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1、第四章第四章第四章第四章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力第一节第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节第二节 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 第四节第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节第五节 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图1一一、弯曲的概念、弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。为曲线的变形形式。 2、梁、梁
2、：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平平面面弯弯曲曲（对对称称弯弯曲曲）：若若梁梁上上所所有有外外力力都都作作用用在在纵纵向向对对称称面面内内，梁梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非非对对称称弯弯曲曲：若若梁梁不不具具有有纵纵向向对对称称面面，或或梁梁有有纵纵向向对对称称面面上上但但外外力力并不作用在纵向对称面内的弯曲
3、。并不作用在纵向对称面内的弯曲。第一节第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图弯曲内力弯曲内力FqFAFB纵向对称面纵向对称面2二二、 梁的荷载及计算简图梁的荷载及计算简图 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面力系。 1.梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。线上。 2.梁的支座简化梁的支座简化(平面力系平面力系)：弯曲内力弯曲内力a)滑动铰支座滑动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c)固定端固定端3弯曲内力弯曲内力 3.静定梁静定梁仅用静力
4、平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 4.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载4第二节第二节 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩弯曲内力弯曲内力一一、截面法过程：、截面法过程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABCFC5弯曲内力弯曲内力 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负梁有左上右下错动趋势的
5、剪力为正，反之为负(左截面上的剪左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：6例例一一 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1- -1与与2- -2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。弯曲内力弯曲内力21
6、12m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m71.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例例二二 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 弯曲内力弯曲
7、内力xFSFFlMFlAB8FSM例三例三 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。弯曲内力弯曲内力qlAB解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程9 例例四四 在在图图示示简简支支梁梁AB的的C点点处处作作用用一一集集中中力力F，作该梁的剪力图和弯矩图。作该梁的剪力图和弯矩图。 由由剪剪力力、弯弯矩矩图图知知：在在集集中中力力作作用用点点，弯弯矩矩图图发发生生转转折折，剪剪力力图图发发生生突突变变，其其突突变变值值等等于于集集中中力力的的大大小小，从从左左向向右右作作图图，突突
8、变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。弯曲内力弯曲内力FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM10弯曲内力弯曲内力 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例例五五 在在图图示示简简支支梁梁AB的的C点点处处作作用用一一集集中中力力偶偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM
9、11一一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 1.假假设设：规规定定q(x)向向上上为为正正，向向下下为为负负；任任取取微微段段，认认为为其其上上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 2.微分关系推导：微分关系推导：第四节第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用的关系及其应用弯曲内力弯曲内力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)121.微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： 剪剪力力图图上上某某点点处处
10、的的切切线线斜斜率率等等于于该该点点处处荷荷载载集集度度的的大大小小；弯弯矩矩图图上上某某点点处的切线斜率等于该点剪力的大小。处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二二、讨论微分关系的几何意义、讨论微分关系的几何意义弯曲内力弯曲内力3.其它规律其它规律： |M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； 荷荷载载图图关关于于梁梁左左右右对对称称，则则剪剪力力图图关关于
11、于梁梁中中点点反反对对称称，弯弯矩矩图图左左右右对对称称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。131.先利用计算法则计算分段点先利用计算法则计算分段点FS、M值；值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。图。 三三、利用微分关系作剪力弯矩图、利用微分关系作剪力弯矩图例例六六 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。弯曲内力弯曲内力解：解： 1、求支反力、求支反力2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA
12、和和DB段：段：q=0，FS图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0， FS 图为向下斜直线，图为向下斜直线， M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABC3、先确定各分段点的先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线条连接。FS+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB14当变形为微小时，可采用变当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。形前尺寸进行计算。1、叠加原理叠加原理：当梁在各项：当梁在各项荷载作用下某一横截面上荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截
13、面上的弯矩用下同一横截面上的弯矩的代数和。的代数和。2、区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷设简支梁同时承受跨间荷载载q与端部力矩与端部力矩MA、MB的作用。的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：叠加得到。即：第五节第五节 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图+MAMBM0+MAMBM0弯曲内力弯曲内力BMAAqMBlB15 注意注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。不是指
14、图形的拚合。d图中的纵坐标如同图中的纵坐标如同M图的纵坐图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线标一样，也是垂直于杆轴线AB。（1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续点(如如集中力、集中力偶的作用点，集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等分布力的起点和终点等)为控为控制截面，求出控制截面的弯矩制截面，求出控制截面的弯矩值。值。 （2）分段画弯矩图。当控）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。段的弯矩图。 例七例七 作图示简支梁的弯矩图作图示简支梁的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般叠加法，将梁弯矩图的一般作法作法归纳如下归纳如下：弯曲内力弯曲内力2FCl/2ABFl/2l/2M16
