《集合的含义与表示》1

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1、1.1.1 1.1.1 集合的含义集合的含义问题提出问题提出 “集合集合”是日常生活中的一个常用词是日常生活中的一个常用词. . 现代汉语解释为现代汉语解释为: :许多的人或物聚在一起许多的人或物聚在一起.思考思考 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的语言，我们怎样理解数学中的“集合集合”？Company Logo 1 1. .将下列数字填入相将下列数字填入相应的集合：的集合：自然数集合有理数集合2 2. .不等式的解的集合不等式的解的集合. .3 3. .圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的圆的定义：平面内到定点的距

2、离等于定长的点的集合集合. .我们已经接触过一些集合：我们已经接触过一些集合：Company Logo集合的定义集合的定义 一般地一般地, , 我们把研究对象统称为我们把研究对象统称为元素元素，把一些元素组成的总体叫做把一些元素组成的总体叫做集合集合. . Company Logo知识探究（一）知识探究（一） 考察下列问题：考察下列问题： （1 1）1 12020以内的所有以内的所有质数；数； （2 2）绝对值小于小于3 3的整数；的整数； （3 3）师大附中大附中07050705班的所有男同学；班的所有男同学； （4 4）平面上到定点）平面上到定点O的距离等于定的距离等于定长的所有的点的所有

3、的点. .思考思考 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个全体分别形成一个集合集合，集合中的每个对象都称为，集合中的每个对象都称为元元素素. .上述上述4 4个集合中的元素分别是什么？个集合中的元素分别是什么？Company Logo集合定义的理解集合定义的理解1.是一定范围内的确定的对象；是一定范围内的确定的对象；2.是不同的对象；是不同的对象；3.是这些对象的全体是这些对象的全体.Company Logo集合中元素的三个特征集合中元素的三个特征 （1）确定性确定性 集合中的元素必须是确定集合中的元素必须是确定的即任何一个对象都能

4、说明它是或者不是的即任何一个对象都能说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可其一，不会模棱两可. .例如例如“我们班上成绩我们班上成绩好的同学好的同学”, ,“与与5 5接近的数接近的数”等都不能组成等都不能组成一个集合一个集合. .Company Logo (2) (2)互异性互异性 一个给定的集合中的元素必须一个给定的集合中的元素必须是互不相同的即同一元素在同一集合中，不是互不相同的即同一元素在同一集合中，不能重复出现能重复出现. .例如集合是由例如集合是由a，a，b这三个元素这三个元素构成的，是错误的说法构成的，是错误

5、的说法. . (3)(3)无序性无序性 在一个集合中，元素之间是平在一个集合中，元素之间是平等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序之说，无高低贵贱之分之说，无高低贵贱之分. .例如由例如由1 1，2 2，3 3构成的构成的集合与由集合与由3 3，2 2，1 1构成的集合是相同的集合构成的集合是相同的集合. . 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就成这只要构成两个集合的元素是一样的，我们就成这两个集合是两个集合是相等相等的的. .Company Logo讨论讨论1 1下列对象能构成集合吗？为什么？下列对象能构成集合吗？为什么？1 1. .著名的科学家；

6、著名的科学家；2 2.1,2,2,3.1,2,2,3这四个数字；这四个数字；3 3. .我们班上的高个子男生我们班上的高个子男生. .讨论讨论2集合集合a,b,c,d 与与b,c,d,a是同一个是同一个集合吗？集合吗？Company Logo常用数集及记法常用数集及记法N：自然数集（含0）即非负整数集N+或N* ：正整数集（不含0)Z：整数集Q：有理数集R：实数集Company Logo集合与元素间的关系集合与元素间的关系我们通常用我们通常用大写拉丁字母大写拉丁字母A，B，C表示集表示集合，用合，用小写拉丁字母小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素表示集合中的元素. .例如：1 N，-5 Z,

7、 1.5 N, 1.5 Q, 1.5 R, 1.5 Z. Q Company Logo 第第2 2课时课时 集合的表示集合的表示Company Logo1 1. .列举法列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放在就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法大括号内表示集合的方法. .注意：注意：（1 1）元素间要用逗号隔开；）元素间要用逗号隔开；（2 2）不管次序放在大括号内）不管次序放在大括号内. . 例如：例如：book中的字母的集合表示为：中的字母的集合表示为：,Company Logo2 2. .描述法描述法 就是用确定的条件表示某些对象是否属于就是用确定的条件表示某些

8、对象是否属于这个集合的方法这个集合的方法. .其一般形式为：其一般形式为： x | p(x)x为该集合的代表元素p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质 例如：例如：book中的字母的集合表示为：中的字母的集合表示为：x|x是是 book中的字母中的字母Company Logo BA用平面上封闭的曲线的内部表示集合这图叫Venn图AB的图形语言Company Logo下一页返回返回2：数轴 表示实数取值范围的集合，往往用数轴直观表示。如：x| x3表示为 0 2 3 4 5 xCompany Logo 根据集合中元素根据集合中元素个数的多少个数的多少，我们将集合分为，我们将集合分为以下两大类：

