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1、医用高等数学医用高等医用高等数学数学医用高等数学第二章 微分学微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)医用高等数学导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 费马费马 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 莱布尼兹莱布尼兹 英国数学家英国数学家 牛顿牛顿医用高等数学二、二、 导数的定义及其几何意义导数的定义及其几何意义 三、函数的可导与连续的关系三、函数的可导与连续的关系 一、实例一、实例第一节
2、 导数的概念医用高等数学1.1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度取极限得取极限得一、实例一、实例设一质点沿直线做变速直线运动设一质点沿直线做变速直线运动, ,其运动规律为其运动规律为求时刻求时刻 的瞬时速度的瞬时速度. .平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度医用高等数学2. 细胞的增殖速度细胞的增殖速度 设增殖细胞在某一时刻设增殖细胞在某一时刻 的总数为的总数为 ,显然显然 是时间是时间 的函数的函数求细胞在时刻求细胞在时刻 的瞬时增长率的瞬时增长率.从从 变化到变化到 这段时间内这段时间内, ,细胞的平均增长率为细胞的平均增长率为取极限得取极限得瞬时增长率瞬时增长率= =医用高等数学
3、定义定义2-12-1二、导数的定义及导数的几何意义二、导数的定义及导数的几何意义医用高等数学即即注意注意 若极限不存在若极限不存在, ,就称函数就称函数 在点在点 处不可导处不可导; ;由导数定义由导数定义变速直线运动的质点在时刻变速直线运动的质点在时刻 的瞬时速度为的瞬时速度为细胞在时刻细胞在时刻 的瞬时增殖速度为的瞬时增殖速度为若不可导若不可导,且极限为无穷大且极限为无穷大,为方便起见为方便起见,记为记为 .也也称函数称函数 在点在点 处的导数为无穷大处的导数为无穷大. .医用高等数学单侧导数单侧导数左导数左导数右导数右导数注意注意 函数在一点可导的充分必要条件为函数在一点可导的充分必要条
4、件为：（1）导函数导函数医用高等数学很明显很明显如果如果)(xf在开区间在开区间内可导内可导, ,且且及及（2）都存在都存在, ,就说就说在闭区间在闭区间上可导上可导. .医用高等数学解解已知函数已知函数 ,求求例例2-1例例2-2已知函数已知函数 求导函数求导函数 及及解解医用高等数学 例例2-3 据据19851985年人口调查年人口调查, ,我国有我国有10.1510.15亿人口亿人口, ,人口人口平均年增长率为平均年增长率为1.4891.489, ,根据马尔萨斯根据马尔萨斯(Malthus)(Malthus)人口理人口理论论, ,我国人口增长模型为我国人口增长模型为其中，其中， 代表年数
5、代表年数 , ,并定义并定义19851985年为这个模型年为这个模型的起始年的起始年 . .按照此模型可以预测我国在按照此模型可以预测我国在20052005年人口将年人口将有有13.671013.6710亿亿. .求我国人口增长率函数求我国人口增长率函数? ?怎样控制人口增长怎样控制人口增长速度？速度？医用高等数学解解所以人口增长率函数为所以人口增长率函数为 让人口年增长率让人口年增长率0.01489变小变小,人口的增长速度就变小人口的增长速度就变小,故可控制人口的增长故可控制人口的增长.医用高等数学导数的几何意义导数的几何意义切线：割线的极限切线：割线的极限 割线割线MN绕绕点点M旋转而趋旋
6、转而趋向极限位置向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线在就称为曲线在点点M处的切线处的切线.MTNNNN医用高等数学当当所以所以医用高等数学切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为导数的几何意义为导数的几何意义为:M医用高等数学例例2-5法线方程为根据导数的几何意义根据导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为 解解 由例由例2-1有有, ，医用高等数学 可导的函数一定是连续的可导的函数一定是连续的证明证明三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系即即其中其中医用高等数学比如比如解解反之不成立反之不成立.即连续不一定可导即连续不一定可导医用高等数学1. 导数的定义与实质导数的定义与实质: 瞬时变化率瞬时变化率3. 导数的几何意义导数的几何意义 切线的斜率切线的斜率 4. 可导与连续的关系可导与连续的关系 函数可导一定连续函数可导一定连续,但连续不但连续不一定可导一定可导主主 要要 内内 容容作业：作业：思考与练习思考与练习 1. 2. 3. 4.
