效效率率率率C C2222可可可可维维维维护护护护性性性
22、性C C2323可可可可扩扩扩扩充充充充性性性性C C2424安安安安全全全全性性性性C C2626可可可可移移移移植植植植性性性性C C2525系统应用系统应用系统应用系统应用B3B3经经经经济济济济效效效效益益益益C C3131社社社社会会会会效效效效益益益益C C3232用用用用户户户户满满满满意意意意度度度度C C3333功功功功能能能能应应应应用用用用程程程程度度度度C C3434目标层目标层目标层目标层A A准则层准则层准则层准则层B B子准则层子准则层子准则层子准则层C C方案层方案层方案层方案层D D 科技成果评价科技成果评价效益效益水平水平规模规模直直接接经经济济效效益益间间
23、接接经经济济效效益益学学术术创创新新学学识识水水平平社社会会效效益益技技术术水水平平技技术术创创新新待评价的科技成果待评价的科技成果例例例例3. 3.科技成果的综合评价科技成果的综合评价科技成果的综合评价科技成果的综合评价: : n n 出现在准则层与方案层之间出现在准则层与方案层之间出现在准则层与方案层之间出现在准则层与方案层之间例例:学校要评价教师的贡献学校要评价教师的贡献,粗略地考只考虑教学粗略地考只考虑教学与科研两个指标与科研两个指标,若若P1,P2,P3,P4四位教师中四位教师中P1,P2只从事教学只从事教学,P4只从事科研只从事科研,P3二者兼顾二者兼顾,层次层次结构模型如图结构模
24、型如图.教师的贡献教师的贡献教师的贡献教师的贡献Z Z教学教学教学教学C1C1科研科研科研科研C2C2P2P2P1P1P3P3P4P4将不支配因素的权向量分量简单置为将不支配因素的权向量分量简单置为0.后果如何后果如何?设设C1,C2对第对第1层的权向量为层的权向量为 已确定已确定.记记C1,C2对第对第3层权向量分别为层权向量分别为:于是有于是有:考察特殊情况考察特殊情况:教学与科研两个准则的重要性相同教学与科研两个准则的重要性相同,即有即有 4位教师无论位教师无论从事教学或科研从事教学或科研,能力都相同能力都相同,即有即有公正的评价为公正的评价为: 被安排只搞教学或科研的被安排只搞教学或科
25、研的P1,P2,P4三位教师的贡献相同三位教师的贡献相同,而而P3应为应为他们的两倍他们的两倍!即为即为代入上述已知数据得到代入上述已知数据得到:公平否公平否? 怎样才能得到公平合理的结果呢怎样才能得到公平合理的结果呢怎样才能得到公平合理的结果呢怎样才能得到公平合理的结果呢? ?办法办法: 用支配因素的数量对权向量用支配因素的数量对权向量 进行加权进行加权,做修正为做修正为 然后再计算然后再计算 记记C1,C2支配因素的数量分别为支配因素的数量分别为n1,n2,令令:利用前面的数据利用前面的数据,代入上面的式子代入上面的式子,并且注意到并且注意到n1=3,n2=2,最后得到最后得到:注注:上面只考虑了教师从事教学上面只考虑了教师从事教学(或或)科研完全由上级安排的情况科研完全由上级安排的情况,在能力相同的情况下在能力相同的情况下承担双份工作的承担双份工作的P3的贡献自然要大一倍的贡献自然要大一倍!若教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积若教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积 极性极性,且上级希望每位教师都二者兼顾且上级希望每位教师都二者兼顾,并鼓励从事人数较少的那份工作并鼓励从事人数较少的那份工作,如何决策如何决策?