9、以下两大类：1.1.有限集有限集 含有有限个元素的集合称为含有有限个元素的集合称为有限集有限集. .2.2.无限集无限集 若一个集合不是有限集，则该集合称为若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集无限集. . 集合的分类集合的分类3.3.空集空集 一个集合不含任何一个集合不含任何元素元素Company Logo高高 效效 课课 堂堂2课课 时时 作作 业业4优优 效效 预预 习习1当当 堂堂 检检 测测3高高 效效 课课 堂堂集合的概念集合的概念互动探究互动探究探究1.“接近于0”“比较小”“近似值”是否有明确的标准？探究2.在限定某个集合时，如果限定条件不明确，会出现什么后果？规律总结1.确

10、定性是判断一组对象能否构成集合的标准2判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性已知Am1,3m，m21，若3A则m_.探究1.3A说明了什么？探究2.集合A中的元素对m有什么限制？集合中元素的特性集合中元素的特性解析由m13，得m4，此时3m12，m2115，故m4满足集合中元素的互异性；由3m3，得m1，此时m1m210，故舍去；由m213，得m2，经检验m2满足集合中元素的互异性故填4或2.答案4或2规律总结(1)什么是元素分析法？解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集合问题的

11、核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法(2)如何应用元素分析法解决有关集合问题？分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性；由元素所具有的性质转化为相关问题的性质如本题正是由3A得3为集合A中的任一元素且各元素互不相同设集合Ax2，x，xy、B1，x，y，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值易错点二忽略集合中元素的互异性错因分析当x1，y0时，AB1,1，y，不满足集合元素的互异性，当x1，y1时，AB1,1,1也不满足元素的互异性，当x1，y0，AB1，1,0，满足题意点评在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现

12、遗漏或增根在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视集合的表示方法集合的表示方法探究1.除自然语言外，集合的常用表示方法还有哪些？探究2.弄清集合中的元素是什么？是有限个还是无限个？再选用适当的方法表示(2)描述法：x|x3k1，kN无限集(3)描述法：坐标平面内在第一、三象限的点的特点是纵、横坐标同号，所以不在第一、三象限的点的集合可表示为(x，y)|xy0，xR，yR无限集(4)列举法：0,12,22,32，；也可用描述法：x|xn2，nN无限集规律总结(1)数集和点集在以后的学习中时常用到，其一般格式为：数集：x|p(x)，点集：(x，y)|p(x，y)(2)何谓适当

13、的方法？即较为简洁、和谐的表示方法一般无限集用描述法，有限集且元素个数较少时用列举法已知集合A是由方程ax22x10(aR)的实数解作为元素构成的集合(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围探究1.集合的元素即为方程的解？探究2.方程是一次还是二次？方程无解、有一解、二解分别满足什么条件？分类讨论的思想分类讨论的思想探索延拓探索延拓(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：A中有且只有一个元素，由(2)知此时a0或a1；A中一个元素也没有，此时a0，且44a0，a1；综合、知所求a的取值范围

14、是a|a1或a0易错点一忽略元素的特征出错误区警示误区警示点评在表示集合时，一定要准确把握集合符号法中的符号所描述的元素的具体属性与相应的集合是否相符下列各组集合中，表示同一集合的是()AM(3,2)，N(2,3)BM3,2，N2,3CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM3,2，N(3,2)答案B解析A项中M(3,2)中的元素是(3,2)，N(2,3)中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B项中M3,2中的元素是3,2，N2,3中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C项中集合M中的代表元素是(x，y)，是直线xy1上的点，而集合N中的代表元素是y，是直线xy

15、1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合M的元素分别是3、2，而N中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合设集合Ax2，x，xy、B1，x，y，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值易错点二忽略集合中元素的互异性错因分析当x1，y0时，AB1,1，y，不满足集合元素的互异性，当x1，y1时，AB1,1,1也不满足元素的互异性，当x1，y0，AB1，1,0，满足题意点评在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视又当a1时，A1,0,1不

16、满足集合中元素的互异性，舍去，a1，即集合A1,0,1，此时a1，b0，故a2 015b2 015(1)2 01502 015101.当当 堂堂 检检 测测1下列各组对象，能构成集合的有()对环境污染不太大的塑料；中国古典文学中的四大名著；所有的正方形；方程x(x22x3)0的所有实数根ABCD答案C解析语句“污染不太大”没有明确的标准；中四大名著指的是水浒传、三国演义、西游记、红楼梦；中的对象也都满足确定性、互异性、无序性答案C答案B5用适当的方法表示下列集合(1)由大于3且小于11的偶数组成的集合可表示为_；(2)不等式3x60的解集可表示为_；(3)方程x(x22x3)0的解集可表示为_；(4)函数yx2x1图象上的点组成的集合可表示为_答案(1)2,0,2,4,6,8,10(2)x|x2(3)3,0,1(4)(x，y)|yx2x1